等差數(shù)列的前項(xiàng)求和公式

關(guān)于等差數(shù)列的前項(xiàng)求和公式第1頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五復(fù)習(xí)1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式2、等差數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列{a}中m+n=p+q，則am+an=ap+aq若a1為首項(xiàng)，d為公差，則an=a1+(n-1)d當(dāng)p=q時(shí)，m+n=2p，則am+an=2ap，稱ap為等差中項(xiàng)第2頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五

分析：高斯是如何很快的解出其結(jié)果的呢？問題：1＋2＋3＋……＋100＝？引入首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+100=101，第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：2+99=101，第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3+98=101，……第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50+51=101，于是所求的和是：高斯算法第3頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五高斯的問題，可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…的前100項(xiàng)的和，求:1+2+3+4+…+n=?如果令Sn=1+2+3+...+（n-2）+（n-1）+n顛倒順序得Sn=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1則倒序相加法將兩式相加2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）第4頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五推導(dǎo)下面對等差數(shù)列前n項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…它的前n項(xiàng)和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序顛倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由(1)+(2)得2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+..由等差數(shù)列的性質(zhì)a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

Sn=n(a1+an)/2

第5頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五如果代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以用首項(xiàng)a1和公差d表示，即

Sn=na1+n(n-1)d/2

所以，等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式是或第6頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五例題例1

等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和是54？例2

已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式例3求集合M={m|m=7n,n是正整數(shù),且m<100}的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和.第7頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五解：將題中的等差數(shù)列記為｛an｝，Sn代表該數(shù)列的前n項(xiàng)和，則有a1=－10,d=－6－(－10)=4設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為54，即Sn=54根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0解得n1=9,n2=－3(舍去)因此，等差數(shù)列－10,－6,－2,2，．．．前9項(xiàng)的和是54.第8頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五解:由題，等差數(shù)列的前10項(xiàng)和S10=310，前20項(xiàng)和S20=1220根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式得解得a1=4，d=6因此，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是將此結(jié)果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n第9頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五解:根據(jù)題意，由7n<100得n<100／7由于滿足它的正整數(shù)n共有14個(gè),所以集合M中的元素共有14個(gè).即7,14,21,…,91,98這是一個(gè)等差數(shù)列,各項(xiàng)的和是因此，集合M中的元素共有14個(gè),它們的和為735.=735第10頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五由于Sn=n(a1+an)/2

整理可得

Sn=d/2n2+(a1-d/2)，其中a1、d均為已知數(shù)若令A(yù)=d/2,B=a1-d/2，則S=An2+Bn將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式寫成上述形式,有利于求其前n項(xiàng)和的極值:

a1<0,d>0

a1>0,d<0極大值無有極小值有無nsnnsna1<0,d>0,極小值

a1>0,d<0,極大值探究第11頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五例1.一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中,前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和的.問此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大?分析：S3=S11,這里可以找出a1與d的關(guān)系,則Sn是d的函數(shù)由等差數(shù)列構(gòu)成的函數(shù)圖象，可知n=（3+11）/2=7時(shí)，Sn最大即n=7第12頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五第13頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五練習(xí)1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、一個(gè)項(xiàng)數(shù)為36的數(shù)列的前四項(xiàng)和是21，后四項(xiàng)和是67，求這個(gè)數(shù)列的和。3、{an}是等差數(shù)列，S10>0,S11<0,則求使an<0的n的最小值第14頁，共17頁，2022年，5月20日，15點(diǎn)16分，星期五總結(jié)

1.推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法-------倒序相加法2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想.

-------方程、函數(shù)思想3.公式中五個(gè)量a1,d,an,n,sn,已知