微積分-內(nèi)招課件wjf

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算第三節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第五節(jié)微分的概念1

2

3

4

5

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念1.1導(dǎo)數(shù)的引例1.2導(dǎo)數(shù)的定義1.3導(dǎo)函數(shù)的定義1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)引例：瞬時速度例

1

物體作變速直線運動，經(jīng)過的路程

s

是時刻

t的函數(shù)，s

=?

(t)．求在t0

時刻物體的瞬時速度．1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)引例：瞬時速度例

1

物體作變速直線運動，經(jīng)過的路程

s

是時刻

t的函數(shù)，s

=?

(t)．求在t0

時刻物體的瞬時速度．從t0

到t0

+Δt

的平均速度為

=

Δ

s ?

(t0

+

Δt)

??

(t0)ΔtΔt1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)引例：瞬時速度例

1

物體作變速直線運動，經(jīng)過的路程

s

是時刻

t的函數(shù)，s

=?

(t)．求在t0

時刻物體的瞬時速度．從t0

到t0

+Δt

的平均速度為

=

Δ

s ?

(t0

+

Δt)

??

(t0)ΔtΔt在t0

時刻的瞬時速度為Δt→0

Δt

Δt→0Δ

s?

(t0

+

Δt)

??

(t0)lim

=

limΔt1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)引例：切線斜率例

2

求曲線

y

=

?( )

在點

M(

0

,

y0

)

處的切線斜率1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)引例：切線斜率例

2

求曲線

y

=

?

( )

在點

M(

0

,

y0

)

處的切線斜率．設(shè)N

點在MΔ

y點附?近(，則0

+割Δ線M)N?的?

(斜0)率為=Δ

Δ1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)引例：切線斜率例

2

求曲線

y

=

?( )

在點

M(

0

,

y0

)

處的切線斜率設(shè)N

點在M

點附近，則割線

MN

的斜率為

=

Δ

y ?

(

0

+

Δ

)

??

(

0

)Δ

Δ讓N

點往M

點跑，則切線MT

的斜率為Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y ?

(

0

+

Δ

)

??

(

0)lim

=

limΔ1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)引例：切線斜率yTN00

+

ΔΔ

yMΔ1

2

3

4

5

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念1.1導(dǎo)數(shù)的引例1.2導(dǎo)數(shù)的定義1.3導(dǎo)函數(shù)的定義1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的定義0定義

1

設(shè)

y

=

?

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某鄰域有定義．若極?

(

0

+

Δ

)

??

(

0)lim=

limΔ存在，導(dǎo)數(shù)微商注記1

2

3

4

5

變化率導(dǎo)數(shù)的定義0定義

1

設(shè)

y

=

?

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某鄰域有定義．若極?

(

0

+

Δ

)

??

(

0)lim=

limΔ0存在，則稱此極限為

?

( )

在處的導(dǎo)數(shù)（或微商）．注記變化率1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的定義0定義

1

設(shè)

y

=

?

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某鄰域有定義．若極?

(

0

+

Δ

)

??

(

0)lim=

limΔ0存在，則稱此極限為

?

( )

在處的導(dǎo)數(shù)（或微商）．0′

′記為?

()，y

|=

0d

y，d0，或=dd?

(

)

．0=注記變化率1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的定義0定義

1

設(shè)

y

=

?

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某鄰域有定義．若極?

(

0

+

Δ

)

??

(

0)lim=

limΔ0存在，則稱此極限為

?

( )

在處的導(dǎo)數(shù)（或微商）．0′

′記為?

()，y

|=

0d

y，d0，或=dd?

(

)

．0=注記

導(dǎo)數(shù)

?

′(0)

反映了

?

( )

在點0處的變化慢快，變化率1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的定義0定義

1

設(shè)

y

=

?

( )

在限Δ

→

0

Δ

Δ

→0Δ

y的某鄰域有定義．若極?

(

0

+

Δ

)

??

(

0)lim=

limΔ0存在，則稱此極限為

?

( )

在處的導(dǎo)數(shù)（或微商）．0′

′記為?

()，y

|=

0d

y，d0，或=dd?

(

)

．0=注記

導(dǎo)數(shù)

?

′(

0)

反映了

?

(0)

在點

處的變化快慢，因此

?

′(

0)

又稱為

?

( )

在0點的變化率．1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的幾種形式?

′(0?

(

0

+

Δ

)

??

(0)

=

limΔ

→0)Δ（定義）1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的幾種形式?

′(0?

(

0

+

Δ

)

??

(0)

=

lim（定義）?

′(0Δ

→0

)Δ?

(

0

+

h)

??)

=

limh→00(

)h（令

h

=

Δ

）1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的幾種形式?

′(0?

(

0

+

Δ

)

??

(0)

=

lim（定義）?

′(0Δ

→0

)Δ?

(

0

+

h)

??)

=

limh→00(

)（令

h

=

Δ

）?

′(0→h?

( )

??

(0)

=

lim0

)?00（令

= +

h）1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的定義如果

?

( )

在0處有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)

?

()在0點可導(dǎo)．不可導(dǎo)1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的定義如果

?

( )

在0處有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)

?

( )

在0點可導(dǎo)．否則，稱

?

( )

在0處不可導(dǎo)．1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的定義如果

?

( )

在0處有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)

?

( )

在0點可導(dǎo)．否則，稱?

(如果

?

( )

在區(qū)間

((

)0)

在 處不可導(dǎo)．,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱?在區(qū)間

(

,

b)

內(nèi)可導(dǎo)．1

2

3

4

5

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念1.1導(dǎo)數(shù)的引例1.2導(dǎo)數(shù)的定義1.3導(dǎo)函數(shù)的定義1

2

3

4

5

導(dǎo)函數(shù)的定義如果

?

( )

在區(qū)間

(b)都有一個導(dǎo)數(shù)值?

′(,b)

內(nèi)可導(dǎo)，則每個

0

∈(

,0)與之對應(yīng)，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)1

2

3

4

5

導(dǎo)函數(shù)的定義如果

?

( )

在區(qū)間

(

,

b)

內(nèi)可導(dǎo)，則每個0∈

(

,b)都有一個導(dǎo)數(shù)值

?

′(

0)

與之對應(yīng)，從而得到一個函數(shù)

?

′(

)：?

′:

0

7?→?

′(

0)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)1

2

3

4

5

導(dǎo)函數(shù)的定義如果

?

( )

在區(qū)間

(

,

b)

內(nèi)可導(dǎo)，則每個0∈

(

,b)都有一個導(dǎo)數(shù)值

?

′(

0)

與之對應(yīng)，從而得到一個函數(shù)

?

′(

)：?

′:

0

7?→?

′(

0))

在

(

,

b)

內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），?

′(

)稱為?

(1

2

3

4

5

導(dǎo)函數(shù)的定義如果

?

( )

在區(qū)間

(,

b)

內(nèi)可導(dǎo)，則每個

0

∈

(

,b)都有一個導(dǎo)數(shù)值

?

′(

0)

與之對應(yīng)，從而得到一個函數(shù)

?

′(

)：?

′:

0

7?→

?

′(

0)?

′( )

稱為

?

( )

在

(

,

b)

內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），記d

y

d

為

?

′(

)，或

y′，或

d

，

或

d

?

(

)．1

2

3

4

5

導(dǎo)函數(shù)的定義如果

?

( )

在區(qū)間

(,

b)

內(nèi)可導(dǎo)，則每個

0

∈

(

,b)都有一個導(dǎo)數(shù)值

?

′(

0)

與之對應(yīng)，從而得到一個函數(shù)

?

′(

)：?

′:

0

7?→

?

′(

0)?

′( )

稱為

?

( )

在

(

,

b)

內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），記d

y

d

為

?

′(

)，或

y′，或

d

，

或

d

?

(

)．此時有=?

′(

0)

=

?

′(

)|

0

.1

2

3

4

5

導(dǎo)函數(shù)的幾種形式Δ

→0Δ?

( +

Δ

)

??

(

)?

′( )

=

lim（定義）1

2

3

4

5

導(dǎo)函數(shù)的幾種形式Δ

→0Δ?

′( )

=

lim?

( +

Δ

)

??

(

)（定義）h→0h?

( +

h)

??

(

)?

′( )

=

lim（令

h

=

Δ

）1

2

3

4

5

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算第三節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第五節(jié)微分的概念1

2

3

4

5

例

1

求常值函數(shù)

?

( )

=

C

的導(dǎo)數(shù)．例21

2

3

4

5

例

1

求常值函數(shù)

?

( )

=

C

的導(dǎo)數(shù)．例

2

求冪函數(shù)

?

(n)=

的導(dǎo)數(shù)．1

2

3

4

5

例

1

求常值函數(shù)

?

( )

=

C

的導(dǎo)數(shù)．n例

2

求冪函數(shù)

?

( )

=

的導(dǎo)數(shù)．n

=

1

時，( )′

=?1

2

3

4

5

例

1

求常值函數(shù)

?

( )

=

C

的導(dǎo)數(shù)．例

2

求冪函數(shù)

?

( )

=n

=

1

時，( )′

=?n

=

2

時，(

2)′

=?n的導(dǎo)數(shù)．1

2

3

4

5

例

1

求常值函數(shù)

?

( )

=

C

的導(dǎo)數(shù)．例

2

求冪函數(shù)

?

( )

=n

=1

時，()′=?n

=2

時，(2)′=?n

=3

時，(3)′=?n的導(dǎo)數(shù)．1

2

3

4

5

例

1

求常值函數(shù)

?

( )

=

C

的導(dǎo)數(shù)．n的導(dǎo)數(shù)．例

2

求冪函數(shù)

?

( )

=n

=1

時，()′=?n

=2

時，(2)′=?n

=3

時，(3)′=?n

=?1

時，(1

)′=?1

2

3

4

5

例

1

求常值函數(shù)

?

( )

=

C

的導(dǎo)數(shù)．例

2

求冪函數(shù)

?

( )

=n的導(dǎo)數(shù)．n

=1

時，()′=?n

=2

時，(2)′=?n

=3

時，(3)′=?n

=?1

時，(1

)′=?n

=1/2

時，p( )′

=?1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式I(C)′

=

0( )′

=?1(1)(2)1

2

3

4

5

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算2.1和與差的導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.3左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)2.4積與商的導(dǎo)數(shù)2.5反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.6復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1

2

3

4

5

和與差的導(dǎo)數(shù)運算定理1[C

( )]′

=

C′()[

( )

±

( )]′

=′()

±′()1

2

3

4

5

例

3

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．?42

++

1(1)?

()

=

23+

2(2)?

()

=2

?練答案1

2

3

4

5

?

( )

=

2

3

?42

+例

3

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)+

2(2)?

( )

=

2

?+

1練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．?

( )

=

5

?4+

e?

(4

+2

+

3)

=

( +

2

)(

33

+

2

)答案1

2

3

4

5

?

( )

=

2

3

?42

+例

3

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)+

2(2)?

( )

=

2

?+

1練求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．?

(?

()

=

5

?44

+2

+

3

+

e)

=

( +

2

)(

3

3

+

2

)答案

(1)

?

′( )

=

5

4

?16

3

+

2

+3；(2)

?

′( )

=

12

3

+

18

2

+

4

+

4．1

2

3

4

5

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算2.1和與差的導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.3左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)2.4積與商的導(dǎo)數(shù)2.5反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.6復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的幾何意義0函數(shù)

?

( )

在

處的導(dǎo)數(shù)

?

′((

)0)，就是曲線y

=?在點

(

0

,

y0

)

處的切線斜率．切線方程法線方程1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的幾何意義0函數(shù)

?

( )

在 處的導(dǎo)數(shù)

?

′((

)0)，就是曲線y

=?在點

(

0

,

y0

)

處的切線斜率．從而點

(

0

,y0

)

處的切線方程為y

?y

0

=

?

′(

0)(

?

0

)法線方程為?

(

0

)y

?y

0

=

?

′1

(

?

0)1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的幾何意義例

4

求

?

( )

=線方程．2在點(1,1)處的切線方程和法練習(xí)2答案1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的幾何意義例

4

求

?

( )

=線方程．2在點(1,1)處的切線方程和法11練習(xí)

2

求

?

( )

=方程和法線方程．在點2,

2處的切線答案1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)的幾何意義例

4

求

?

( )

=線方程．2在點(1,1)處的切線方程和法11練習(xí)

2

求

?

( )

=方程和法線方程．在點2,

2處的切線答案

切線方程為

+4

y

?4=

0．法線方程為

8

?2

y

?15

=

0．1

2

3

4

5

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算2.1和與差的導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.3左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)2.4積與商的導(dǎo)數(shù)2.5反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.6復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1

2

3

4

5

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)

?

( )

在

(

0

?δ,義，0

]上有定左導(dǎo)數(shù)定義+右導(dǎo)數(shù)+1

2

3

4

5

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)

?

( )

在

(

0

?δ,

0

]

上有定義，若左極限h→0?lim?

(

0

+

h)

??

(

0)h左導(dǎo)數(shù)存在，定義+右導(dǎo)數(shù)+1

2

3

4

5

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)

?

( )

在

(

0

?δ,

0

]

上有定義，若左極限lim?

(

0

+

h)

??

(

0)hh→0?存在，則稱它為

?

(?0)

在

處的左導(dǎo)數(shù)，記為

?

′(

0).定義+右導(dǎo)數(shù)+1

2

3

4

5

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)

?

( )

在

(

0

?δ,

0

]

上有定義，若左極限lim?

(

0

+

h)

??

(

0)hh→0?存在，則稱它為

?

(?0)

在

處的左導(dǎo)數(shù)，記為

?

′(

0).定義

設(shè)

?

( )

在

[義，0

,

0

+δ)上有定+右導(dǎo)數(shù)+1

2

3

4

5

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)

?

( )

在

(

0

?δ,

0

]

上有定義，若左極限lim?

(

0

+

h)

??

(

0)hh→0?存在，則稱它為

?

(?0)

在

處的左導(dǎo)數(shù)，記為

?

′(

0).0

,

0

+δ)上有定義，若右定義

設(shè)

?

( )

在

[極限h→0+lim?

(

0

+

h)

??

(

0)h存在，右導(dǎo)數(shù)+1

2

3

4

5

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)

?

( )

在

(

0

?δ,

0

]

上有定義，若左極限lim?

(

0

+

h)

??

(

0)hh→0?存在，則稱它為

?

(?0)

在

處的左導(dǎo)數(shù)，記為

?

′(

0).0

,

0

+δ)上有定義，若右定義

設(shè)

?

( )

在

[極限lim?

(

0

+

h)

??

(

0)hh→0+存在，則稱它為?

(0)

在 處的右導(dǎo)數(shù)，記為

?

′(

0).+1

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

1

導(dǎo)數(shù)存在

??

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等．性質(zhì)21

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

1

導(dǎo)數(shù)存在

??

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等．導(dǎo)數(shù)：?

′(0?

(

0

+

h)

??)

=

lim0(

)?左導(dǎo)數(shù)：?

′(0h→0

h?

(

0

+

h)

??)

=

lim0(

)+右導(dǎo)數(shù)：?

′(0h→0?

h?

(

0

+

h)

??)

=

limh→0+0(

)h性質(zhì)21

2

3

4

5

導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

1

導(dǎo)數(shù)存在

??

左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等．導(dǎo)數(shù)：?

′(0?

(

0

+

h)

??)

=

lim0(

)?左導(dǎo)數(shù)：?

′(0h→0

h?

(

0

+

h)

??)

=

lim0(

)+右導(dǎo)數(shù)：?

′(0h→0?

h?

(

0

+

h)

??)

=

lim

(

)h→0+0h點可導(dǎo)=?函數(shù)在性質(zhì)2函數(shù)在點連續(xù)．001

2

3

4

5

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于分段函數(shù)，有（假定

g

()和h

()可導(dǎo)）：?

( )

=g(

),

≤h(

),

>′=?

?

( )=((g′(

),

<h′(

),

>注記1注記21

2

3

4

5

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于分段函數(shù)，有（假定

g

()和h

()可導(dǎo)）：?

( )

=′=?

?

( )=((g(

),

≤h(

),

>

h′(g′(

),

<),

>注記

1

?

′(注記2)需要單獨研究：未必有

?

′()=

g′(

)．1

2

3

4

5

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于分段函數(shù)，有（假定

g

()和h

()可導(dǎo)）：?

( )

=′=?

?

( )=((g(

),

≤h(

),

>

h′(g′(

),

<),

>注記

1

?

′( )

需要單獨研究：未必有

?

′( )

=

g′(

)．注記2如果

?

( )

在=

點連續(xù)，則有),

?

′( )

=

h′(

).+?

′( )

=

g′(?1

2

3

4

5

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于分段函數(shù)，有（假定

g

()和h

()可導(dǎo)）：?

( )

=′=?

?

( )=((g(

),

≤h(

),

>

h′(g′(

),

<),

>注記

1

?

′( )

需要單獨研究：未必有

?

′( )

=

g′(

)．注記2如果

?

( )

在=

點連續(xù)，則有),

?

′( )

=

h′(

).?

′( )

=

g′(?

+此時

?

′( )

存在當(dāng)且僅當(dāng)

g′( )

=

h′(

)．1

2

3

4

5

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)

?

( )

=例

5

判斷函數(shù)在?=0

處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．+

1,

>

0;?

,

≤

0.1

2

3

4

5

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)

?

( )

=例

5

判斷函數(shù)在=0

處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．>

0;≤

0.?+

1,?

,(2)

?

( )

=

|

|.1

2

3

4

5

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)

?

( )

=例

5

判斷函數(shù)在=0

處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．>

0;≤

0.?+

1,?

,(2)

?

( )

=

|

|.≥

0;<

0.2

+2

+?(3)

?

( )

=

?,,1

2

3

4

5

練習(xí)

3

判斷函數(shù)在?2?

( )

=??

( )

=?(3)

?

( )

=

?=1

的連續(xù)性和可導(dǎo)性．+

1,

>

1;?

,

≤

1.+

1,

>

1;,

≤

1.2

+ +

2,

≥

1;2

+

5

,

<

1.1

2

3

4

5

?1,2

+b

+c,

≥0在<

0=0

可例

6

設(shè)

?

( )

=導(dǎo)，求b

和c．1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式II(e)′)′((3)(4)(ln)′(5)(

log)′

(6)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式II(e

)′

=

e()′(3)(4)(ln)′(5)(

log)′

(6)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式II(e

)′

=

e( )′

=·

ln(3)(4)(ln)′(5)(

log)′

(6)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式II(3)(4)(e

)′

=

e( )′

=·

ln(ln

)′

=1(5)(

log)′

(6)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式II(3)(4)(5)(e

)′

=

e( )′

=·

ln(ln

)′

=1(

log

)′

=

1·

ln(6)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式III(sin(cos)′)′(7)(8)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式III(sin

)′=

cos(cos)′(7)(8)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式III(sin

)′=

cos(cos

)′

=

?sin(7)(8)1

2

3

4

5

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算2.1和與差的導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.3左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)2.4積與商的導(dǎo)數(shù)2.5反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.6復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1

2

3

4

5

積與商的導(dǎo)數(shù)運算定理2(

( )

·

( ))′

=′(′()

·

( )

+)(

)·?()

?′=′(′())

·

(2

)

?

(

)

·(

)(

)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式IV利用商的導(dǎo)數(shù)運算公式，可以得到：(t

n(cot(sec(csc)′)′)′)′(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式IV利用商的導(dǎo)數(shù)運算公式，可以得到：(t

n

)′

=

sec

2(cot(sec(csc)′)′)′(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式IV利用商的導(dǎo)數(shù)運算公式，可以得到：(t

n

)′

=

sec

2(cot

)′

=

?csc

2(sec(csc)′)′(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式IV利用商的導(dǎo)數(shù)運算公式，可以得到：(t

n

)′

=

sec

2(cot

)′

=

?csc

2(sec

)′

=

sec

·

t

n(csc)′(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式IV利用商的導(dǎo)數(shù)運算公式，可以得到：(t

n

)′

=

sec

2(cot

)′

=

?csc

2(sec

)′

=

sec

·

t

n(csc

)′

=

?csc

·

cot(9)(10)(11)(12)1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式IV利用商的導(dǎo)數(shù)運算公式，可以得到：(cot(sec(csc(t

n

)′

=

sec

2)′

=

?csc

2)′

=

sec

·

t

n)′

=

?csc·

cot(9)(10)(11)(12)1=

cos1=

sin其中，sec．，

c

s

c1

2

3

4

5

例

7

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)

?

( )

=

·

ln1

2

3

4

5

例

7

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)(2)?

( )

=

·

ln?

( )

=

e

·

sin1

2

3

4

5

(3)

?

( )

=例

7

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)(2)?

( )

=

·

ln?

()

=

e

·

sinsin21

2

3

4

5

(3)

?

( )

=例

7

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)(2)?

( )

=

·

ln?

()

=

e

·

sinsin(4)

?

( )

=23

+

2e1

2

3

4

5

練習(xí)

4

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．?

(?

()

=

e

·

ln)

=

sin

·

(4

+)

e(3) ?

( )

=21

2

3

4

5

函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)運算定理

3

由兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式，可以得到多個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式，例如：′( )

·

( )

·

(

)=(

)′

()

·

( )

·′()

·+

( )

·(

)+

( )

·

( )

·′(

)例81

2

3

4

5

函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)運算定理

3

由兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式，可以得到多個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式，例如：′( )

·

( )

·

(

)=(

)′

()

·

( )

·+

( )

·(

)·

s+i

n

(

的)導(dǎo)·′(

)′()

·( )

·例

8

求

?

( )

=

e

·數(shù)．21

2

3

4

5

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算2.1和與差的導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.3左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)2.4積與商的導(dǎo)數(shù)2.5反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.6復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1

2

3

4

5

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[?

( )]′

=定理

4

設(shè)

y

=

?

( )

在點數(shù)?

′(

)，并且其反函數(shù)處有不等于0

的導(dǎo)=?

?1(y)在相應(yīng)點處連續(xù)，則[?

?1(y)]′存在，并且1[?

?1

(y)]′y.注記1

2

3

4

5

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[?

( )]′

=定理

4

設(shè)

y

=

?

( )

在點數(shù)?

′(

)，并且其反函數(shù)處有不等于0

的導(dǎo)=?

?1(y)在相應(yīng)點處連續(xù)，則[?

?1(y)]′存在，并且1[?

?1

(y)]′y.d

yd注記

上式也可以寫成=1dd

y．1

2

3

4

5

基本導(dǎo)數(shù)公式V(

rcsin)′

(13)(

rccos)′

(14)(

rct

n(

rccot)′

(15))′1

2

3

4

5

(16)基本導(dǎo)數(shù)公式V1(

rcsin

)′

=

p

(13)(

rccos)′1

?

2(14)(

rct

n)′

(15))