復(fù)數(shù)的概念公開課課件

我們知道,對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0,當(dāng)b2-4ac<0時,沒有實數(shù)根.這說明,人們在研究代數(shù)方程的過程中,限制實數(shù)集合,有些問題就無法解決.因此,需要把實數(shù)集進(jìn)一步擴(kuò)充,這就是本章里我們將要學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)的知識.復(fù)數(shù)是16世紀(jì)人們在解決二次方程、三次方程時引入的.大約經(jīng)過了一個世紀(jì),才逐步形成完整的理論.現(xiàn)在,它已在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)以及其他科學(xué)里得到廣泛應(yīng)用,是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)上普遍使用的一種數(shù)學(xué)工具.復(fù)數(shù)的初步知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),復(fù)數(shù)也是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識.知識引入第1頁/共24頁我們知道,對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx1

我們能否將實數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？思考？

我們知道，對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)b2－4ac<0時，沒有實數(shù)根。如果要解決這一問題，其最根本的就是要解決1的開平方問題，即怎樣的一個數(shù)，它的平方會等于－1。第2頁/共24頁我們能否將實數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能2

現(xiàn)在我們就引入這樣一個數(shù)

i

，把

i

叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).

全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示.

（2）實數(shù)可以與i

進(jìn)行四則運算，在進(jìn)行四則運算時，原有的加法與乘法的運算率(包括交換率、結(jié)合率和分配率)仍然成立。（1）i21；講授新課第3頁/共24頁現(xiàn)在我們就引入這樣一個數(shù)i，把i叫做虛數(shù)3實部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母

z

表示，即虛部其中稱為虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系？討論？復(fù)數(shù)a+bi第4頁/共24頁實部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母z表示，即虛部其中4練一練說出下列復(fù)數(shù)的實部與虛部.并指出哪些是實數(shù)?哪些是虛數(shù)?哪些是純虛數(shù)?復(fù)數(shù)實部虛部實數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)42-3i0-6i√√√√√√√第5頁/共24頁練一練說出下列復(fù)數(shù)的實部與虛部.并指出哪些是實數(shù)?哪些是虛數(shù)5例1:

實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)

（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解:（1）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)．（2）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)即時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．第6頁/共24頁例1:實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)解:（1）當(dāng)6練習(xí):當(dāng)m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)（1）實數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)(3)m=-2(1)m=(2)m第7頁/共24頁練習(xí):當(dāng)m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)7

如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等．復(fù)數(shù)相等的定義：

第8頁/共24頁如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)8由這個定義得到a+bi=0.

一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說它們相等或不相等，而不能比較大小。例如，1+i與3+5i不能比較大小。

當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)均為實數(shù)時，才能比較大小。第9頁/共24頁由這個定義得到a+bi=09例2:

已知，其中求解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組得第10頁/共24頁例2:已知101、若x，y為實數(shù)，且

求x，y.練習(xí)：x=-3,y=4第11頁/共24頁1、若x，y為實數(shù)，且練習(xí)：x=-3,y=4第11頁/共24112、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.x=2第12頁/共24頁2、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的123、已知復(fù)數(shù)x=1第13頁/共24頁3、已知復(fù)數(shù)x=1第13頁/共24頁13在幾何上，我們用什么來表示實數(shù)?想一想？實數(shù)的幾何意義類比實數(shù)的表示，可以用什么來表示復(fù)數(shù)？實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示。實數(shù)

數(shù)軸上的點

(形)(數(shù))一一對應(yīng)第14頁/共24頁在幾何上，我們用什么來表示實數(shù)?想一想？實數(shù)的幾何意義類比實14回憶…復(fù)數(shù)的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)實部!虛部!一個復(fù)數(shù)由什么唯一確定？根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義知，一個復(fù)數(shù)由實部和虛部唯一確定.第15頁/共24頁回憶…復(fù)數(shù)的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)實部!虛部15復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標(biāo)系中的點Z(a,b)xyobaZ(a,b)

這個建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實軸y軸------虛軸（數(shù)）（形）------復(fù)數(shù)平面

(簡稱復(fù)平面)一一對應(yīng)z=a+bi復(fù)數(shù)的幾何意義第16頁/共24頁復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標(biāo)系中的點Z(a,16復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面中的點Z(a,b)（數(shù)）（形）一一對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義注：實軸上的點都表示實數(shù)，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).第17頁/共24頁復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面中的點Z(a,b)（數(shù)）（形）一一對應(yīng)17(A)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上；(B)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于純虛數(shù)的點都在虛軸上；(C)在復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實數(shù)；(D)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)。1．下列命題中的假命題是（）D例題講解2.已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)m允許的取值范圍。

第18頁/共24頁(A)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上；1．下列命題中的18表示復(fù)數(shù)的點所在象限的問題復(fù)數(shù)的實部與虛部所滿足的不等式組的問題轉(zhuǎn)化(幾何問題)(代數(shù)問題)一種重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想例題講解2.已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)m允許的取值范圍。

變式：證明對一切m，此復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點不可能位于第四象限。不等式解集為空集所以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點不可能位于第四象限.第19頁/共24頁表示復(fù)數(shù)的點所在象限的問題復(fù)數(shù)的實部與虛部所滿足的不等式組的19實數(shù)絕對值的幾何意義:能否把絕對值概念推廣到復(fù)數(shù)范圍呢？XOAa|a|=|OA|實數(shù)a在數(shù)軸上所對應(yīng)的點A到原點O的距離。z=a+bixOy復(fù)數(shù)的絕對值(復(fù)數(shù)的模)的幾何意義:復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z(a,b)到原點的距離。Z

(a,b)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的幾何意義第20頁/共24頁實數(shù)絕對值的幾何意義:能否把絕對值概念推廣到復(fù)數(shù)范圍呢？XO20

例求下列復(fù)數(shù)的模：

(1)z1=-2i(2)z2=5-5i(3)上述題中這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面上構(gòu)成怎樣的圖形？

思考：(2)滿足|z|=5(z∈C)的z值有幾個？(3)z4=1+mi(m∈R)(4)z5=4a-3ai(a<0)(1)復(fù)數(shù)的模能否比較大小？例題講解xO55–5–5設(shè)z=x+yi(x,y∈R)第21頁/共24頁例求下列復(fù)數(shù)的模：(3)上述題中這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面212.復(fù)數(shù)：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)3.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件4.兩個復(fù)數(shù)（不全為實數(shù)）不能比較大小。a——實部b——虛部a+bi=c+dia=cb=d（a，b，c，d∈R）實數(shù)（b=0）虛數(shù)(b≠0)純虛數(shù)（a=0且b≠0）非純虛數(shù)（a≠0,b≠0)i2=-1復(fù)數(shù)小結(jié):1.

數(shù)系的擴(kuò)充:自然數(shù)集(N)整數(shù)集(Z)有理數(shù)集(Q)復(fù)數(shù)集(C)實數(shù)集(R)第22頁/共24頁2.復(fù)數(shù)：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)3.兩個22復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面中的點Z(a,b)（數(shù)）（形）一一對應(yīng)5.

復(fù)數(shù)的幾何意義：表示復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z(a,b)到原點的距離，即復(fù)數(shù)的絕對值(復(fù)數(shù)的模)的幾何意義:第23頁/共24頁復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面中的點Z(a,b)（數(shù)）（形）一一對應(yīng)23感謝您的欣賞！第24頁/共24頁感謝您的欣賞！第24頁/共24頁24我們知道,對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0,當(dāng)b2-4ac<0時,沒有實數(shù)根.這說明,人們在研究代數(shù)方程的過程中,限制實數(shù)集合,有些問題就無法解決.因此,需要把實數(shù)集進(jìn)一步擴(kuò)充,這就是本章里我們將要學(xué)習(xí)的復(fù)數(shù)的知識.復(fù)數(shù)是16世紀(jì)人們在解決二次方程、三次方程時引入的.大約經(jīng)過了一個世紀(jì),才逐步形成完整的理論.現(xiàn)在,它已在數(shù)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)以及其他科學(xué)里得到廣泛應(yīng)用,是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)上普遍使用的一種數(shù)學(xué)工具.復(fù)數(shù)的初步知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),復(fù)數(shù)也是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識.知識引入第1頁/共24頁我們知道,對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx25

我們能否將實數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？思考？

我們知道，對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)b2－4ac<0時，沒有實數(shù)根。如果要解決這一問題，其最根本的就是要解決1的開平方問題，即怎樣的一個數(shù)，它的平方會等于－1。第2頁/共24頁我們能否將實數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能26

現(xiàn)在我們就引入這樣一個數(shù)

i

，把

i

叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).

全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示.

（2）實數(shù)可以與i

進(jìn)行四則運算，在進(jìn)行四則運算時，原有的加法與乘法的運算率(包括交換率、結(jié)合率和分配率)仍然成立。（1）i21；講授新課第3頁/共24頁現(xiàn)在我們就引入這樣一個數(shù)i，把i叫做虛數(shù)27實部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母

z

表示，即虛部其中稱為虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系？討論？復(fù)數(shù)a+bi第4頁/共24頁實部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母z表示，即虛部其中28練一練說出下列復(fù)數(shù)的實部與虛部.并指出哪些是實數(shù)?哪些是虛數(shù)?哪些是純虛數(shù)?復(fù)數(shù)實部虛部實數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)42-3i0-6i√√√√√√√第5頁/共24頁練一練說出下列復(fù)數(shù)的實部與虛部.并指出哪些是實數(shù)?哪些是虛數(shù)29例1:

實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)

（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解:（1）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)．（2）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)即時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．第6頁/共24頁例1:實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)解:（1）當(dāng)30練習(xí):當(dāng)m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)（1）實數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)(3)m=-2(1)m=(2)m第7頁/共24頁練習(xí):當(dāng)m為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)31

如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等．復(fù)數(shù)相等的定義：

第8頁/共24頁如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)32由這個定義得到a+bi=0.

一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說它們相等或不相等，而不能比較大小。例如，1+i與3+5i不能比較大小。

當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)均為實數(shù)時，才能比較大小。第9頁/共24頁由這個定義得到a+bi=033例2:

已知，其中求解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組得第10頁/共24頁例2:已知341、若x，y為實數(shù)，且

求x，y.練習(xí)：x=-3,y=4第11頁/共24頁1、若x，y為實數(shù)，且練習(xí)：x=-3,y=4第11頁/共24352、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.x=2第12頁/共24頁2、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的363、已知復(fù)數(shù)x=1第13頁/共24頁3、已知復(fù)數(shù)x=1第13頁/共24頁37在幾何上，我們用什么來表示實數(shù)?想一想？實數(shù)的幾何意義類比實數(shù)的表示，可以用什么來表示復(fù)數(shù)？實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示。實數(shù)

數(shù)軸上的點

(形)(數(shù))一一對應(yīng)第14頁/共24頁在幾何上，我們用什么來表示實數(shù)?想一想？實數(shù)的幾何意義類比實38回憶…復(fù)數(shù)的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)實部!虛部!一個復(fù)數(shù)由什么唯一確定？根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義知，一個復(fù)數(shù)由實部和虛部唯一確定.第15頁/共24頁回憶…復(fù)數(shù)的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)實部!虛部39復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標(biāo)系中的點Z(a,b)xyobaZ(a,b)

這個建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實軸y軸------虛軸（數(shù)）（形）------復(fù)數(shù)平面

(簡稱復(fù)平面)一一對應(yīng)z=a+bi復(fù)數(shù)的幾何意義第16頁/共24頁復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標(biāo)系中的點Z(a,40復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面中的點Z(a,b)（數(shù)）（形）一一對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義注：實軸上的點都表示實數(shù)，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).第17頁/共24頁復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面中的點Z(a,b)（數(shù)）（形）一一對應(yīng)41(A)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上；(B)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于純虛數(shù)的點都在虛軸上；(C)在復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實數(shù)；(D)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)。1．下列命題中的假命題是（）D例題講解2.已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)m允許的取值范圍。

第18頁/共24頁(A)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上；1．下列命題中的42表示復(fù)數(shù)的點所在象限的問題復(fù)數(shù)的實部與虛部所滿足的不等式組的問題轉(zhuǎn)化(幾何問題)(代數(shù)問題)一種重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想例題講解2.已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)m允許的取值范圍。

變式：證明對一切m，此復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點不可能位于第四象限。不等式解集為空集所以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點不可能位于第四象限.第19頁/共24頁表示復(fù)數(shù)的點所在象限的問題復(fù)數(shù)的實部與虛部所滿足的不等式組的43實數(shù)絕對值的幾何意義:能否把絕對值概念推廣到復(fù)數(shù)范圍呢？XOAa|a|=|OA|實數(shù)a在數(shù)軸上所對應(yīng)的點A到原點O的距離。z=a+bixOy復(fù)數(shù)的絕對值(復(fù)數(shù)的模)的幾何意義:復(fù)數(shù)z=a+bi在