2017-2018(1)線性代數(shù)期末考試-A卷參考答案

東莞理工學院（本科）試卷（A卷）2017--2018學年第一學期《線性代數(shù)》試卷開課單位：計算機與網絡安全學院，考試形式：閉卷，允許帶計算器入場題序得分一二三總分評卷人一、選擇題（共18分每小題3分）1.設A，B都是n階矩陣，若（D），則矩陣A與矩陣B相似。A.；B.R(A)=R(B)；C.與有相同的特征多項式；D.存在可逆矩陣P，使得.2.設n階矩陣A的行列式等于，則等于（A）。A.;B.;C.8;D..3.設為階矩陣，下列運算正確的是（D）。A.B.C.D.若可逆，，則.4.設為矩陣，非齊次線性方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件是（B）。A.R(A)=R(A,b)；B.R(A)=R(A,b)=n；D.R(A)=R(A,b)<m.C.R(A)=R(A,b)<n；5.下列不是向量組線性無關的必要條件的是（B）。A.B.C.都不是零向量;中至少有一個向量可由其余向量線性表示;中任意兩個向量都不成比例;D.中任一部分組線性無關.6.若二次型正定，則的取值范圍為(A).A.C.;B.D.;;.二、填空題（共22分,第1-6小題每小題3分，第7小題4分）1.行列式是一個數(shù)值，矩陣是一個數(shù)表。（請?zhí)睢皵?shù)表或數(shù)值”）2.=.3.行列式(x+2)(x-1)2或x3-3x+2．4.n元齊次線性方程組Ax=0只有零解的充要條件是R(A)=n．5.設向量，=正交，則-6．6.任意n+1個n維向量線性相關.填（“線性相關”或“線性無關”）7.已知三階方陣的三個特征值分別為三、計算題（共60分）則1.（10分）設，1)判斷A是否可逆；（4分）姓名:學號:學院:班級:(密封線內不答題)…………………密………………封………線……線………2)如果A可逆，請用初等行變換求出.（6分）解：1）由于，所以A可逆。(4分)2）用初等行變換求得。（6分）2.（10分）計算行列式.解：將D的第三行的-3倍加到第四行，得：（2分）對按第三列展開，得：（3分）將第二行的-2倍加到第三行，得：（2分）按第二列展開得。（3分）3.（10分）設，求出向量組表示。的秩與一個極大無關組，并把不屬于極大無關組的向量用極大無關組線性解：令，用初等行變換將A化成行標準形：（4分）所以向量組的秩為2；（2分）根據A的行標準形可得向量組的一個極大無關組為；（2分）并且，.（2分）姓名:學號:學院:班級:(密封線內不答題)…………………密………………封………線……線………4.（15分）求解非齊次線性方程組1)寫出非齊次線性方程組的增廣矩陣(2分)；2)對1)中的增廣矩陣做初等行變換，求其行標準形(5分)；3)求非齊次線性方程組導出組的一個基礎解系(4分)；4)求非齊次線性方程組的通解(4分).解：1）2）所以求得的行標準形為3）由2）可得該非齊次線性方程組導出組的基礎解系由2個解向量構成，令為自由未知量量；若，得，若，得，則為非齊次線性方程組導出組的一個基礎解系。4）由2）可得非齊次線性方程組的一個特解為，再結合3）可得非齊次線性方程組的通解為：5.（15分）設，1)寫出二次型的矩陣A；（2分）2)求出A的特征值和對應的特征向量.（8分）3)正交變換化二次型為標準形，寫出所用的正交變換及標準形.（5分）解：1）二次型f的矩陣2）A的特征多項式為.,因此特征方程為，解得A的特征值為。將代入齊次線性方程組，得該其次線性方程組的一個基礎解系為，，因此A屬于特征值的特征向量為，其中；將代入齊次線性方程組，得該其次線性方程組的一