總復(fù)習概率論與數(shù)理統(tǒng)計東南課件

2第

1

章

隨

量(一)概率論的基本概念隨機試驗隨機事件必然事件樣本空間不可能事件事件與事件之間的關(guān)系和運算概率古典概型的計算公式中的基本事件總數(shù)P(A)

A中包含的基本事件數(shù)3條件概率P(B

|

A)

P(AB)P(A)全概率公式貝葉斯公式事件獨立性nB為E的任一事件,設(shè)A1

,A

2

,

An

為的一個劃分,則有

P(B)

P(Ai

)P(B|

Ai

)

.i1jn,

j

1,2,...,

n.P(A |

B)

P(

Aj

)P(B

|

Aj

)

P(

Ai

)P(B

|

Ai

)i

14（二）

隨 量及其分布隨

量離散型隨

量

連續(xù)型隨

量二項分布nP{X

k}

Ck

pkqn

k

,k

0,1,2,...,n。k!P{X

k}

,

k

0,

1,

2,

...

,

其中

0是常數(shù).泊松分布k

e

二項分布可以通過泊松分布求近似5指數(shù)分布f(x)

正態(tài)分布f(x)

隨

量函數(shù)的分布xf(t)dtF(x)

1, a

x

b,b

a連續(xù)型隨

量均勻分布

f

(x)

0,

xe

,

x

0,0, x

0.e1,

x

,22

2

(

x

)26238

.50235

10

2

4

3

5

23

;5

10

5

10

502

471500C200400C901100

C11040011001500C200C90C11011001500C200C200400C11100

1500C199

C200811111115556302Y

sin[

(X

1)]291

x2e

2

,

-

x

,解:f

X

(x)2先求Y的分布函數(shù).FY

(y)

P{Y

y}

0;y

1時,y

1時,2YF

(y)

P{Y

y}

P{2X

1

y}

P2y

1

X

2y

1

y12

y12Xf

(x)dx10

,

y

1.e

,y

1,2

(y

1)01

y14,

y

1.),

y

1,2y

1)(2y

120)(2y

1 y

1f

()

f

X

(XfY

(y)

FY

(y)11第

2

章

隨機向量二元聯(lián)合分布函數(shù)F(x,

y)

P{X

x,Y

y}聯(lián)合分布列P{X

xi

,

Y

y

j}

pij

,

i,

j

1,

2,

邊緣分布列i

1,2,,P{X

xi}

pijj1?

pi

,j

1,2,,

P{Y

y

j}

piji1?

p

j

,12邊緣密度聯(lián)合密度

y

x-

-f(u,

v)dudv,f(x,

y)

F(

x,

y)

Yf

(y)

X

f(x,y)dx.--f

(x)

f(x,y)dy,隨

量獨立性F(x,

y)

FX(x)

FY(y),13或等價于：P{X

xi

,Y

y

j

}

P{X

xi

}P{Y

y

j

},或

f(x,

y)

f

X

(x)

fY

(y)二元隨

量函數(shù)的分布i,

j

1,2,140,

其它2

x

y, 0

x

1, 0

y

1f

(x,

y)

310

x,

0

x

1;(2

x

y)dy

22310

y,

0

y

1;(2

x

y)dx

15f

(x,

y)

fX

(x)

fY

(y)0

x

1,0,

其它0

y

1x

y,f

(x,

y)

16311

10

0xy(

x

y)

dxdy

E(

XY

)

f

(

x

,

z

x)dx

０0,＝2z

z0

z

1, 1

z

2其它f

(

x

,

z

x)dx,0

z

11

z

2其它(2)

f (

z)

2

z

2

,1z

10,

z

f

(

x

,

z

x)

dx

，Z17第

3

章

數(shù)字特征x

pkk數(shù)學期望k

1E(X)

xf(x)dx

-或

E(X)

隨

量函數(shù)的數(shù)學期望

g(x)f(xd)

x.-

Eg(X)

Eg(X)

g(xk

)pk

或k

1數(shù)學期望的性質(zhì)18隨

量的方差D(X)

E[

X

-

E(X)]

2

E(X

2

)-E(X)

2方差的性質(zhì)矩、協(xié)方差矩陣C

ov(X,

Y)D(X)

D(Y)XY

常見隨

量協(xié)方差

相關(guān)系數(shù)C

ov(X,

Y)

E{[X -

E(X)][Y -

E(Y)]},19大數(shù)定律及中心極限定理nlimP

Y

a

1,n則稱序列{Y}依概率收斂于a,記作Y

n

nPa.2.若對于

0,有

nlimP

1

1nnni

1n

E(

Xi

)

1.

Xii

1則對

0,都有1.契大數(shù)定律:設(shè)X1

,X

2

,

Xn

,是由兩兩互不相關(guān)的隨量所構(gòu)成的序列,每一個隨機變量都有有限的方差,并且它們有公共的上界:D(X1

)

k,

D(X2

)

k,

,D(Xn

)

k,

nn:

limPn

p

13.貝努利定理1n

1.n

ni

1Xi4.辛理:

limPD(kX

)k

15.獨立同分布的中心極限定理:設(shè)隨

量Xk

(k

1,

2,)相互獨立,服從同一分布，

且具有有限的數(shù)學期望和方差,則隨

量:n

n

Xk

E(

Xk

)Yn

k

1 k

1

的分布函數(shù)趨向于標準正態(tài)分布

n21l

i

m

P

x

(

x).np

(1

p

)

n

npn

設(shè)隨量

n

(

n

1,

2,

)

服

從B

(n,p)，則對于

x,恒有Bnn

n

Xk

kk

1 k

1

x

(x).l

imFn

(x)

limPn

n

22mj1imj1iij2

1m

(2m

1)(m

1)

,6E(X

2

)

mj

1mj

1,...,m;

m

1

,2

E(X )

P(X

j)

1

,i

1,...,k.X

X1

Xk可知Xi

的分布律為：23.12kiki2

1

12m

222i

i

i2k(m

1).D(X )

D(X)

E(X )

1

k(m

1),

E(X)

1D(X )

E(X )

[E(X

)]i1i124X

~

N(0,1),Y

~

N(1,2),3X

YX

Y得解

由：0

cov(3X

Y,

X

Y)

3cov(X,

X)

3

cov(X,

Y)

cov(Y,

X)

cov(Y,

Y)

3

2

1.525100Ck0.8k·

0.2100－k2627第

4

章

統(tǒng)計估值總體樣本簡單隨機樣本樣本定義統(tǒng)計量抽樣分布28常用的幾個統(tǒng)計量n

-

11X

;niknX

kik

2ninni(X

X)

k

,

k

1,

2,

.

1,

k

1,

2,

;

1(X

X)

;n

n

2

(X

i

X)

;n

i

1i

1i

1n

-

1

i

11i

15

.

樣本

k

階中心矩

B4

.

樣本

k

階原點矩

A3

.

樣本標準差

S

2.

樣

本

方

差

S

2

1.樣本均值X

1

29(二) t

-

分布:設(shè)X

~

N(0,1),

Y

~

2

(n),并且X,

Y

相互獨立,

則稱t

X

, 服從t(n)分布.Y

/

nV

/

n服從

度為(n1

,

n

2

)的2F

分布,記作F

~

F(n

1

,n

2

).則稱隨

量F

U/n1(三)F分布:

設(shè)U

~

2

(n ),

V

~

2

(n ),

且U,

V獨立,1

230參

數(shù)

估

計矩估計法極大似然估計法定義

如果似然函數(shù)L(x1

,

x

2,

xn

;1

,

,

,

)在

,

?

??2

k

1

2

k,,

取到最大值，則稱?

,

?

,,

?

分別為

,

,

,

的極大似然估計.1

2

k

1

2

k(三)估計量的評選標準有三個:無偏性、有效性和相合性。31若對于給定值，有:1P{

2

}

1

n的置信區(qū)間：(

X

z1

2置信度為1

的置信區(qū)間則稱(

,

)為的。1.當

2已知時，選取Z

X

，可得

n

/

2

).nS,t

(n

1)).X

S

n

/

2可得的置信區(qū)間：(X

2.當

2

未知時,

構(gòu)造隨

量

Z

，

可得

2(n

1)S

2選取Z

3.

2的置信區(qū)間:)(n

1)S

2(n

1)S

2

21

/

22

/

2，(n

1)

2

(n

1)的置信區(qū)間為

:

(當2

和2已知時,求

的置信區(qū)間1

2

1

2當

2

和

2

均未知時,求

的置信區(qū)間1

2

1

223.

2

2

2

,

但

2未知時,

求

1

2

1的置信區(qū)間X1

,

X2

,...,XnX,

S2E(S2

)

2E(X),

D(X)nnnnn22i2ninini

2

,nD(X )

X

1

1D(X)

DE(X )

1nn

,

1

X

1ni11E(X)

E

n

i1i1i1i1i134

n

1

n

1

)

(X

)2

]ni1ini1in

n

12ni1i

)

2

－2(X

)ni[(X

)

2

n

1

i1nii

n

1

i1[(X

)

2－n(X

)

2

]

E[(X

)

2

－2(X

)n(X

)

n(X

)

2

]

1

E(X

)

n(X

)

]

1

E

2(X

)(Xi

1[

(Xii1

1

E

1

E1nE(S2

)

E

(X

X)

2

n

1

i1[(X

)－(X

)]2

in[n11[n

2

n

1

2

]n

1n

11n

1

i1i1n＝

22[

－nD(X)]E(X

)

2－nE(X

)

2

]X1

,

X2

,...,X10Y1

,

Y2

,...,Y20X

YP(|

X

Y

|

0.1)0.1

)0.3

0.3

2[1

(

0.1

)]

2(1

(0.1825))0.3

2(1

0.5714)

0.8572.X

Y

~

N(0,0.3);P(|

X

Y

|

0.1)

P(|

X

Y

|解X1

,

X2

,...,X2000N2001,2

。

2

2

21

解.

(1)

記n

2000,ni1ini1ini1i2ini1(x

2001)22000

1(x

2001)2

0,(x

2001)2

,12lnL

n

ln(2)

n

ln

2

d

2

2

2

2

4?2(x

2001)2

],2

2exp[21

1L

得2

2由

d

lnL

n

12000i20001

?2是

2的無偏估計。2E(x

2001)

2

,i1

E(?

2

)

的置信區(qū)間為：１２２

(n)２２

(n)ni1

2x

2001

in

i1

,x

20012i得

2的置信度為1

ni1

x

2001

2(2)

由２＝

i

~

2

(n),第

5

章

統(tǒng)計檢驗一般地，檢驗問題可敘述為:在顯著性水平下，檢驗假設(shè)H0

，

H1其中H0

稱為原假設(shè)，H1

稱為備擇假設(shè)(備選假設(shè))。假設(shè)檢驗的一般步驟(1)

提出