高中數(shù)學(xué)異面直線(xiàn)距離教師用

高優(yōu)選中數(shù)學(xué)異面直線(xiàn)距離教師用高優(yōu)選中數(shù)學(xué)異面直線(xiàn)距離教師用高優(yōu)選中數(shù)學(xué)異面直線(xiàn)距離教師用求異面直線(xiàn)之間距離的常用方法求異面直線(xiàn)之間的距離是立體幾何重、難點(diǎn)之一。常有利用圖形性質(zhì)，直接找出該公垂線(xiàn)，爾后求解；也許經(jīng)過(guò)空間圖形性質(zhì)，將異面直線(xiàn)距離轉(zhuǎn)變成直線(xiàn)與其平行平面間的距離，或轉(zhuǎn)變成分別過(guò)兩異面直線(xiàn)的平行平面間的距離，或轉(zhuǎn)變成求一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，或用等體積變換的方法來(lái)解。方法一、定義法也叫直接法，依照定義，找出或作出異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段，再計(jì)算此公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)。這是求異面直線(xiàn)距離的要點(diǎn)。該種方法需要考慮兩種情況：一是如兩條一面直線(xiàn)垂直，一般采用的方法是找或做：過(guò)其中一個(gè)直線(xiàn)與另一個(gè)直線(xiàn)垂直的平面。若兩個(gè)直線(xiàn)不垂直，則需要找第三條直線(xiàn)，若第3條直線(xiàn)與兩個(gè)異面直線(xiàn)都垂直，則平移第3條直線(xiàn)使得與兩個(gè)異面直線(xiàn)都訂交。1已知：邊長(zhǎng)a為的兩個(gè)正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求異面直線(xiàn)CD與AE間的距離。思路解析：由四邊形ABCD和CDEF是正方形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，過(guò)D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，0a。因此DH是異面直線(xiàn)AE、CD的公垂線(xiàn)。在⊿ADE中，∠ADE=120，AD=DE=a，DH=即異面直線(xiàn)CD與AE間的距離為a。22BAHDCEF2如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：EF是AB和CD的公垂線(xiàn)；(2)求AB和CD間的距離；(3)求EF和AC所成角的大小.(1)證明：連接AF，BF，由已知可得AF=BF.又由于A(yíng)E=BE，因此FE⊥AB交AB于E.同理EF⊥DC交DC于點(diǎn)F.因此EF是AB和CD的公垂線(xiàn).(2)在Rt△BEF中，BF=3a,BE=1a,例2題圖22因此EF2=BF2-BE2=1a2，即EF=2a.22由(1)知EF是AB、CD的公垂線(xiàn)段，因此AB和CD間的距離為2a.2(3)過(guò)E點(diǎn)作EG∥AC交BC于G，由于E為AB的中點(diǎn)，因此G為BC的中點(diǎn).因此∠FEG即為異面直線(xiàn)EF和AC所成的角.在△FEG中，EF=2a,EG=1a,FG=1a,222cos∠FEG=EF2EG2FG22.2EFEG2因此∠FEG=45°因此異面直線(xiàn)EF與AC所成的角為45°．3正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為a，求異面直線(xiàn)AC與BC1的距離。取BC的中點(diǎn)P，連接PD，PB1分別交AC，BC1于M，N點(diǎn)，易證：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1，MN為異面直線(xiàn)AC與BC1的公垂線(xiàn)段，易證：MN=B1D=a。4、正四棱錐S-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b(b＞a)．求：底面對(duì)角線(xiàn)AC與側(cè)棱SB間的距離．解：作SO⊥面ABCD于O，則點(diǎn)O是正方形ABCD的中心．SO⊥AC，BO⊥AC，∴AC⊥面SOB．在△SOB中，作OH⊥SB于H①，依照①、②可知OH是AC與SB的距離．OH·SB＝SO·OB，方法二、轉(zhuǎn)變成線(xiàn)面距離a、b是兩條異面直線(xiàn)，過(guò)b上一點(diǎn)A作a的平行線(xiàn)C，記C與b確定的平面α。從而，異面直線(xiàn)a、b間的距離等于線(xiàn)面a、α間的距離。例1Ｓ為直角梯形ABCD所在平面外一點(diǎn)，DABABC900，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=a，AD=2a，求異面直線(xiàn)SC與AB間的距離．解：如圖，設(shè)Ｆ是AD的中點(diǎn),連接SF、CF,則AB∥CF.故AB∥平面CFS故直線(xiàn)AB到平面CFS的距離就是異面直線(xiàn)SC與AB間的距離，在平面SAF內(nèi)作AE⊥SF，垂足為E，易知AB⊥平面SAF，故CF⊥平面SAF.∴CF⊥AE.從而AE⊥平面CFS,Ｓ故AE為直線(xiàn)AB到平面CFS的距離,即SC與AB間距離.E2在RtSAF中,易得AE=a．思慮，與方法一的思路可否一致？

AFＤBC圖2如圖，BF、AE兩條異面直線(xiàn)分別在直二面角P-AB-Q的兩個(gè)面內(nèi)，和棱分別成α、β角，又它們和棱的交點(diǎn)間的距離為d，求兩條異面直線(xiàn)BF、AE間的距離。思路解析：BF、AE兩條異面直線(xiàn)分別在直二面角P-AB-Q的兩個(gè)面內(nèi)，∠EAB=，∠FAB=β，AB=d，在平面Q內(nèi)，過(guò)B作BH‖AE，將異面直線(xiàn)BF、AE間的距離轉(zhuǎn)變成AE與平面BCD間的距離，即為A到平面BCD間的距離，又因二面角P-AB-Q是直二面角，過(guò)A作AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，過(guò)A作AD⊥BD交于D，連接CD。設(shè)A到平面BCD的距離為h。由體積法VA-BCD=VC-ABD，得dsinsinFCPh=1cos2cos2AGβBαQEHD方法三、體積法：體積法實(shí)質(zhì)也為線(xiàn)面法本解法是將線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)變成線(xiàn)面距離，再將線(xiàn)面距離轉(zhuǎn)變成錐體的高，爾后體積公式求之。例1：正方體，求AC與BC1的距離當(dāng)求AC與BC1的距離轉(zhuǎn)變成求AC與平面A1C1B的距離后，設(shè)C點(diǎn)到平面A1C1B的距離為h，則∵h(yuǎn)·(a)2=··2aa,∴h=a，即AC與BC1的距離為a。例2設(shè)長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)為AB＝5,BC＝4,BB1＝3,求AB和DB1之間的距離.解:如圖4,由AB∥A1B1,知AB∥平面A1DB1.D1C1故要求AB和DB1之間的距離,A1B1只要求出AB到平面A1DB1的距離即可.DCAB連接A1D,AB1,圖３則三棱錐AA1B1D的高h(yuǎn)也就是AB到平面A1DB1的距離.而VAA1B1DVB1AA1D,即1SA1B1Dh1SAA1DA1B1,可求得h12.335故AB和DB1之間的距離為12.5評(píng)注：等體積法是解決距離問(wèn)題的常用方法，運(yùn)用它可防備作一些復(fù)雜的輔助線(xiàn)，要點(diǎn)是找到簡(jiǎn)單計(jì)算面積的底面。方法四、轉(zhuǎn)變成面面距離若a、b是兩條異面直線(xiàn)，則存在兩個(gè)平行平面α、β，且a∈α、b∈β。求a、b兩條異面直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)變成平行平面α、β間的距離。例1棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求兩對(duì)角線(xiàn)A1B與B1C間的距離．解：連接A1D,BD,CD1,B1D1，∵A1D∥B1C，BD∥B1D1，A1DD1C1BDD，ＯA1B1∴平面A1BD∥平面B1CD1．ＮDＭC連接AC1,A1C1，則A1C1⊥B1D1，由三垂線(xiàn)定理，EAB圖AC1⊥B1D1．同理，AC1⊥B1C．∴AC1⊥平面B1CD1．同理AC1⊥平面A1BD．∴平面B1CD1∥平面A1BD．設(shè)AC1與平面A1BD、平面B1CD1的交點(diǎn)分別為Ｍ、Ｎ，則MN的長(zhǎng)即為平面B1CD1與平面A1BD的距離，也就是異面直線(xiàn)A1B與B1C間的距離．A1C1與B1D1的交點(diǎn)為Ｏ,連接A1M,ON,在平面AA1C1中,A1M⊥AC1,ON⊥AC1,則A1M∥ON．∵OA1OC1，∴MNC1N．同理MNAM．∴MN1AC13a．故A1B與B1C間的距離為3a．333評(píng)注：把求異面直線(xiàn)間的距離轉(zhuǎn)變成求直線(xiàn)與平面或平面與平面間的距離，是求異面直線(xiàn)間距離時(shí)最常用的兩種轉(zhuǎn)變手段．2已知：三棱錐S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求異面直線(xiàn)AD與BC的距離。思路解析：這是一不易直接求解的幾何題，把它補(bǔ)成一個(gè)易求解的幾何體的典型例子，常常有時(shí)還常把殘缺形體補(bǔ)成完滿(mǎn)形體；不規(guī)則形體補(bǔ)成規(guī)則形體；不熟悉形體補(bǔ)成熟悉形體等。因此，把三棱錐的四個(gè)面聯(lián)想到長(zhǎng)方體割去四個(gè)直三棱錐所得，因此，將三棱錐補(bǔ)形轉(zhuǎn)變成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、高分別x、y、z，SCSCABBAx2

y2

AB2

152則y2

z2

AC2

142z2

x2

BC2

132解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA‖平面離是2，因此異面直線(xiàn)AD與BC的距離是2。例3正方體，求AC與BC1的距離

BC，平面

SA、平面

BC

間的距解法3：（轉(zhuǎn)變法）∵平面ACD1//平面A1C1B，∴AC與BC1的距離等于平面ACD1與平面A1C1B的距離，（如圖3所示），∵DB1⊥平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三均分；∴所求距離B1D=a。小結(jié)：這種解法是將線(xiàn)線(xiàn)距離轉(zhuǎn)變成面面距離。方法五：構(gòu)造函數(shù)法求極值法依照異面直線(xiàn)間距離是分別在兩條異面直線(xiàn)上的兩點(diǎn)間距離的最小值，求函數(shù)最小值的方法來(lái)求異面直線(xiàn)間的距離。1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)a，求A1B與D1B1的距離。D1思路解析：在A(yíng)1B上任取一點(diǎn)M，作NMP⊥A1B1，PN⊥B1D1，則MN⊥B1D1，只要求出MN的最小值即可。設(shè)A1M=x，則A1PMP=2x，A1P=2x。因此PB1=a–2x，M222DPN=（a–201（2a–x），Ax）sin45=22MN=PM2PN2=23(x2)22a2。當(dāng)x=2a時(shí)，MNmin=3a。223333

可用C1B1CB例2正方體，求AC與BC1的距離。任取點(diǎn)Q∈BC1，作QR⊥BC于R點(diǎn)，作RK⊥AC于K點(diǎn)，如圖4所示，設(shè)RC=x，則OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2,故QK的最小值，即AC與BC1的距離等于a。小結(jié)：這種解法是合適的選擇未知量，構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過(guò)求這個(gè)函數(shù)的最小值來(lái)獲取二異面直線(xiàn)之間的距離。例3已知正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，并訂交于直線(xiàn)AD．這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為a，求異面直線(xiàn)AE和BD的距離．解：Ｐ是AE上任意一點(diǎn),過(guò)P作PQ垂直AD，垂足為Q，∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD＝AD，PQ⊥平面ABCD．過(guò)Ｑ作QR⊥BD,垂足為Ｒ,連接PR,則QR是PR在平面ABCD上的射影,由QR⊥BD,知PR⊥BD.PR的長(zhǎng)度是AE上任意一點(diǎn)P到BD的距離.設(shè)AQ=x,則QD=a－x.在RtAPQ中,PAQ450,PQA900,AQ=x,則PQ=x.在RtDQR中,QDR450,DRQ900,DQax,則QR=2(a－x).2PQ⊥平面ABCD,QR平面ABCD,∴PQ⊥QR.在RtPQR中,PR2PQ2QR2x2[2(ax)]2,2E3x2a23(xa)2a2F∴PRax.P22233∴當(dāng)x=a時(shí),PR取最小值3a,33即異面直線(xiàn)AE和BD的距離為3a．3

DCQＲAB圖４評(píng)注：因異面直線(xiàn)的距離是異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間距離最短的，從而可將異面直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)的最值求解．在求異面直線(xiàn)SA與BC間的距離時(shí)，可先在SA任取一點(diǎn)D，作DE⊥直徑AC于E，則DE⊥底面圓．再作EF⊥BC于F，則有DF⊥BC，于是DF的最小值就是SA與BC間的距離．方法六：公式法如圖，已知異面直線(xiàn)a、b所成的角為q，公垂線(xiàn)段AA＇=d，A＇E=m,AF=n,應(yīng)用此公式時(shí)，要注意正、負(fù)號(hào)的選擇．當(dāng)∠DAF=q時(shí)，取負(fù)號(hào)；當(dāng)點(diǎn)F（或點(diǎn)E）A在點(diǎn)A（或A＇）的另一側(cè)時(shí)取正號(hào)．OO/B5已知圓柱的底面半徑為3，高為4，A、B兩點(diǎn)分別在兩底面圓周上，并且AB=5，求異面直線(xiàn)AB與軸OO/之間的距離。思路解析：在圓柱底面上AO⊥OO/，BO/⊥OO/，又OO/是圓柱的高，AB=5，因此d=33。即異面直線(xiàn)AB與軸OO/之間的距離為33。22方法七射影法將兩條異面直線(xiàn)射影到同一平面內(nèi)，射影分別是點(diǎn)和直線(xiàn)或兩條平行線(xiàn)，那么點(diǎn)和直線(xiàn)或兩條平行線(xiàn)間的距離就是兩條異面直線(xiàn)射影間距離。

D1C1例6在正方體ABCD-A1111中，AB=1，M、A1B1BCD分別是棱AB、CC1的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)。求異面直線(xiàn)D1、EN間的距離。NM思路解析：兩條異面直線(xiàn)比較難轉(zhuǎn)變成線(xiàn)面、DC面面距離時(shí)，可采用射影到同一平面內(nèi)，把異面直E線(xiàn)D1、射影到同一平面BC1內(nèi)，轉(zhuǎn)變成BC1、QMENAMBQN的距離，顯然，易知BC1、QN的距離為2。4因此異面直線(xiàn)D1M、EN間的距離為2。48、用向量求兩條異面直線(xiàn)間的距離下面介紹一種利用向量進(jìn)行計(jì)算的簡(jiǎn)單方法．我們先來(lái)看看空間向量在軸上的射影．設(shè)向量AB，那么它在u軸上的投影為A/B/從圖１可以看出，為了作出AB在u軸上的射影，可以過(guò)點(diǎn)A、B分別作與u軸垂直的ABuA'B'兩個(gè)平面圖1、，那么點(diǎn)A、B在u軸上的射影分別為A’、B’，且點(diǎn)A’、B’必然在平面、上．顯然，就是在u軸上的射影．從另一方面看，線(xiàn)段就是異面直線(xiàn)A’AB’B(若是它們不平行的話(huà))的公垂線(xiàn)段，也就是兩異面直線(xiàn)間的距離．因此，異面直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)所連接的向量在公垂線(xiàn)方向上射影的模亦即投影的絕對(duì)值就是兩異面直線(xiàn)間的距離．由于因此|A/B/|=AB|cosAB,u||A/B/|表示兩異面直線(xiàn)間的距離．由于||，它們之間的距離各處相等，因此u軸的采用不用然若是公垂線(xiàn)，而只要同時(shí)與兩異面直線(xiàn)垂直，也就是說(shuō)只要與公垂線(xiàn)方向向量共線(xiàn)即可．下面看個(gè)例子．例5正方體ABCD－A1111的棱長(zhǎng)為a，求異面直線(xiàn)AC與BC1的距離．BCD解：如圖２，以直線(xiàn)DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則有D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、C1(0,a,a)，且＝(-a,a,0)，＝(-a,0,a)，＝(0,a,0)．設(shè)＝(x，y，z)，由·=0z·=0，D'C'得-ax+ay+0·z=0解得x=y=z．∴＝(k,k,k)(k≠0)B'-ax+0y+az=0·．A'∴d====．O(D)yCA答：異面直線(xiàn)AC與BC1的距離是．x圖2B綜合題：例．如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求兩異面直線(xiàn)BD、B1C的距離．解法一（面面平行法）如附圖，兩異面直線(xiàn)BD、B1C間的距離兩平行平面BDA1、面B1CD1間的距離d,且由三垂線(xiàn)定理知AC1與這兩個(gè)平行平面垂直。由平面幾何知識(shí)易證AC1被這兩平行平面三均分，3a．3解法二（公垂線(xiàn)段法）由上可知，兩異面直線(xiàn)BD、B1C的公垂線(xiàn)段平行且等于1AC1，由1這一特別33的比率關(guān)系聯(lián)想到三角形的重心，啟示我們?nèi)?gòu)造重心!故找尋交線(xiàn)BC的中點(diǎn)P，設(shè)PC1B1CM,PABDN，易證M、N分別為BCC1和ABC的重心，由PM=1=PN得MN平行且等于1AC1，則MN即為兩異面直線(xiàn)BD、B1C的PC13PA3公垂線(xiàn)段!思想發(fā)散：空間四邊形的四個(gè)內(nèi)角中，最多有多少個(gè)直角呢?如附圖，在空間四邊形CMNO中CMNMNONOC90，但對(duì)于OCM可否為直角呢？不如假設(shè)OCM90，則異面直線(xiàn)BD、B1C將有兩條公垂線(xiàn)段MN、OC，這與公垂線(xiàn)段的唯一性矛盾！直角最多只能有3個(gè)。解法三（最小值法）：在B1C上任取點(diǎn)M，在面BC1內(nèi)作MHBC，再在底面AB內(nèi)作HN，連MN，設(shè)MH,xCBBHa,xHN2a，x2123a2a2則在直角三角形MHN中，有：MH2x2axx，2233當(dāng)xa，即點(diǎn)M為B1C的一個(gè)三均分點(diǎn)時(shí)，dmin3a．33解法四（線(xiàn)面平行、等積法）：B1C//面A1BD,則兩異面直線(xiàn)BD、B1C間的距離直線(xiàn)B1C到面A1BD的距離點(diǎn)B1到面A1BD的距離故可由等積法得：ＶB1A1BD＝ＶDA1BB11SABDd＝1SABBa31311即d3(a22)a3d3a．3463解法五（垂面