湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷(理科)(解析)

2020年湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷(理科)(解析版)2020年湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷(理科)(解析版)2020年湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷(理科)(解析版)2020年湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的.1．已知會集A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞B．[13]C35D．[35]），．（，]，2．命題“若x，y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是（）A．若x+y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x+y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)3．若執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出S的值為6，則判斷框中應填入的條件是（）A．k＜32？

B．k＜65？

C．k＜64？

D．k＜31？4．以下函數(shù)中在

上為減函數(shù)的是（

）A．y=2cos2x﹣1

B．y=﹣tanxC．

D．y=sin2x+cos2x5．采用系統(tǒng)抽樣方法從

960人中抽取

32人做問卷檢查，為此將他們隨機編號為

1，2，，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9．抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1，450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C．則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為（）A．7

B．9

C．10

D．156．已知某幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體的體積為（

）A．6πB．C．3πD．7．若的張開式中的常數(shù)項為a，則的值為（）A．6B．20C．8D．248．若函數(shù)y=2x圖象上存在點（x，y）滿足拘束條件，則實數(shù)m的最大值為（）A．1B．C．2D．9．已知數(shù)列{an}的通項公式an=5﹣n，其前n項和為Sn，將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來序次恰為等比數(shù)列{bn}的前3，若存在m∈N*，*，總有S＜T項，記{bn}的前n項和為Tn使對任意n∈Nn+λ恒建立，則實數(shù)λ的取值范圍是（）nA．λ≥2B．λ＞3C．λ≥3D．λ＞210．已知兩個不相等的非零向量，兩組向量和均由2個和3個排成一列而成．記，Smin表示S所有可能取值中的最小值，則下列正確的選項是（）A．B．C．若⊥，則Smin與||沒關(guān)D．S有5個不同樣的值11．設，若對任意的正實數(shù)x，y，都存在以a，b，c為三邊長的三角形，則實數(shù)p的取值范圍是（）A13B12]C．D．以上均不正確．（，）．（，12．已知A，B分別為橢圓的左、右極點，不同樣兩點P，Q在橢圓C上，且關(guān)于x軸對稱，設直線AP，BQ的斜率分別為m，n，則當取最小值時，橢圓C的離心率為（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共

4小題，每題

5分，共

20分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上．13．已知復數(shù)

，則|z|=

．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面積為4，則AB的長為．222222A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，且滿足x+y=x+y，則b=．16．給出以下命題：（1）設f（x）與g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒建立，且f（x）為奇函數(shù)，則g（x）也是奇函數(shù)；2xxfx||gxgx|建立，且函數(shù)fx）在R（）若?1，2∈R，都有|f（x1）﹣（2）＞（1）﹣（2）（上遞加，則f（x）+g（x）在R上也遞加；（3）已知a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）=，若函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，則實數(shù)a的取值會集為；（4）存在不同樣的實數(shù)k，使得關(guān)于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的個數(shù)為2個、4個、5個、8個．則所有正確命題的序號為．三、解答題：本大題共5小題，其中有3道選做題選做一道，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，常數(shù)λ＞0，且λa1an=S1+Sn對所有正整數(shù)n都建立．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設a1＞0，λ=100，當n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？18．如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC為等邊三角形，AE=1，BD=2，CD與平面ABCDE所成角的正弦值為．1）若F是線段CD的中點，證明：EF⊥平面DBC；2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某學校有120名教師，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按分組，其頻率分布直方圖以下列圖，學校要求每名教師都要參加兩項培訓，培訓結(jié)束后進行結(jié)業(yè)考試．已知各年齡段兩項培訓結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)如表示，假設兩項培訓是相互獨立的，結(jié)業(yè)考試成績也互不影響．年齡分組A項培訓成績優(yōu)秀人數(shù)B項培訓成績優(yōu)秀人數(shù)[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60]43（1）若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個容量為40的樣本，求從年齡段[20，30）抽取的人數(shù)；2）求全校教師的平均年齡；3）隨機從年齡段[20，30）和[30，40）內(nèi)各抽取1人，設這兩人中兩項培訓結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學希望．20．已知拋物線方程為x2=2py（p＞0），其焦點為F，點O為坐標原點，過焦點F作斜率為k（k≠0）的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線的兩條切線，設兩條切線交于點M．（1）求；（2）設直線MF與拋物線交于C，D兩點，且四邊形ACBD的面積為，求直線AB的斜率k．21．已知函數(shù)f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=fx）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直．1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設，對任意x＞0，證明：（x+1xx﹣2．）g（x）＜e+e請考生在22、23、24三題中任選一題作答，若是多做，則按所做的第一題記分.22．選修4﹣1：平面幾何如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長線訂交于點E，EF垂直BA的延長線于點（I）求證：∠DEA=∠DFA；

F．（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的長．23．已知曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線L的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．（1）求曲線C的直角坐標方程和直線L的一般方程；2）設點Pm0），若直線L與曲線C交于A，B兩點，且|PA||PB|=1，求實數(shù)m的值．（（，?24．函數(shù)f（x）=．（1）求函數(shù)f（x）的定義域A；（2）設B={x|﹣1＜x＜2}，當實數(shù)a、b∈（B∩?RA）時，證明：|．2020年湖南省六校聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷（理科）參照答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項吻合題目要求的.1．已知會集A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3]C35D．[35]．（，]，【考點】交集及其運算．【解析】分別求出會集A、B，進而求出A∩B即可．【解答】解：∵會集A={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}，B={x|y=}={x|x≥3}，AB=[35]，∴∩，應選：D．2．命題“若x，y都是偶數(shù)，則x+y也是偶數(shù)”的逆否命題是（）A．若x+y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x+y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x+y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)【考點】四種命題間的逆否關(guān)系．【解析】若命題為“若p則q”，命題的逆否命題為“若非q，則非p”，而x，y定應為x與y不都是偶數(shù)．【解答】解：若命題為“若p則q”，命題的逆否命題為“若非q，則非p”，因此原命題的逆否命題是“若x+y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)”

都是偶數(shù)的否應選

C3．若執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出S的值為6，則判斷框中應填入的條件是（）A．k＜32？B．k＜65？

C．k＜64？

D．k＜31？【考點】程序框圖．【解析】依照程序框圖，寫出運行結(jié)果，依照程序輸出的結(jié)果是

S=6，可得判斷框內(nèi)應填入的條件．【解答】解：依照程序框圖，運行結(jié)果以下：Sk第一次循環(huán)log233第二次循環(huán)log23log344?第三次循環(huán)log23?log34?log455第四次循環(huán)log23?log34?log45?log566第五次循環(huán)log23?log34?log45?log56?log677第六次循環(huán)log23?log34?log45?log56?log67?log788第七次循環(huán)log3log4log5?log6log7log8log992?3?45?6?7?8第61次循環(huán)log23?log34?log45?log56??log626363第62次循環(huán)log23?log34?log45?log56???log6263?log6364=log264=664故若是輸出S=6，那么只能進行62次循環(huán)，故判斷框內(nèi)應填入的條件是k＜64．應選：C．4．以下函數(shù)中在

上為減函數(shù)的是（

）A．y=2cos2x﹣1

B．y=﹣tanxC．

D．y=sin2x+cos2x【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【解析】依照基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對選項中函數(shù)的單調(diào)性進行解析、判斷即可．【解答】解：關(guān)于A，y=2cos2x﹣1=cos2x，在上是先減后增，不滿足題意；關(guān)于B，y=﹣tanx，在（，）和（，）上都是增函數(shù)，不滿足題意；關(guān)于C，y=cos（2x﹣）=sin2x，在上為減函數(shù)，滿足題意；關(guān)于D，y=sin2x+cos2x=sin（2x+），在上先減后增，不滿足題意．應選：C．5．采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷檢查，為此將他們隨機編號為1，2，，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9．抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1，450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C．則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為（）A．7B．9C．10D．15【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【解析】由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以9為首項、以30為公差的等差數(shù)列，求得此等差數(shù)列的通項公式為an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750求得正整數(shù)n的個數(shù)．【解答】解：960÷32=30，故由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以9為首項、以30為公差的等差數(shù)列，且此等差數(shù)列的通項公式為an=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750解得≤n≤．再由n為正整數(shù)可得16≤n≤25，且n∈z，故做問卷B的人數(shù)為10，應選：C．6．已知某幾何體的三視圖以下列圖，則該幾何體的體積為（）A．6πB．C．3πD．【考點】由三視圖求面積、體積．【解析】經(jīng)過三視圖判斷幾何體的特色，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的條件即可得出答案．【解答】解：由三視圖判斷幾何體是底面半徑為1，高為6的圓柱被截掉分開，相等的2部分，2π，∴V=π×1×6=3應選：C7．若的張開式中的常數(shù)項為a，則的值為（）A．6B．20C．8D．24【考點】二項式定理的應用．【解析】利用二項式定理求得a=2，再求定積分求得要求式子的結(jié)果．【解答】解：依照

=（2+x+x2）?（1﹣

+

﹣）=2﹣

+

﹣

+x﹣3+

﹣

+x2﹣3x+3﹣

，故張開式中的常數(shù)項為

a=2﹣3+3=2，則

=

?（3x2﹣1）dx=（x3﹣x）

=8﹣2=6，應選：

A．8．若函數(shù)y=2x圖象上存在點（x，y）滿足拘束條件，則實數(shù)m的最大值為（）A．1B．C．2D．【考點】簡單線性規(guī)劃．【解析】由題意作圖象，進而結(jié)合圖象可知2m≤1，進而解得．【解答】解：由題意作圖象以下，，結(jié)合圖象可知，函數(shù)y=2x圖象與y=3﹣x的交點A（1，2），則2m≤1，故m≤；應選：D．9．已知數(shù)列{an}的通項公式an=5﹣n，其前n項和為Sn，將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來序次恰為等比數(shù)列{bn}的前3項，記{bn}的前n項和為，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有S＜TTnn+λ恒建立，則實數(shù)λ的取值范圍是（）nA．λ≥2B．λ＞3C．λ≥3D．λ＞2【考點】數(shù)列的求和．【解析】經(jīng)過an=5﹣n可求出Tn=8（1﹣）、Sn=，利用4≤Tn＜8及Sn≤10，結(jié)合題意可知10＜8+λ，進而計算可得結(jié)論．【解答】解：∵an=5﹣n，∴a1=4，a2=3，a3=2，a4=1，則b1=a1=4，b2=a3=2，b3=a4=1，∴數(shù)列{bn}是首項為4、公比為的等比數(shù)列，∴Tn==8（1﹣），∴4≤Tn＜8，又∵Sn==，∴當n=4或n=5時，Sn取最大值10，∵存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn＜Tn+λ恒建立，∴10＜8+λ，即λ＞2，應選：D．10．已知兩個不相等的非零向量，兩組向量和均由2個和3個排成一列而成．記，Smin表示S所有可能取值中的最小值，則下列正確的選項是（）A．B．C．若⊥，則Smin與||沒關(guān)D．S有5個不同樣的值【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【解析】依題意，可求得S有三種結(jié)果，，，，可判斷①錯誤；進一步解析有S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，即S中最小為S3，再對A、B、C逐一解析得答案．【解答】解：∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2個a和3個b排列而成，∴S可能情況有以下三種：，，，故D錯誤；S1﹣S22﹣S3≥=，∵=S=∴S中最小為S3，若，則Smin=S3=，∴A，B錯誤；若⊥，則Smin=，與沒關(guān)，與有關(guān)，故C正確．應選：C．11．設，若對任意的正實數(shù)x，y，都存在以a，b，c為三邊長的三角形，則實數(shù)p的取值范圍是（）A13B12]C．D．以上均不正確．（，）．（，【考點】基本不等式；簡單線性規(guī)劃．【解析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊可得，+2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得實數(shù)的取值范圍．【解答】解：關(guān)于正實數(shù)x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意兩邊之和大于第三邊，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故實數(shù)p的取值范圍是（1，3），應選：A．12．已知A，B分別為橢圓的左、右極點，不同樣兩點P，Q在橢圓C上，且關(guān)于x軸對稱，設直線AP，BQ的斜率分別為m，n，則當取最小值時，橢圓C的離心率為（）A．B．C．D．【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【解析】設P（x0，y0），則Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率計算公式必定：mn=，=++=，令=t＞1，則f（t）=+﹣2lnt．利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．【解答】解：設P（x0，y0），則Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），則m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，則f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：當t=時，函數(shù)f（t）獲取最小值=++﹣2ln=2+1ln2．∴=．∴=．應選：D．二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上．13．已知復數(shù)，則|z|=．【考點】復數(shù)求模．【解析】利用復數(shù)的運算法規(guī)、模的計算公式即可得出．【解答】解：復數(shù)==i﹣1，則|z|==，故答案為：．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面積為4，則AB的長為4或．【考點】余弦定理；三角形中的幾何計算．【解析】利用三角形的面積公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的長．【解答】解：∵BC=，AC=2，△ABC的面積為4，∴4=，∴，∴cosC=±，∴AB2==16，∴AB=4；或AB2==32，∴AB=．∴AB的長為4或．故答案為：4或15．已知圓x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0與圓x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0訂交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，且滿足x+y=x+y，則b=．【考點】圓與圓的地址關(guān)系及其判斷．【解析】把點A、B的坐標分別代人圓O1，化簡得2（x1﹣x2）=y1﹣y2；再把點A、B的坐標代人圓O2，整理得b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）；由以上兩式聯(lián)馬上可求出b的值．【解答】解：依照題意，把點A（x1，y1），B（x2，y2）分別代人圓O1，得；﹣4x1+2y1+5﹣a2=0①，﹣4x2+2y2+5﹣a2=0②，﹣②并化簡得，2（x1﹣x2）=y1﹣y2③；同理，把點A、B的坐標代人圓O2，整理得，b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）④；把③代人④，化簡得2b=﹣（b﹣5），解得b=．故答案為：．16．給出以下命題：（1）設f（x）與g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒建立，且f（x）為奇函數(shù)，則g（x）也是奇函數(shù)；2）若xxfx||gxgx|建立，且函數(shù)fx）在R（?1，2∈R，都有|f（x1）﹣（2）＞（1）﹣（2）（上遞加，則f（x）+g（x）在R上也遞加；（3）已知a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）=，若函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，則實數(shù)a的取值會集為；（4）存在不同樣的實數(shù)k，使得關(guān)于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的個數(shù)為2個、4個、5個、8個．則所有正確命題的序號為（1）、（2）、（4）．【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【解析】（1）利用|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒建立，設x2=﹣x1，|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒建立，依照f（x）是奇函數(shù)，即可得出結(jié)論；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)論；（3）分0＜a＜1和a＞1時加以談論，依照指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的大小比較，求出函數(shù)在[02，]上的最大值和最小值，由此依照題意建立關(guān)于a的方程，求出滿足條件的實數(shù)a的值；4）對k的值分類談論，將方程根的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)圖象的問題，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得結(jié)論．【解答】解：關(guān)于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒建立，令x2=﹣x1，則|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒建立，∵f（x）是奇函數(shù)，∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒建立，∴g（x1）+g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=﹣g（x1），∴g（x）是奇函數(shù)，（1）正確；關(guān)于（2），設x1＜x2，∵f（x）是R上的增函數(shù)，∴f（x1）＜f（x2），∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒建立，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函數(shù)，（2）正確；關(guān)于（

3），①當a＞1時，函數(shù)

f（x）=

在[0，2]上的最大值為

f（1）=a，最小值為

f（0）=1

或

f（2）=a﹣2；當a﹣1=時，解得a=，此時f（2）=＞1，滿足題意，當a﹣（a﹣2）=0時，2=0不滿足題意，∴a=；②當0＜a＜1時，在[0，1]上，f（x）=ax是減函數(shù)；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是減函數(shù)，∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函數(shù)的最大值為f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），因此函數(shù)的最小值為f（2）=﹣2+a，因此，﹣2+a+=1，解得a=∈（0，1）吻合題意；綜上，實數(shù)a的取值會集為{，}，（3）錯誤；關(guān)于（4），關(guān)于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化為（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）①當k=

時，方程（Ⅰ）有兩個不同樣的實根

±

，方程（Ⅱ）有兩個不同樣的實根

±

，即原方程恰有4個不同樣的實根；②當k=0時，原方程恰有5個不同樣的實根；③當k=時，方程（Ⅰ）的解為±，±，方程（Ⅱ）的解為±，±，即原方程恰有8個不同樣的實根；④當k=﹣2時，方程化為（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合題意，舍去）；因此x2﹣1=±2，解得x2﹣1=2，即x=±，方程有2個實數(shù)根；因此存在不同樣的實數(shù)k，使得關(guān)于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的個數(shù)為2個、4個、5個、8個，命題（4）正確；綜上，正確的命題是（1）、（2）、（4）．故答案為：（1）（2）、（4）．三、解答題：本大題共5小題，其中有3道選做題選做一道，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，常數(shù)λ＞0，且λa1an=S1+Sn對所有正整數(shù)n都建立．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；a0=100，當n為何值時，數(shù)列的前n項和最大？（Ⅱ）設1＞，λ【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特色；數(shù)列的求和．【解析】（I）由題意，n=1時，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分類談論：由a1=0，及a1≠0，結(jié)合數(shù)列的和與項的遞推公式可求（II）由a1＞0且λ=100時，令，則，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求和的最大項【解答】解（I）當n=1時，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，則Sn=0，an=Sn﹣Sn﹣1=0∴an=0（n≥1）若a1≠0，則n，，當n≥2時，2a=兩式相減可得，2an﹣2an﹣1=an∴an=2an﹣1，進而可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列∴an=a1?2n﹣1==綜上可得，當a1=0時，an=0，當a1≠0時，II）當a1＞0且λ=100時，令由（I）可知∴{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為﹣lg2∴b1＞b2＞＞b6=＞0當n≥7時，∴數(shù)列的前6項和最大18．如圖，在多面體

ABCDE

中，DB⊥平面

ABC，AE∥DB，且△ABC

為等邊三角形，

AE=1，BD=2，CD

與平面

ABCDE

所成角的正弦值為

．1）若F是線段CD的中點，證明：EF⊥平面DBC；2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判斷．【解析】（1）依照線面垂直的判判定理進行證明即可．（2）建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．【解答】（1）證明：取BC的中點為M，連接FM，則可證AM⊥平面BCD，四邊形AEFM為平行四邊形，因此EF∥AM，因此EF⊥平面DBC；（2）解：取AB的中點O，連接OC，OD，則OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD與平面ABDE所成角，，設AB=x，則有，得AB=2，取DE的中點為G，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OG為z軸，建立如圖空間直角坐標系，則，由（1）知：設平面BCE2），

BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一個法向量的一個法向量=（1，y，z），由，由此得平面

=（BCE

，﹣1，2），的一個法向量

=（1，

，則cos＜，＞=

=

=

=因此二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值為19．某學校有120名教師，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按分組，其頻率分布直方圖以下列圖，學校要求每名教師都要參加兩項培訓，培訓結(jié)束后進行結(jié)業(yè)考試．已知各年齡段兩項培訓結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)如表示，假設兩項培訓是相互獨立的，結(jié)業(yè)考試成績也互不影響．年齡分組A項培訓成績優(yōu)秀人數(shù)B項培訓成績優(yōu)秀人數(shù)[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60]43（1）若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個容量為40的樣本，求從年齡段[20，30）抽取的人數(shù)；2）求全校教師的平均年齡；3）隨機從年齡段[20，30）和[30，40）內(nèi)各抽取1人，設這兩人中兩項培訓結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學希望．【考點】失散型隨機變量的希望與方差；頻率分布直方圖；失散型隨機變量及其分布列．【解析】（1）由頻率分布直方圖能求出從年齡段[20，30）抽取的人數(shù)．（2）由頻率分布直方圖能求出全校教師的平均年齡．（3）由題設知X的可能取值為0，1，2．分別求出相應的概率，由此能求出X的概率分布列和數(shù)學希望．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖知，×40=14．2）由頻率分布直方圖得：全校教師的平均年齡為：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．（3）∵在年齡段[20，30）內(nèi)的教師人數(shù)為120×0.35=42（人），從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，B項培訓結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，∴此人A、B兩項培訓結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為，∵在年齡段[30，40）內(nèi)的教師人數(shù)為120×0.4=48（人），從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，B項培訓結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，∴此人A、B兩項培訓結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為由題設知X的可能取值為0，1，2．∴，，∴X的概率分布為X012PX的數(shù)學希望為20．已知拋物線方程為x2=2py（p＞0），其焦點為F，點O為坐標原點，過焦點F作斜率為k（k≠0）的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線的兩條切線，設兩條切線交于點M．（1）求；（2）設直線MF與拋物線交于C，D兩點，且四邊形ACBD的面積為，求直線AB的斜率k．【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【解析】（1）設出直線AB的方程，代入拋物線的方程，運用韋達定理和點滿足直線方程，由向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡即可獲取所求值；（2）求得切線的斜率和切線的方程，運用弦長公式，可得|AB|，|CD|，求得四邊形ABCD的面積，運用對勾函數(shù)的性質(zhì)，解方程可得k的值．【解答】解：（1）設直線AB方程為，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，得x2﹣2pkx﹣p2=0，則x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（1+k2）x1x2++（x1+x2）=（1+k2）（﹣p2）++?2pk=﹣p2；（2）由x2=2py，知，可得曲線在A，B兩點處的切線的斜率分別為，即有AM的方程為，BM的方程為，解得交點，則，知直線MF與AB相互垂直．由弦長公式知，|AB|=?=?=2p（1+k2），用代k得，，四邊形ACBD的面積，依題意，得的最小值為，依照的圖象和性質(zhì)得，k2=3或，即或．21．已知函數(shù)f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=fx）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直．1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設，對任意x＞0，證明：（x+1xx﹣2．）g（x）＜e+e【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【解析】（1）求出f（x）的導數(shù)，經(jīng)過解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽C建立，進而證明，設F（x）=1﹣xlnx﹣x，依照函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（1）由于，由已知得，∴．因此，設，則，在（0，+∞）上恒建立，即k（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，由k（1）=0知，當0＜x＜1時k（x）＞0，進而f'（x）＞0，當x＞1時k（x）＜0，進而f'（x）＜0．綜上可知，f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）（2）由于x＞0，要證原式建馬上證建立，現(xiàn)證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒建立，當x≥1時，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2建立；當0＜x＜1時，ex＞1，且由（1）知g（x）＞0，∴．設F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），則F'（x）=﹣（lnx+2），當x∈（0，e﹣2）時，F(xiàn)′（x）＞0，當x∈（e﹣2，1）時，F(xiàn)′（x）＜0，因此當x=e﹣2時，F(xiàn)（x）獲取最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．因此g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1時，g（x）＜1+e﹣2．綜上所述，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①令G（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），則G'（x）=ex﹣1＞0恒建立，因此G（x）在（0，+∞）上遞加，G（x）＞G（0）=0恒建立，即ex＞x+1＞0，即．②當x≥1時，有：；當0＜x＜1時，由①②式，，綜上所述，x＞0時，建立，故原不等式建立請考生在

22、23、24三題中任選一題作答，若是多做，則按所做的第一題記分

.22．選修4﹣1：平面幾何如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA（I）求證：∠DEA=∠DFA；

的延長線訂交于點