滬科版四邊形講解

第17頁四邊形講義知識脈絡(luò)：一基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.多邊形：由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。凸邊形：一個多邊形，如果把它任何一邊雙向延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的多邊形叫做凸邊形。1．四邊形的內(nèi)角和及外角和定理：（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2．多邊形的內(nèi)角和及外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于(2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.3.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的性質(zhì)：因為四邊形是平行四邊形4.平行四邊形的判定：.5.兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離．平行線間的距離處處相等平行四邊形的面積：··同底(等底)同高（等高）的平行四邊形面積相等.=(5)中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。(6)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，且這條直線二等分四邊形的面積．5.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的性質(zhì)：因為四邊形是矩形6.矩形的判定：四邊形是矩形.(4)矩形是軸對稱、中心對稱圖形．(5)矩形面積＝長×寬7.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：因為是菱形8．菱形的判定：四邊形是菱形.(4)菱形是軸對稱、中心對稱圖形．(5)菱形面積＝底×高＝對角線乘積的一半9.正方形：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：因為是正方形（1）（2）（3）(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸．(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個小的全等的等腰直角三角形．如上方右圖。(6)正方形一條對角線上一點和另一條對角線的兩端距離相等．(7)正方形的面積：若正方形的邊長為，對角線長為，則10．正方形的判定：四邊形是正方形.(3)∵是矩形又∵∴四邊形是正方形(2)判定正方形的一般順序：①先證明它是平行四邊形；②再證明它是菱形(或矩形)；③最后證明它是矩形(或菱形)．11.梯形：只有一組對邊平行，而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。等腰梯形的性質(zhì)：因為是等腰梯形12.等腰梯形的判定：四邊形是等腰梯形(3)∵是梯形且∥∵∴四邊形是等腰梯形(4)等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸．（5）．梯形的面積(1)．(2)梯形中有關(guān)圖形面積：①．②．③．※13．梯形中常見的輔助線：14.三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（三角形有三條中位線）三角形中位線定理：(性質(zhì))三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.15.梯形中位線定義：連接梯形兩腰中點的線段，叫做梯形的中位線。（梯形的中位線有且只有一條）梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.二．中心對稱圖形：（1）定義：在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180O，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.（2）中心對稱圖形的性質(zhì)：中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段都被對稱中心平分軸對稱圖形中心對稱圖形有一條對稱軸——直線有一個對稱中心——點沿對稱軸對折繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180O對折后及原圖形重合旋轉(zhuǎn)后及原圖形重合如果把一個圖形沿著一條直線翻折過來，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形這條直線叫做對稱軸這時,我們也說這個圖形關(guān)于這條直線對稱（3）中心對稱的有關(guān)定理※1．關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形.※2．關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.※3．如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱.三．常識：※1．若n是多邊形的邊數(shù)，則對角線條數(shù)公式是：.2．規(guī)則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.3．如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.4．常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對稱軸.邊形的的性質(zhì)：（1）邊形的內(nèi)角和等于．（2）任意多邊形的外角和等于（3）邊形共有條對角線（4）在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等且邊都相等的多邊形叫做正多邊形。（5）正多邊形的每個內(nèi)角等于5．四邊形內(nèi)角及同一個頂點的一個外角互為鄰補(bǔ)角．6．順次連接任意四邊形和平行四邊形四邊中點所得的是四邊形是平行四邊形。順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所得的是四邊形是菱形，如矩形、等腰梯形或圖二中圖形等。順次連接對角線垂直的四邊形的四邊中點所得的是四邊形是矩形，如菱形或圖三中圖形等。順次連接對角線既相等又垂直的四邊形的四邊中點所得的是四邊形是正方形，如正方形或圖四中圖形等。證明類題型：1、在□中，E、F分別是、上的點，且＝ADFEADFEBC2、菱形的對角線交于O點，∥，∥，求證：四邊形是矩形。AADECBO3、如圖，梯形中，∥，M、N、P、Q分別為、、、的中點。求證：和互相平分。4.已知：如圖，平行四邊形的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形是矩形。5.如圖，在矩形中，對角線、相交于點O，（1），畫出△平移后的三角形，其平移的方向為射線的方向，平移的距離為線段的長。（2）觀察平移后的圖形，除了矩形外還有哪一種特殊的平行四邊形？并給出證明。6.如圖所示，已知菱形中E在上，且，∠∠，交于M，試說明。7.已知：如圖，△中，∠的平分線交于點D，E是上一點，且，∥交于點F，求證：四邊形是菱形。8如圖，平行四邊形的對角線的垂直平分線及、、分別交于點E、F、O，求證：四邊形是菱形。9.已知：如圖，C是線段上一點，△和△都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形各邊的中點，求證：四邊形是菱形。10.如圖，已知在△中，，∠B，∠C的平分線、相交于點M，∥，∥，及交于N，求證：四邊形是菱形。11.已知：如圖所示，為菱形，通過它的對角線的交點O作、的垂線，及、，，分別相交于點E、F、G、H，求證：四邊形為矩形。12.如圖，菱形的邊長為2，＝2，E、F分別是邊，上的兩個動點，且滿足＋＝2．求證：△≌△；判斷△的形狀，并說明理由；設(shè)△的面積為S，求S的取值范圍．13、如圖，正方形中，過D做∥，∠=30°，交于點F，求證：=；14、如圖，在⊿中，∠=，⊥于D，平分∠，交于G，交于E，⊥于F，求證：四邊形是菱形；15、如圖，正方形中，F(xiàn)在上，平分∠，E為中點，求證：=+16、已知Δ中，E、F分別為、的中點，平分∠交于D，求證：⊥17、如圖所示，以△的三邊為邊在的同側(cè)分別作三個等邊三角形△、△、△，猜想：四邊形是什么四邊形，試證明你的結(jié)論.18、已知：P是正方形對角線上一點，⊥，⊥，E、F分別為垂足.求證：.19、如圖,△為等邊三角形，D、F分別為、上的點，且＝，以為邊作等邊△.(1)求證：△≌△.(2)點D在線段上何處時，四邊形是平行四邊形且∠30°.20、如圖，、是矩形的對角線，⊥于H，⊥于G，為∠的平分線，交的延長線于E，求證：=；求值類：1.如圖，矩形的對角線相交于點O，⊥，⊥，：1：3，4，求∠的度數(shù)和的長。如圖所示，矩形中，M是的中點，且⊥，若矩形的周長為36，求此矩形的面積。如圖，在矩形中，是上一點，是上一點，，且，矩形的周長為，求及的長．如圖所示，已知菱形中，E、F分別在和上，且∠∠60°，∠15°，求∠的度數(shù)。已知：如圖，在菱形中，E、F分別是、上的點，且。過點C作∥交于H，交于G，若∠25°，∠130°，求∠的度數(shù)。已知：如圖，在矩形中，E、F分別是邊、上的點，且＝，⊥．求證：平分∠．如圖，在△中，，D、E、F分別是、、上的中點，（1）求證四邊形是菱形。（2）若12，求菱形的周長？8、點M、N分別在正方形的邊、上，，已知△的周長等于正方形周長的一半，求∠的度數(shù)。9、如圖，在平行四邊形中，=2，E為的中點，求∠的度數(shù)；10、如圖，以正方形的對角線為一邊，延長到E，使=，以為一邊作菱形，若菱形的面積為，求正方形邊長；11、已知：平行四邊形中，11，∠150°，平行四邊形的面積是152，求，。12、如圖，在⊿中，∠C=，=，=30，矩形的一邊在上，頂點G、F分別在、上，若：=1：4，求矩形的面積動點問題：APDBAPDBQC（1）t為何時，四邊形為矩形？（2）t為何時，四邊形為等腰梯形？2、如圖，梯形中為直角坐標(biāo)系的原點、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）。點P、Q同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，點P沿以每秒1個單位向終點A運動，點Q沿、以每秒2個單位向終點B運動。當(dāng)這兩點中有一點到達(dá)自己的終點時，另一點也停止運動。(1)設(shè)從出發(fā)起運動了x秒，且x﹥2.5時，Q點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)x等于多少時，四邊形為平行四邊形？(3)四邊形能否成為等腰梯形？說明理由。POyCPOyC(4,3)QB(14,3))A(14,0)x等腰梯形中，＝15，＝20，∠C＝30o．M、N同時以相同速度分別從點A、點D開始在、（包括端點）上運動．（1）設(shè)為x，用x表示出點N到的距離，并寫出x的取值范圍．（2）設(shè)10,用t表示△的面積．（3）求△的面積的最大值，并判斷取最大值時△的形狀．如圖(1)，已知P為正方形的對角線上一點(不及A、C重合)，⊥于點E，⊥于點F.第10題圖2第10題圖1第10題圖2第10題圖1(2)如圖47(2)，若四邊形繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有？若是，請證明之；若不是，請舉出反例；(3)試選取正方形的兩個頂點，分別及四邊形的兩個頂點連結(jié)，使得到的兩條線段在旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明之.5.如圖，□中，⊥，＝1，＝．對角線，相交于點O，將直線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交，于點E，F(xiàn)．證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形是平行四邊形；試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段及總保持相等；在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由；如果能，畫出圖形并寫出此時繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．6．如圖1，正方形邊長為1，G為邊上的一個動點（點G及C、D不重合），以為一邊向正方形外作正方形，連接交的延長線于點H。（1）求證：①△≌△；②⊥。（2）當(dāng)點G運動到什么位置時，垂直平分？請說明理由。折疊問題：1、如圖，有一塊面積為1的正方形，M、N分別為、邊的中點，將C點折至上，落在點P的位置，折痕為，連結(jié).(1)求的長度;⑵求證：以為邊長的正方形的面積等于.2.折疊矩形紙片，先折出折痕，再折疊使邊及對角線重合，得折痕，如圖，若2，1，求。3、如圖，將矩形紙片沿對角線折疊，使點B落在點E處，求證：.常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段及原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法及補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段及特定線段相等，或是將某條線段延長，是之及特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△中，5，3，則中線的取值范圍是.例2、如圖，△中，E、F分別在、上，⊥，D是中點，試比較及的大小.例3、如圖，△中，，E是的中點，求證：平分∠.應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，連接，M、N分別是、的中點．探究：及的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時，及的位置關(guān)系是，線段及的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．二、截長補(bǔ)短1、如圖，中，2，平分，且，求證：⊥2、如圖，∥，分別平分∠,∠，過點E，求證＝3、如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在，上，并且，分別是，的角平分線。求證：4、如圖，在四邊形中，＞＝，平分，求證：5、如圖在△中，＞，∠1＝∠2，P為上任意一點，求證＞三、平移變換例1為△的角平分線，直線⊥于為上一點，△周長記為，△周長記為.求證＞.例2如圖，在△的邊上取兩點D、E，且，求證：>.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在△中，∠60°，△的角平分線相交于點O，求證：2、如圖，△中，平分∠，⊥且平分，⊥于E，⊥于F.（1）說明的理由；（2）如果，，求、的長.鏈接中考：1．（2010山東萊蕪）在平行四邊形中，、交于點O，過點O