2020年中考數(shù)學專題突破十一：隱圓-動點到定點之定長的軌跡類問題

專題-一:隠圓一一幼撫到定點Z定長的就跡類問題【導例引入】導例:如亂在矩形ABCD中，AB=2,BCP現(xiàn)有一根長為2的木棒EF鑒貼著拒形的邊卸些個端點始裟在更刑的邊上），按逆吋孑方向滑石一底L則木嗪EF的中點P■在迂動過程中序圍或F勺面枳対面枳.【方法指引】荻們切這，在一個平面旳，線段AE燒它固定的一個端點.A號傳一周，另一個端點.B所托成抽圖刑叫做圓，如圖所不，從液據(jù)此定:匕扶‘1」來解訣一奕走點+定去旳功念奕匸題.延伸：凰夕卜一點卩到圓上的怎恤距離為「乩最￡距離為Pfr1,4、o□點衣叵一條苣踐上，即F1,A,B二粽過圓心3）;圓內(nèi)一臣F到圓上的最患距雇為啓,最氏距離訶PB5（卩、2、th呂四叵在同一殺苣找上,即P.4包三占過園心O）-應用兒何性質(zhì):三甬形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;兩點、問線段最短,連接宜線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最患,@定圓中的所有弦中，直徑最長.方法：見動點遇定點f知定長T^|園f定國觀“園”形11導例解析:'：?是EF的中點.?.BP=2ef=2xz=1.如圖所示，點P的運動軌跡是4股弧長907TX1+2段線段的長處即4X180+2X2=2兀+4?【例題精講】類型一：隱圓之動點定長晨矩距富問題例1?如劉在RtAABC中，AC=6,BC=8,點F在邊AC上，并且CF二2,點E為邊BC上的動點，將ACEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是?分析：ACEF沿直線孑翻折時,點F為宦點J??CF二PF…??PF為定線'即動點P到定點F的距離始終不變，即點P在以F為圓I',PF長為半徑的圓上運動?如此一來本題就輕化為圓上一點到直線的爰短距離問題。類型二：隱園之動點定長躥徹跡問題?例2?如圃O(shè)0的半徑為2,AE?CD是互相垂直的兩條直徑，點P是00上任意一點，過

點P作PM丄AB于點對PN1CD于點N,點Q是耐的中點，當點P從點A運動到點D時,點Q所經(jīng)過的路徑長為（）nunA?4E?3c?2D??！痉治觥窟B接OF,則OF的長度不變，始終等于半徑，則根據(jù)矩形的?性質(zhì)可得05=1,點Q在以點0天1圖心，1次半徑的II弧上運動，再由走討的角度代入弧長公式即可.【專題過關(guān)】如虱邊長為2的正方形ABCD的頂點A,B在一個半徑為2的匾上頂點6D在該圓內(nèi)，將正方形AECD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點D第一友落在圓上時，點C運動的路線長為■如團'在RtA^BC中，BC=AC=2,點M是AU邊上一動點"連接BM,以CM為直徑的00交劭0于則線段血的最小值為?如圖，在矩形應CQ中〉A(chǔ)B=4；BC=6,￡是矩形內(nèi)部的一個動點，且4E丄則CD上的一個動點，連接AP,則AP的最小值是【構(gòu)造運用】如圖4,在邊長為4的菱形ABCD中，ZA=60w〉M足AD邊的中點，N是AB邊上一幼點.將△AMN沿MN所在的直線翻折得到Aa，MN.連接屮C,請求出A，C*度的最小值解：由折養(yǎng)知A，M=AM,又“是AD的中點，可得MA=MA7=MD.＞點A，在以AD為直徑的圃上，如園5,以點心，MA天I半徑畫0M,過M作MHlCD,垂足初H（請繼續(xù)完成本題的后續(xù)解題過程》.【深度運用】如團6,AABCx△EFG均是邊長為4的等邊三角形，點D是邊BC、￡f■的中點，直線AG,FC相交于點M，當ZkEFG繞點D施轉(zhuǎn)時，則線段BM長笊最小值和最大值分別是和幅答案:例1?如因'延長"交于當FPlAB^,點P到“的距離最小.AFFM\'Za=ZaZAMF=ZC=90°^???MFMSM8C，??,3二孔.:CF-2^&U6,BC=8,?\AF^4,AB^JAC+DC^10?4FM/?10=8??\FM=3.2????PF=CF=2,:.PM=1,2.???點P到邊AB距蔑的最小值定1.2.例2.VPMly軸于點叭FN丄x軸于點N,???四邊形0冋是矩形.又：?點Q為噴的中點,90ttx1n???點Q為OP的沖點，貝」OQ=1一二點Q走過的路徑長二180=2.故迭c.【專題過關(guān)】2?l.h+71.因為正方形的邊長為2,圓的半徑為2,正方形.450沿圓的內(nèi)壁作無滑動的滾動.當滾動一周回到原位気時，正方形總共轉(zhuǎn)動了6次，點C運動的路徑是以、AC為半徑，旋轉(zhuǎn)兩次的弧長和以正方形的邊長為半^旋轉(zhuǎn)3次的弧長的和（還有一次點C在圓上，為旋轉(zhuǎn)宜中心），如團'分別連接0雄，OB,ODSOC,OC仃-.-OA=OB=2\B；.\AOAB是等邊三角形?.-.ZOAB=60°?同埋可證ZOAD?=60°????ZD'AB=120。.?.?ZDzABz=90%.\ZBAB/=120o-90^=30°.莊旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知ZCA>ZB￡E=30。.???四邊形AECD為正萬形，且邊長為2,/.ZABC=90%十2=2?.30ttx2#????當點D第一次落在圓上時，點C運動的路線長為：180亍.ypn莊上面的計算過程可知，每次的旋轉(zhuǎn)角都為30%所以點"運動的路徑為：VX2+30ttx22Qr180X2=3+兀.2.如團2,連接C7V.?.?力川是0O的直徑,/.ZrWAzT=90°?.\ZtWS=90o????點M在汰■FC為直徑的0。'上.的半徑為1,.當點夕,曲,力共線時，阿最小，如囲2.在RtZXNO'C中，???O‘C=bAC=2,/.Oz戸皿十AC?*.???AN=Q-<?*?A-^-b即線段例長度的最小值為a/5-!.故答案為2-1???VE丄旋…??點&在以佔為直徑的半00上連接O0交0O于點刃…??當點E位于點礦位罡時，線段d取得最小值.9：AB=A,：.OA=O3=OE/=2.■：BC=^：.OC=V?^+OB-=；62+22=2^則CT=00-02'=2何-2.故答案為：2何-2.4.如團，?/MA/是定值，LC長度取最小值時，即以在MC上時.過點M作MH1LC于點兀I?在邊長為4的菱形ABR中，ZA=60°小為AD中點,???2MD=AD=CD=4ZHDM=60°?1???ZHMD=30°?/.HD="MD=1.-?.H}.!=DMXcos30°=E?.MC=7c/f2+MH2=2^J7..'.A'C=MC-TIA7=2少-2.放笞秦為2,-2????"=4,當3F緣點A旋轉(zhuǎn)吋，點F在以人為圓心，4為半徑的圓上,.?.當8F為此園的切線時，厶8F最大，即BF]_AF,在Rt^ABF中，BF=Jh-4^=3,\'Zf4F=90°,?\Z8AF+Z8AH=90°,\9Zdah^Zbah=90^,??.Zdah=Zbaf,（乙AHD=zAFB，^DAH=z.BAF、在dDH和亠時中，AD=AB、??厶DH望AABF（4AS）,11:.DH=BF=3,???Sam￡=%FDH=，X3X4=6?故答案為6?6?分兩步:連接AP,AP=APy…??Aa*PC周長pVF+PC+"OAP+PC+以C.?.?ap+pOac,當A,P,C三點共線吋，AP十PC有最小值，是血C的長.."?AC三IMN的父點就是點P.由勾股定理得：Ac4+於=2廬.以M點為圓心，EIA為半徑作圓，如圖所示，連擾CM,VAyOCM-A7M,/.當⑷jV,C三點共線時＞2C有晨小值，此時M罡AD的中點..-.AM=DM=1.???MC=J&f=戸?由折競得AM=AyM=b:、ZC=MC-AyM二仲1..?.△AM周長的最小值是何1+2九B7.（1）如虱連接OE????直甬三魚板AEC的斜邊AE與量角;器的直徑恰好重合，???點A,E,B,C共風T點E對應的刻度是90S1Z1AOE>90°..?.Z^AC&=2ZA05>45o..\ZADE^ZA^ZACE>75o?⑵連接DP,設(shè)0C的甲點為O.?/PE=PC,.\OP1EC./.ZOPC=90°.點P的運動軌跡是以O(shè)C為直徑的半圓，11YOC^AB^4>.\OO^OC=2.點P的運動路徑的長為爐2=2冗8.（1）-.'Aabc是等邊三角形，「.Za二Zb二Zc=60°?由折養(yǎng)可知:DF=DC,且點F在AC±./.ZDFC=ZC=60°./.ZOFC=ZA./.DF//AB5（2〉存在,理由如下：過點D作DM1AB交AB于點M.\AB=BC=6/BD=4,.\CD=2..\DF=2.F在以D為凰心》DF為半徑的區(qū)1上.?I當點F在DM±時，SAABF>d\-/BD=4,DM丄AB,ZABC=60°,/.MD=2x^.11.?.SAABF的最小值二亍X6X（2蟲2）=6\^-6..-.S最犬值二？X2x3—（6血6）二?3屈6.（3）如圖，過點D作DG丄EF于點G過點E作EH丄CD于點H.G?.'△CDE關(guān)于DE的軸對稱圖形為△FDE,/.DF=DC=2^ZEFD=ZC=60o??.■QD丄EF,ZEFD=60°〉???FG二1,DG=aAfG=V^.?.BD2二BGJDGS.\16-3+（BF+1）\.\BF=V^-1.EC①.-.BG=V^.'.-EH1bC,Zc=60°‘?-.CH=2,EH=^HC=2EC??.?Zgbd=Zebh,Zbgd二Zbhe二?.?Zgbd=Zebh,Zbgd二Zbhe二90°,?\AbgdooAbhe.9.【問題情境】如答團「在圓O上任意収一個不同于點B的點G連接oc,OP.則有OPtOC>PC?由OB-OC得到:OP+OB>PC,即PB>PC?從而得出結(jié)段PB是點P到圓0上各點的跑崗中最長的線段；【直接運層】如答團RA言圖2找到BC的中點E,連接AE,交半圓于P2,在半圓上取P“連接AP”EP”可見，APi+EPi>AE^即AB是AP的最小值.TAE二Q+2二伍p.E=i,/.AP2=\^-1.故答秦為:伍1.【構(gòu)造運用】如答圖3所示.VMA7是定值，A，C長度取最小值時，即A，在MC±時，過點M作MH丄DC于點F?T在邊長為4的菱形A8CD中,ZA=60°為AD中點,1?-.2MD=AD=CD=4?ZHDM=60°??\ZHMD=30°??-.HD=2mD=1?.-.HM=DMXCos30°二小.??.ZojH葉+CM>2、P?：4’C=MC-MAy=2#-2^【深度運用】設(shè)AC的屮點6連接ASDGxBOsOM,如1答圖4?-/AaBC,AEFG均是邊長為4的等邊三魚形，點D是邊BC,EF的中點，da^dg.".adIbc,gdIef,DA=DG,DC=DF??-.ZaDG=90°?Zcdg=Zfdc,DCDF?z.Adag^Adcf./.Zdag=Zdcf..*.