結(jié)構(gòu)動力學(xué)第六章-多自由度系統(tǒng)振動

第六章章多多自由由度系系統(tǒng)振振動(一)§6-1用剛度度法與與柔度度法列列運動動微分分方程程1．剛度度法圖示簡簡支梁梁，剛剛度系系數(shù)kij定義為為：使質(zhì)量量mj的位移移xj＝1而其余余質(zhì)量量位移移xi＝0(i≠j)時在xi處所需需要（（施加加）的的力。。一般情情況下下，若若各質(zhì)質(zhì)量均均有位位移x1、x2、...、xn，則則在xi處所需需力的的總和和為：：設(shè)每一一質(zhì)量量mi上作用用的外外力為為Fi(t)，對每每一質(zhì)質(zhì)量運運用牛牛頓第第二定定律，，可得得運動動微分分方程程：用矩陣陣符號號可寫寫成：：〈例〉求圖示示五自自由度度系統(tǒng)統(tǒng)的剛剛度矩矩陣。。解：首先用力力使m1產(chǎn)生單位位移移，并用力使使其余質(zhì)量不不動，則需要要給m1的力為k1與k2的彈性力和，即k11＝k1+k2。此時m2需加力為k2，沿x的負方向，即k21＝-k2，其余質(zhì)量不不必施加任何何力，即k31＝k41＝k51＝0。用類似方法可可得其余剛度度系數(shù)，于是是有：利用功的互等等原理可知，，剛度矩陣是是對稱陣，即即有kij＝kji，于是上述剛剛度矩陣為：⒉柔度法柔度系數(shù)aij定義為：在第j個質(zhì)量上作用用單位力時在在第i個質(zhì)量上產(chǎn)生生的位移。于是：若在第j個質(zhì)量上作用用有力F，則在第i個質(zhì)量上產(chǎn)生生的位移將是是aij*F；

若在第j個質(zhì)量上作用的是慣性力，方向與坐標(biāo)相反，則在第i個質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是；若所有質(zhì)量都都有慣性力，，則：若所有質(zhì)量都都有慣性力，，則：寫成矩陣形式式為：或?qū)懗桑涸趧偠染仃嘯K]非奇異條件下下，柔度矩陣陣[A]與剛度矩陣[K]存在如下的互互逆關(guān)系：與剛度矩陣類類似，有aij＝aji?！蠢登髨D示三自由由度簡支梁柔柔度矩陣。已已知梁的EI、L。解：利用簡支支梁在單位集集中力作用下下的撓度公式式其他柔度影響響系數(shù)：mm2mPL柔度矩陣為：問題：[A]中元素是否一一定為正？〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的剛剛度矩陣和柔柔度矩陣。解：易得剛度矩矩陣為：m1上加單位力，，各質(zhì)量的位位移分別為：：m2上加單位力，，各質(zhì)量的位位移分別為：：〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的剛剛度矩陣和柔柔度矩陣。m3上加單位力，，各質(zhì)量的位位移分別為：：柔度矩陣為：〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的剛剛度矩陣和柔柔度矩陣。對彈性系統(tǒng)來來說，總存在在剛度矩陣，，但不一定存存在柔度矩陣陣，當(dāng)系統(tǒng)中中存在剛體位位移（模態(tài)））時，就是這這種情況，此此時，剛度矩矩陣是奇異的的，矩陣行列列式等于零，，因而不存在在逆矩陣。如本例中的k1=0拉格朗日方程程在建立多度度系統(tǒng)動力學(xué)學(xué)微分方程時時是非常有效效的。設(shè)廣義坐標(biāo)qj，則拉格朗日日方程可表為為：§6-2用拉格朗日方方程列振動微微分方程式中：Qj為對應(yīng)于廣義義坐標(biāo)qj的廣義力。對于保守系統(tǒng)統(tǒng)，L＝T－－U，有(T為系統(tǒng)動能，，U為勢能，L稱為拉氏函數(shù)數(shù))〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的運運動微分方程程。解：系統(tǒng)動能能為：勢能為：拉氏函數(shù)：〈例〉求圖示三自由由度系統(tǒng)的運運動微分方程程。同樣可以以求出另另外兩個個微分方方程：〈例〉求圖示兩兩自由度度系統(tǒng)的的運動微微分方程程。解：質(zhì)量m的位置坐坐標(biāo)為系統(tǒng)動能能為：一般來說說，拉格格朗日方方程對于于剛度矩矩陣或柔柔度矩陣陣不易求求出的振振動系統(tǒng)統(tǒng)更能顯顯示其優(yōu)優(yōu)越性。。LmMkxφx系統(tǒng)勢能為：：φx系統(tǒng)拉氏函數(shù)數(shù)為：φx鄒經(jīng)湘老老師書P52““動能T與廣義坐坐標(biāo)無關(guān)關(guān)(因質(zhì)量是是常數(shù))”說法是存存疑的。。在上一章章，我們們已討論論了二自自由度系系統(tǒng)的固固有頻率率與主振振型，現(xiàn)現(xiàn)在我們們來討論論n自由度系系統(tǒng)的情情況。n自由度度系統(tǒng)自自由振動動微分方方程為：：§6-3固有頻率率與主振振型（特特征值與與特征向向量）非零解條條件為：：非零解條條件為：：此式稱為為系統(tǒng)的的頻率方方程或特特征方程程，對于于正定或或半正定定實對稱稱矩陣[M]與與[K]，它有有n個正正的實根根ωi(i＝1,2,...,n)，特特征值λλi等于固有有頻率ωωi的平方，，即將ωi代入(*)式即可得得到n個主振型型(特征向量量){u}i對任意j，同樣樣有§6-4主振型（（特征向向量）的的正交性性特征對滿足特征矩陣方程：將(a)式兩邊邊轉(zhuǎn)置后后右乘{u}j，得(c)(d)兩式相減減，得：：若i≠j，則ωi≠ωj，于是說明各個個主振型型關(guān)于[M]與[K]存在加權(quán)權(quán)正交性性。Mi與Ki分別稱為為第i階模態(tài)質(zhì)質(zhì)量與模模態(tài)剛度度。用前面兩兩自由度度例子說說明有時，系系統(tǒng)的頻頻率方程程或特征征方程會會出現(xiàn)重重根的情情況，此此時，按按前面的的方法就就不能唯唯一確定定特征向向量?！?-5等固有頻頻率（重重特征值值）的情情況設(shè)λ1＝λ2＝λr，{u}1與{u}2是對應(yīng)的特特征向量，，即有則{u}1與{u}2的線性組合合{u}r＝（a{u}1＋b{u}2）也是特征征值λr的特征向量量。事實上上，有另外，由特特征向量的的正交性，，有由此即可求求出重特征征值的特征征向量{u}1和{u}2。具有重特征征值的系統(tǒng)統(tǒng)，有時又又稱為“簡簡并”系統(tǒng)統(tǒng)或“退化化”系統(tǒng)。?！蠢登髨D示三自自由度系統(tǒng)統(tǒng)的特征對對（固有模模態(tài)）。解：特征矩矩陣方程為為：頻率方程為為：將代入特征矩陣方程，求出：將代入特征矩陣方程，求出：先求，它有兩個元素可任選，取再求,它滿足關(guān)于[M]與[K]的正交性條件：取u13＝1，則u33＝0，u23＝－1可以檢驗特特征向量關(guān)關(guān)于質(zhì)量矩矩陣和剛度度矩陣的正正交性各階振型物物理意義描描述如何？？振動微分方方程§6-6主振型矩陣陣與標(biāo)準(zhǔn)振振型矩陣通常既是靜靜力耦合的的又是動力力耦合的，，在二自由由度系統(tǒng)時時曾經(jīng)采用用主坐標(biāo)變變換，得以以解耦，所所采用的變變換矩陣[U]＝[{u}1{u}2]我們稱為主振振型矩陣，對對n自由度系統(tǒng)，，主振型矩陣陣為：{u}i為系統(tǒng)的第i階主振型或模模態(tài)向量。利用主坐標(biāo)變變換：{x}＝[U]{y}代入到振動微分方程，并前乘，有利用振型的正交性，不難證明都是對角陣。實際上，按分塊矩陣乘法，有

同理，有：于是，微分方方程得以解耦耦。將各個{u}i分別除以相應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量的平方根，構(gòu)成的振型矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣，此時有我們稱為模態(tài)態(tài)質(zhì)量歸一化化的特征向量量。無阻尼系統(tǒng)振振動微分方程程為§