切比雪夫1型濾波器概要

目錄TOC\o"1-5"\h\z1課題描述 1設(shè)計原理 12.1濾波器的分類 1\o"CurrentDocument"2.2模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo) 12.3切比雪夫1型濾波器 2\o"CurrentDocument"2.3.1切比雪夫1型濾波器的設(shè)計原理 3\o"CurrentDocument"2.3.2切比雪夫1型濾波器的設(shè)計步驟 3脈沖響應(yīng)不變法\o"CurrentDocument"3.1脈沖響應(yīng)不變法原理 64設(shè)計內(nèi)容 64.1設(shè)計步驟 64.2用MATLAB編程實現(xiàn) 64.3設(shè)計結(jié)果分析 105總結(jié) 10\o"CurrentDocument"6參考文獻(xiàn) 10數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要工具之一，它通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾出某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，二數(shù)字濾波器處理精度較高，體積小，穩(wěn)定，重量輕，靈活，不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊功能。故本書課題使用MATLAB信號處理箱和運(yùn)算用切比雪夫法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計切比雪夫1數(shù)字低通濾波器，通帶截止頻率100hz，阻帶截止頻率150Hz，采樣頻率1000hz，通帶最大衰減為0.5dB，阻帶最小衰減為10dB，畫出幅頻、相頻響應(yīng)曲線，并設(shè)計信號驗證濾波器設(shè)計的正確性。設(shè)計原理2.1.濾波器的分類從功能上分；低、帶、高、帶阻。從實現(xiàn)方法上分:FIR、IIR從設(shè)計方法上來分：Chebyshev(切比雪夫)，Butterworth(巴特沃斯)從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器2.2 模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)設(shè)ha(jQ)是一個模擬濾波器的頻率響應(yīng)，則基于平方幅度響應(yīng)J(Q)=Ha(jQ)的低通濾波器技術(shù)指標(biāo)為：0W|Ha(jQ)|W1/A”2,QsW|I、W|打打(j口)「WIJ。］<Q”其中8為通帶波動系數(shù)，pQ和sQ是通帶和阻帶邊緣頻率。A為阻帶衰減系數(shù)TOC\o"1-5"\h\z， 1+EA1 、從圖知必須滿足 '其中參數(shù)8和A是數(shù)字濾波器指標(biāo)2.3切比雪夫1型濾波器2.3.1切比雪夫濾波器介紹在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。因此，若濾波器的技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會超出技術(shù)指標(biāo)。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)，或同時在通帶和阻帶內(nèi)都均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾波器階次。通過選擇一種具有等波紋特性而不是單調(diào)特性的逼近方法可以實現(xiàn)這一點。切比雪夫型濾波器就具有這種性質(zhì)：其頻率響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的（稱為I型切比雪夫濾波器），也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶中是等波紋的（稱為II型切比雪夫濾波器）。I型切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)是G加)=|孤㈤)|=回心）1=ZT—?其中|E|V1。而 偵一-，-是濾波器在截止頻率一5的放大率（注意：常用的以幅度下降3分貝的頻率點作為截止頻率的定義不適用于切比雪夫濾波器!）Tn（蘭）? 是。階切比雪夫多項式：以［—）—cos（n.-arccos—）;0<從定義切比雪夫多項式可以直接得出由Tn(x)和Tn-1(x)求Tn+1(x)的遞推公式。將三角恒等式得Tn+1(x)=2(x)T(x)-Tn-1(x)當(dāng)0<x<1時，Tn"2(x)在0和1之間變化；當(dāng)x>1時，cos-是虛數(shù)，所以Tn(x)像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加；IHn(w)I對于0Ww/w0W1呈現(xiàn)出在1和1/(2e"2)之間的波動；而對于w/w0〉1單調(diào)地減小。需要用三個參量來確定該濾波器：8,w0和N。在典型的設(shè)計中，用容許的通帶波紋來確定8,而用希望的通帶截止頻率來確定w0。然后選擇合適的階次n,以便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。2.3.2切比雪夫1型濾波器的設(shè)計原理切比雪夫濾波器(又譯車比雪夫濾波器)是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動的濾波器。在通帶波動的為“I型切比雪夫濾波器”，在阻帶波動的為“II型切比雪夫濾波器”。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內(nèi)存在幅度波動。切比雪夫I型為例介紹其設(shè)計原理幅度平方函數(shù)用IH(j)1表示8為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，8越大，波動幅度也越大。Qp稱為通帶截止頻率。令入二Q/Qp，稱為對Qp的歸一化頻率。定義允許的通帶內(nèi)最大衰減ap用下式表示定義允許的通帶內(nèi)最大衰減pa用下式表示ap=10lgmaxIHa(jQ)I"2/minIHa(jQ)I"2IQIWQp式中maxIHa(jQ)I"2=1minIHa(jQ)I"2=1/(1+8"2)因此ap=10lg(1+8"2) 8"2=10"(0.1ap)-1這樣，可以根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減ap，可求出參數(shù)8。階數(shù)N影響過渡帶的寬度，同時也影響通帶內(nèi)波動的疏密，因為N等于通帶內(nèi)的最大值和最小值的總個數(shù)。設(shè)阻帶的起點頻率為Qs，則有令A(yù)=7c\‘由4>l有烏（婦二匚仇）二z

C-可以解出3dB截止頻率用魚表示，1=%按照（2-3-0式，有一fl=12cA一arch—rU￡)經(jīng)過一系列推論得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為Gjp）二v去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為擰」w）=G（P）,二 L Ff2vin（^-A￡2ji=\2.3.3切比雪夫低通濾波器的設(shè)計步驟（1）確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：邊帶頻率QP，它們滿足TOC\o"1-5"\h\zap=IOlg 1——r\o"CurrentDocument"名=101g E T網(wǎng)（2）求濾波器階數(shù)N和參數(shù)8archk^'1N— !—先求出1/k1，再求出階數(shù)N，取符合條件的N的最小整數(shù)。（3）求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga（p）G心）= 五 d=J（4）將去歸一化，得到實際的Ha（s）乩⑴=G（p）“函數(shù)說明:用MATLAB設(shè)計切比雪夫1型低通濾波器[z,p,k]=cheb1ap(N,Rs)該格式用于計算N階切比雪夫1型歸一化模擬濾波器的零極點和增益因子，返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置°Rs是阻帶最小衰減。[N,wso]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計算切比雪夫1型數(shù)字濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso,調(diào)用參數(shù)分別為數(shù)字濾波器的通帶頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值。[N,wso]=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計算切比雪夫1型模擬濾波器的階數(shù)N和阻帶頻率wso。wp.ws是實際模擬角頻率。[B,A]=cheby1(N,Rs,wso,’ftype’)該格式用于計算N階切比雪夫1型數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母的多項式系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫1型數(shù)字濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率的歸一化值。[B,A]=cheby1(N,Rp,wso,’ftype’，’s’)該格式用于計算N階切比雪夫1型模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫1型模擬濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率的歸一化值。Impinvar功能：用“脈沖響應(yīng)不變法”將模擬濾波器離散化。[BZ,AZ]=impinvar(B,A,Fs)Plot(X,Y)功能：繪制線性二維圖形gridon功能：對當(dāng)前坐標(biāo)系添加主要網(wǎng)格線。3脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法原理脈沖響應(yīng)不變法是實現(xiàn)模擬濾波器數(shù)字化的一種直觀而常用的方法。它特別適合于對濾波器的時域特性有一定要求的場合。脈沖響應(yīng)不變法的核心原理是通過對連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令h(n)=ha(nT)，T為采樣間隔。它是一種時域上的轉(zhuǎn)換方法。一個模擬濾波器的傳遞函數(shù)可以用有理分式表達(dá)式表示為：a+as+...+aSmTOC\o"1-5"\h\zH(s)=-To71 T~Ma b+bs+...+bSn01 N(3-1)通過反拉普拉斯變換我們就可以得到它的沖激相應(yīng)：h(t)=L-i[H(s)]a a(3-2)脈沖響應(yīng)不變法就是要保證脈沖響應(yīng)不變，即：h(n)=h(nT)(3-3)對上式的沖激相應(yīng)序列h(n)作z變換，就可以得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：H(Z)=ZT[h(nT)](3-4)一般來說，H(s)的分母多項式階次總是大于分子多項式的階次。假定H(s)的沒有多重極點，則式(1)就可分解為：vAH(s)=vi=1(3-5)式中s，Ai均為復(fù)數(shù)，s是H(s)的極點。其拉氏變換為ah(t)=VAeSiTnu(n)a i=1一般來說，H((s)的分母多項式階次總是大于分子多項式的階次。數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)經(jīng)過合并簡化，成為一般形式的有理分式傳遞函數(shù)H(z)=%+七Z"+…+將td+dz-1+...+dz-N(3-6)在討論采樣序列z變換與模擬信號拉氏變換之間關(guān)系的有關(guān)章節(jié)中，我們已經(jīng)知道H(Z)'z盤TS(s+，令K)K=—3(3-7)按照z=esT的關(guān)系，每一個s平面上寬度為2兀/T的水平條帶將重迭映射到2平面上。因此脈沖響應(yīng)不變法將，平面映射到2平面，不是一個簡單的一一對應(yīng)的關(guān)系。對于高采樣頻率(T小)的情況，數(shù)字濾波器在頻域可能有極高的增益。為此我們采用H(z)=研 件 (3-8)1-esjrz-1i=1h(n)=Th(nT)=歹TAespiu(n) (3-9)i=1在脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計中，模擬頻率與數(shù)字頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是線性的(3=0*T)。同時，它可以保持脈沖響應(yīng)不變，h(t)=h(nT)。因此，這一方法往往用于低通時域數(shù)字濾波器設(shè)計及相應(yīng)的模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真設(shè)計。4實驗內(nèi)容4.1設(shè)計步驟按一定規(guī)則將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)；根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)使用濾波器階數(shù)函數(shù)，確定濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率Wc；利用最小階數(shù)N產(chǎn)生模擬切比雪夫低通濾波原型。利用沖激響應(yīng)不變法或雙線性不變法把模擬切比雪夫濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字切比雪夫低通濾波器。4.2試驗程序低通濾波器程序fp=100;fs=150;Rp=0.5;Rs=10;Fs=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;[N,wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); %計算階數(shù)N和截止頻率wcNwc[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp);%計算系統(tǒng)函數(shù)零極點和增益[Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); %將系統(tǒng)函數(shù)的零極點轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)函數(shù)一般形式的系數(shù)[b,a]=lp2lp(Bap,Aap,wc); %將模擬低通濾波器原型，轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器[bz,az]=impinvar(b,a,Fs);%采用脈沖響應(yīng)不變法，將模擬低通濾波器，轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器figure(1)[H,W]=freqz(bz,az,Fs);%計算頻率H和頻率響應(yīng)Wsubplot(2,1,1),plot(W/pi,20*log10(abs(H)))xlabel('幅頻/Hz');ylabel('幅度/dB');gridon;subplot(2,1,2),plot(W/pi,180/pi*unwrap(angle(H)))xlabel('相頻/Hz');ylabel('相位/"o');gridon;FileEditDebugDesktopWindowHelp□ |<X>■露G04|W| |CurrentDirectory:e:WJLABTAwork▼|...色Shortcuts回HowtoAdd回VMiat'sNew?fp=100;fs=150;Rp=0.5;Rs=10;Fs=1000;Wp=2*pi*fp:Ws=2*pi*fs;[N,wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,”s'); %計算階數(shù)N和截止頻率wcNwc[z,k]=cheb1ap(N,Rp);%計算系統(tǒng)函數(shù)零板點和增益[Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); %將系統(tǒng)函數(shù)的零極點轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)函數(shù)一松形式的系數(shù)[b,a]=lp2Ip(Bap,Aap,wc); %將模嘏低通濾波器原型，轉(zhuǎn)換為模很低通濾波器tbs,az]=i]npinvar(b,Fs);%采用脈沖響應(yīng)不變法，將模楓1氐通濾波器，轉(zhuǎn)換為數(shù)字偶通濾波器figure(1)[H,W]=freqz(bz,az,Fs);%計箕頻率H和頻率響應(yīng)Wsubplot(2j1,1),plot(W/pi,20*logl0(abs(H)))xlabelC幅頻/Hz')jylabel('幅度/dB');gridon;subplot(2j1,2),plot(W/pL180/pi*unwrap(angle(H)))xlabel('相頻/Hz'):ylabel('相位/"o');gridon;N=3wc=628.3185?FileEditViewInsertTool&'DesktopWind.典vwHelp20-&00 0.1 0.2 0.3 0.4_O.S0.6 0.7 0.8 0.9 1幅頻用正0-50ooo-Z4CDPJ皴婆口回耐獸吸貝用甸曼口匡I□20-&00 0.1 0.2 0.3 0.4_O.S0.6 0.7 0.8 0.9 1幅頻用正0-50ooo-Z4CDPJ皴婆匕-100也妾-160-200-2&00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1相頻/也驗證濾波器的正確性程序figure(2);f1=50;n=150;m=0:(n-1);t=m/Fs;%采樣點數(shù)subplot(2,3,1)x=sin(2*pi*f1*t);plot(t,x);title('f1輸入信號’)；f2=200;x=sin(2*pi*f2*t);subplot(2,3,2)plot(t,x);title('f2輸入信號')；subplot(2,3,3)x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);plot(t,x);title('疊加后輸入信號')；y=filtfilt(bz,az,x);subplot(2,3,4)plot(t,y);title('濾波之后的信號')subplot(2,3,5)plot(t,sin(2*pi*f1*t));title('希望輸出的信號');:ileEditDebugDesktopWindowHelpZj滂若辱建GC籌酋警 CurrentDirectory:|e:MVTLAW'work...ft7]Shortcuts回HowtoAdd回Vest'sNew>>fp=100;fs=150;?p=0.5;Rs=10;7s=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;[N,wc]=cheblord(Wp,Vs,Kp,Rs,'s'); %計算階教M和截止頻率wcvc[z,p,k]=cheblap(N,Rp):黑計算系統(tǒng)匣I數(shù)零極點和摺益[Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); %將系統(tǒng)函數(shù)的零極點轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)函數(shù)一殖形#的系數(shù)[b,a]=lp21p(Bap5Aap,wc);務(wù)將模揪低通避波器原型，轉(zhuǎn)換為模擬?低通獲波器[bz,az]=impinvar(b,a,Fs);%采用脈沖響應(yīng)不亶法，將模擬低通濾波器，轉(zhuǎn)換為數(shù)享低通濾波器:igure(1)[H,W]=freqz(bzjaz,Fs);角計算頻率H和頻率響應(yīng)Wsubplot(2,1,1)jplot(W/pi,20*log10(abs(H)))《label「幅頻/H#)jylabelCf|>SJW/dB?);gridon;subplot(2,132)plot(V/pi,180/pi*urtwrap(angle(H)))clabel('相頻/Hz');ylabelC相位廠o');gridon;:igure(2);:l=50;i=150;in=0:(n-1)代=m/Fs;%采樣點數(shù)subplot(2,3,1)<=sin(2*pi*f1*1);slot(tJx)jtitleCfl^iA信號)；:2=200;<=sin(2*pi*f2*-t);subplot(2,3,2)ilot(tjx);title('￡2輸入信號’)；subplot(2j3^3)<=sin.(2*pi*f1*t)4-sin(2*pi*f