空間幾何體的表面積與體積

關(guān)于空間幾何體的表面積與體積第1頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五名稱概念展開圖舉例及說明側(cè)面積公式直棱柱與正棱柱側(cè)棱和底面垂直棱柱叫做底面是正多邊形的

叫做正棱柱棱柱的側(cè)面展開圖是矩形S直棱柱側(cè)=正棱錐底面是正多邊形,并且頂點在底面的正投影是底面中心的棱錐叫做正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形S正棱錐側(cè)=正棱臺正棱錐被平行于底面的平面所截,截面和底面之間的部分叫做正n棱臺的側(cè)面展開圖是n個全等的等腰S正棱臺側(cè)=直棱柱直棱柱ch正棱錐正棱臺第2頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五2.旋轉(zhuǎn)體的表面積公式(1)圓柱的表面積S=

(其中r為底面半徑,l為母線長).(2)圓錐的表面積S=

(其中r為底面半徑,l為母線長).(3)圓臺的表面積公式S=

(其中r′,r為上、下底面半徑,l為母線長).(4)球的表面積公式S=

(其中R為球半徑).3.幾何體的體積公式(1)柱體的體積公式V=

(其中S為底面面積,h為高).(2)錐體的體積公式V=

(其中S為底面面積,h為高).(3)臺體的體積公式V=(其中S′,S為上、下底面面積,h為高).(4)球的體積公式V=

(其中R為球半徑).2πr(r+l)πr(r+l)π[(r+r′)l+(r2+r′2)]4πR2Sh第3頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五典例分析【例1】已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30cm和20cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之和,求棱臺的高.題型一幾何體的表面積問題分析要求正棱臺的高，首先要畫出正棱臺的高，使其包含在某一個特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問題，由已知條件，列出方程，求解所需的幾何元素.解如圖所示,正三棱臺ABC-A1B1C1中,O、O1分別為兩底面中心,D、D1分別為BC和B1C1的中點,則DD1為棱臺的斜高.設(shè)A1B1=20,AB=30,則可得OD=,O1D1=.第4頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五由S側(cè)=S上+S下,得(20+30)×3×DD1=(202+302),∴DD1=.在直角梯形O1ODD1中,O1O=,∴棱臺的高為cm.學(xué)后反思

(1)求解有關(guān)多面體表面積的問題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖.（2）借助于平面幾何知識,利用已知條件求得所需幾何要素.第5頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五舉一反三1.圓臺側(cè)面的母線長為2a,母線與軸的夾角為30°,一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍.求兩底面的半徑以及兩底面面積之和.解析：如圖,延長圓臺母線交于點S，設(shè)圓臺上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,則∠ASO=30°.在Rt△SA′O′中,,∴SA′=2r.在Rt△SAO中,,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a.∴∴圓臺上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為第6頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五【例2】直平行六面體的底面為菱形,過不相鄰兩條側(cè)棱的截面面積為Q1、Q2,求它的側(cè)面積.分析要求此棱柱的側(cè)面積,只要求出它的底面邊長與高即可.解設(shè)直平行六面體底面邊長為a,側(cè)棱長為l,如圖,則S側(cè)=4al.因過A1A、C1C與B1B、D1D的截面都為矩形,從而

Q1=AC·l,Q2=BD·l,則又∵AC⊥BD,∴,∴即4a2l2=Q12+Q22,即2al=,∴S側(cè)=4al=.第7頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五學(xué)后反思

(1)在多面體或旋轉(zhuǎn)體中，要正確識別和判斷某截面圖形的形狀和特征.（2）用已知量來表示側(cè)面積公式中的未知量，利用平面幾何知識（菱形的對角線互相垂直平分），采用整體代入，設(shè)而不求，減少運算量，簡化運算過程.舉一反三2.三棱柱的底面是等腰三角形(AB=AC),∠BAC=2α,上底面的頂點在下底面的射影是下底面三角形外接圓圓心O,下底面△ABC外接圓半徑為R,側(cè)棱和AB成2α角,求三棱柱的側(cè)面積.第8頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五解析：如圖所示,作OD⊥AB于D,則AD=Rcosα,AB=2Rcosα,⊥AB,∴∴∵AO⊥BC,由三垂線定理得⊥BC,故⊥BC.又∵BC=2Rsin2α,∴∴第9頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五【例3】已知四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4cm，8cm，各側(cè)棱長均為8cm，求它的側(cè)面積和體積.題型二幾何體的體積問題分析由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺的高,然后利用平面圖形面積公式和臺體體積公式求解.解如圖,設(shè)四棱臺的側(cè)棱延長后交于點P,則△PBC為等腰三角形.取BC中點E,連接PE交B1C1于點E1,則PE⊥BC,E1E為側(cè)面等腰梯形的高.作PO⊥底面ABCD交上底面于點O1,連接O1E1、OE.在△PB1C1和△PBC中,,第10頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五∴PB1=B1B=8,B1為PB的中點,E1為PE的中點.在Rt△PEB中,PE=(cm),E1E=(cm).在Rt△POE中,PO=OO1=PO=(cm).∴S四棱臺側(cè)=4S梯形BCC1B1=,V四棱臺=V四棱錐PABCD-V四棱錐PA1B1C1D1=S四邊形ABCD·PO-S四邊形A1B1C1D1·PO1=×82×414-×42×214=(cm3).第11頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五學(xué)后反思（1）求棱臺的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中的未知量與滿足題設(shè)條件中幾何圖形元素間關(guān)系的橋梁.（2）平行于棱臺底面的截面分棱臺的側(cè)面積與體積比的問題，通常是“還臺為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺為錐”借助于軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進行計算.“還臺為錐”是解決棱臺問題的重要方法和手段.第12頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五舉一反三3.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,四邊形ABFE為等腰梯形,且△ADE、△BCF均為正三角形,EF=2,則該多面體的體積為.答案：

解析：如圖,分別過A、B作EF的垂線,垂足分別為G、H,連接DG、CH.易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=.∴可得∴第13頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五題型三組合體的體積和表面積問題【例4】(14分)如圖，正三棱錐的高為1，底面邊長為26，內(nèi)有一個球與四個面都相切.求棱錐的表面積和球的半徑.分析先畫截面圖再求解.解過PA與球心O作截面PAE與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE………………..2′因為△ABC是正三角形，易知AE既是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線.作為正三棱錐的高PD既通過球心O,且D也是△ABC的重心………………4′第14頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五據(jù)此根據(jù)底面邊長為，即可算出

,…………..6′,……..8′又F為球與平面PBC的切點,∴OF⊥PE.設(shè)OF=r,………10′由△POF∽△PED,知∴,……………..12′∴

……….14′第15頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五學(xué)后反思（1）球與多面體、旋轉(zhuǎn)體的相接、相切問題簡稱為組合體問題，這類問題能夠很好地考查學(xué)生對空間圖形的識圖、辨別能力，更能考查學(xué)生的空間想象能力，所以在高考中一直是熱點題型.復(fù)習(xí)中要注意總結(jié)規(guī)律，掌握常見問題的求解方法.(2)相切或相接問題一般通過作出截面，使構(gòu)成組合體的各個簡單體中的主要元素盡可能集中在該截面中，從而轉(zhuǎn)化成平面圖形的計算加以解決.旋轉(zhuǎn)體之間的相接、相切問題，通常作出它們的共軸的截面;旋轉(zhuǎn)體與多面體之間的相接、相切問題，一般作出它們接、切的某個公共點與軸所確定的截面.第16頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五舉一反三4.將一個棱長為6cm的正方體加工成一個體積最大的木球，這個球的體積為

.答案:36π解析：易知正方體的內(nèi)切球體積最大，設(shè)其內(nèi)切球的半徑為R，則根據(jù)題意知2R=6，即R=3,故其內(nèi)切球的體積第17頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五考點演練10.（2010·蘇州質(zhì)檢）半徑為R的半圓卷成一個圓錐，求它的體積.解析:

設(shè)所求圓錐底面半徑為r，高為h，則πR=2πr,∴,故所求圓錐的體積為

11.一個正三棱錐的高和底面邊長都為a，求它的側(cè)面積和體積.第18頁，共21頁，2022年，5月20日，15點5分，星期五解析：如圖，過S作SO⊥平面ABC，垂足為O，過S作SD⊥AB交AB于D，連接OD，則SO=a，OD⊥AB，且O是△ABC的中心.又∵AB=BC=AC=a,∴OD=,∴

12.在一個平行六面體中，一個頂點上三