教輔高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——教輔高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)考點(diǎn)十五直線與圓﹑橢圓﹑雙曲線﹑拋物線一、選擇題1．若直線x＋(1＋m)y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，那么m的值是()A．1B．－2C．1或－2D．－答案A解析①當(dāng)m＝－1時，兩直線分別為x－2＝0和x－2y－4＝0，此時兩直線相交，不符合題意．②當(dāng)m≠－1時，兩直線的斜率都存在，由兩直線平行可得解得m＝1，應(yīng)選A.2．(2022·廣州綜合測試)若直線kx－y＋1＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．[－3，＋∞)B．(－∞，－3]C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案D解析圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心為(－1,2)，半徑為2，由題意可知圓心到直線kx－y＋1＝0的距離d＝≤2，化簡，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．應(yīng)選D.3．(2022·山東菏澤高三聯(lián)考)已知雙曲線－＝1的一條漸近線上存在一點(diǎn)到x軸的距離與到原點(diǎn)O的距離之比為，那么實(shí)數(shù)a的值為()A．2B．4C．6D．8答案B解析由題意，得該雙曲線的一條漸近線的斜率為＝，那么＝，解得a＝4.應(yīng)選B.4．(2022·山東泰安四模)已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF為菱形OBFC的一條對角線，另一條對角線BC的長為2，且點(diǎn)B，C在拋物線E上，那么p＝()A．1B．C．2D．2答案B解析由題意，得在拋物線上，代入拋物線的方程可得1＝，∵p0，∴p＝，應(yīng)選B.5．(2022·衡中高三質(zhì)量檢測一)已知橢圓C1：＋y2＝1(m1)與雙曲線C2：－y2＝1(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，那么()A．mn且e1e21B．mn且e1e21C．mn且e1e21D．mn且e1e21答案A解析由于橢圓C1與雙曲線C2的焦點(diǎn)重合，那么m2－1＝n2＋1，那么m2－n2＝20，∵m1，n0，∴mn.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝1，應(yīng)選A.6．(2022·北京高考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQ⊥l于Q，那么線段FQ的垂直平分線()A．經(jīng)過點(diǎn)OB．經(jīng)過點(diǎn)PC．平行于直線OPD．垂直于直線OP答案B解析如下圖，由于線段FQ的垂直平分線上的點(diǎn)到F，Q的距離相等，又點(diǎn)P在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知|PQ|＝|PF|，所以線段FQ的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.應(yīng)選B.7．(多項(xiàng)選擇)(2022·新高考卷Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，()A．若mn0，那么C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m＝n0，那么C是圓，其半徑為C．若mn0，那么C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n0，那么C是兩條直線答案ACD解析對于A，若mn0，那么mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，由于mn0，所以，即曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；

對于B，若m＝n0，那么mx2＋ny2＝1可化為x2＋y2＝，此時曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；

對于C，若mn0，那么mx2＋ny2＝1可化為＋＝1，此時曲線C表示雙曲線，由mx2＋ny2＝0可得y＝±x，故C正確；

對于D，若m＝0，n0，那么mx2＋ny2＝1可化為y2＝，y＝±，此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．應(yīng)選ACD.8．(多項(xiàng)選擇)(2022·山東濰坊6月模擬)已知橢圓C：＋＝1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，點(diǎn)P(1,1)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)Q在橢圓上，那么以下說法正確的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值為2－1B．橢圓C的短軸長可能為2C．橢圓C的離心率的取值范圍為D．若＝，那么橢圓C的長軸長為＋答案ACD解析由于|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，當(dāng)Q，F(xiàn)2，P三點(diǎn)共線時，取等號，故A正確；

若橢圓C的短軸長為2，那么b＝1，a＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1，又＋1，那么點(diǎn)P在橢圓外，故B錯誤；

由于點(diǎn)P(1，1)在橢圓內(nèi)部，所以＋1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋1，即a2－3a＋10，解得a＝＝，所以，所以e＝，所以橢圓C的離心率的取值范圍為，故C正確；

若＝，那么F1為線段PQ的中點(diǎn)，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a1)，即a2－11a＋9＝0(a1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以橢圓C的長軸長為＋，故D正確．應(yīng)選ACD.二、填空題9．(2022·山東省測驗(yàn)中學(xué)高三6月模擬)以拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為________．答案2＋y2＝1解析拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為x＝－，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，所以圓的圓心為，半徑為1，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝1.10．(2022·北京高考)已知雙曲線C：－＝1，那么C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________；

C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是________．答案(3,0)解析在雙曲線C中，a＝，b＝，那么c＝＝3，那么雙曲線C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，所以雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為＝.11．(2022·河南開封高三3月模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，且∠F1MF2＝，那么△F1MF2的面積為________．答案3解析由題意，設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，那么m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面積S＝mnsin＝3.12.(2022·株洲其次中學(xué)4月模擬)如圖，點(diǎn)F是拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在拋物線C和圓x2＋(y－1)2＝4的實(shí)線片面上運(yùn)動，且AB總是平行于y軸，那么△AFB周長的取值范圍是________．答案(4,6)解析∵拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1，圓x2＋(y－1)2＝4的圓心F(0,1)，半徑R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A＋1，|AB|＝y(tǒng)B－yA，∴△AFB的周長為|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1yB3，∴△AFB周長的取值范圍是(4,6)．三、解答題13．過原點(diǎn)O作圓x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)延長OA到N，使|OA|＝|AN|，求點(diǎn)N的軌跡方程．解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，那么A(2x,2y)，由于點(diǎn)A在圓x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又點(diǎn)O與A不重合，所以x≠0.因此，點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(x≠0)．(2)設(shè)N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A為線段ON的中點(diǎn)，∴A，又A在圓x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又點(diǎn)O與A不重合，所以x≠0.因此，點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2－16x＝0(x≠0)．14．(2022·全國卷Ⅱ)已知橢圓C1：＋＝1(ab0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的離心率；

(2)若C1的四個頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．解(1)由于橢圓C1的右焦點(diǎn)為F(c,0)，所以拋物線C2的方程為y2＝4cx，其中c＝.不妨設(shè)A，C在第一象限，由于橢圓C1的方程為＋＝1，所以當(dāng)x＝c時，有＋＝1?y＝±，因此A，B的縱坐標(biāo)分別為，－.又由于拋物線C2的方程為y2＝4cx，所以當(dāng)x＝c時，有y2＝4c·c?y＝±2c，所以C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|，得4c＝，即3·＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的離心率為.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故橢圓C1：＋＝1，所以C1的四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的準(zhǔn)線方程為x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2，所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.一、選擇題1．(2022·山東濟(jì)南二模)已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為4，那么|PF|＝()A．2B．3C．5D．6答案C解析將x＝4代入拋物線方程得P(4,4)，根據(jù)拋物線定義得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.應(yīng)選C.2．(2022·湖北荊州高三階段訓(xùn)練)某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為e，設(shè)地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為r，那么該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為()A.r＋RB．r＋RC.r＋RD．r＋R答案A解析橢圓的離心率e＝∈(0,1)(c為半焦距，a為長半軸長)，設(shè)該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為n，如圖：

那么n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.應(yīng)選A.3．(2022·北京高考)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，那么其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．4B．5C．6D．7答案A解析設(shè)圓心為C(x，y)，那么＝1，化簡得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3，4)為圓心，1為半徑的圓，如圖．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時取得等號，應(yīng)選A.4．(2022·山東濰坊高密二模)已知雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，那么雙曲線的離心率為()A.B．C．D．2答案A解析雙曲線－＝1的一條漸近線的傾斜角為，tan＝，所以該條漸近線方程為y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以雙曲線的離心率為e＝＝＝.應(yīng)選A.5．(2022·山西太原五中3月模擬)若過橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)P(2,1)的弦被該點(diǎn)平分，那么該弦所在的直線方程為()A．8x＋9y－25＝0B．3x－4y－5＝0C．4x＋3y－15＝0D．4x－3y－9＝0答案A解析設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P為AB的中點(diǎn)，由于A，B在橢圓上，所以＋＝1，＋＝1，兩式相減，得＋＝0，由于x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，那么所求直線的斜率k＝－，由于該直線過點(diǎn)P(2,1)，所以所求直線的方程為y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.應(yīng)選A.6．(2022·山東淄博二模)當(dāng)α∈時，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的軌跡不成能是()A．兩條直線B．圓C．橢圓D．雙曲線答案B解析當(dāng)α∈時，0cosαsinα1，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線為橢圓；

當(dāng)α＝時，方程為y2＝1，即y＝±1，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示兩條直線；

當(dāng)α∈時，cosα0sinα，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線為雙曲線．綜上所述，當(dāng)α∈時，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的軌跡不成能是圓．應(yīng)選B.7．(多項(xiàng)選擇)(2022·山東淄博二模)已知動點(diǎn)P在雙曲線C：x2－＝1上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以下結(jié)論正確的是()A．C的離心率為2B．C的漸近線方程為y＝±xC．動點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值D．當(dāng)動點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時，的最大值為答案AC解析對于雙曲線C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以雙曲線C的離心率為e＝＝2，漸近線方程為y＝±x，A正確，B錯誤；

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，那么x－＝1，雙曲線C的兩條漸近線方程分別為x－y＝0和x＋y＝0，那么點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為·＝＝，C正確；

當(dāng)動點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝2時，等號成立，所以的最大值為，D錯誤．應(yīng)選AC.8．(多項(xiàng)選擇)(2022·山東威海三模)已知拋物線y2＝2px(p0)上三點(diǎn)A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，那么()A．拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1B.＋＋＝0，那么||，||，||成等差數(shù)列C．若A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，那么y1y2＝－1D．若|AC|＝6，那么AC的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2答案ABD解析把點(diǎn)B(1,2)代入拋物線y2＝2px，得p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，故A正確；

由于A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差數(shù)列，故B正確；

由于A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，所以直線斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化簡得y1y2＝－4，故C不正確；

設(shè)AC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由于|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為2，故D正確．應(yīng)選ABD.二、填空題9．(2022·深圳調(diào)研二)已知橢圓C：＋＝1的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C上有且只有一個點(diǎn)P得志|OF|＝|FP|，那么C的方程為________．答案＋＝1解析根據(jù)對稱性知P在x軸上，由于|OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故橢圓C的方程為＋＝1.10．(2022·浙江高考)設(shè)直線l：y＝kx＋b(k＞0)，圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，那么k＝________，b＝________.答案－解析由題意，兩圓圓心C1(0,0)，C2(4,0)到直線l的距離等于半徑，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.11.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(ab)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2ax(a0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，那么＝________.答案1＋解析由題意可知D是拋物線y2＝2ax(a0)的焦點(diǎn)，且D，又正方形DEFG的邊長為b，所以F，由于F在拋物線上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，由于0ab，所以＝1＋.12．(2022·湖南長沙長郡中學(xué)高三下學(xué)期第一次模擬)已知一簇雙曲線En：x2－y2＝2(n∈N*，且n≤2022)，設(shè)雙曲線En的左、右焦點(diǎn)分別為Fn1，F(xiàn)n2，Pn是雙曲線En右支上一動點(diǎn)，三角形PnFn1Fn2的內(nèi)切圓Gn與x軸切于點(diǎn)An(an,0)，那么a1＋a2＋…＋a2022＝________.答案解析如下圖，設(shè)PnFn1，PnFn2與圓Gn分別切于點(diǎn)Bn，Cn.根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又點(diǎn)Pn是雙曲線En右支上一動點(diǎn)，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2022＝＝.三、解答題13．(2022·山東濟(jì)南二模)已知橢圓C：＋＝1(ab0)的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，|AB|＝2，過橢圓焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦的長為2.(1)求橢圓C的方程；

(2)已知M為橢圓C上一動點(diǎn)(M不與A，B重合)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P，直線BM與x軸交于點(diǎn)Q，證明：|AQ|·|BP|為定值．解(1)由題意可知解得所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)證明：A(－4,0)，B(0，－2)，設(shè)M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，由于M(x0，y0)在橢圓C上，所以x＋4y＝16，由A，P，M三點(diǎn)共線，得＝，即yP＝，同理可得xQ＝.所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2|＝|·|＝||＝16.所以|AQ|·|BP|為定值16.14．(2022·福建高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測)已知定點(diǎn)F(0,1)，P為x軸上方的動點(diǎn)，線段PF的中點(diǎn)為M，點(diǎn)P，M在x軸上的射影分別為A，B，PB是∠APF的平分線，動點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求E的方程；

(2)設(shè)E上點(diǎn)Q得志PQ⊥PB，Q在x軸上的射影為C，求|AC|的最小值．解解法一：(1)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，由于PA∥BM，所以∠AP