高等數(shù)學(xué)課件：第7章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用7

1小結(jié)思考題作業(yè)空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面曲面的切平面與法線(xiàn)第七節(jié)微分法在幾何上的

應(yīng)用第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2設(shè)空間曲線(xiàn)的方程(1)式中三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)，不同時(shí)為零.

1.空間曲線(xiàn)的方程為參數(shù)方程一、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面微分法在幾何上的應(yīng)用3考察割線(xiàn)趨近于極限位置——上式分母同除以割線(xiàn)的方程為切線(xiàn)的過(guò)程微分法在幾何上的應(yīng)用4曲線(xiàn)在M處的切線(xiàn)方程切向量切線(xiàn)的方向向量稱(chēng)為曲線(xiàn)的切向量.微分法在幾何上的應(yīng)用引入記法方向數(shù)5法平面過(guò)M點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的平面.微分法在幾何上的應(yīng)用也是切線(xiàn)的一組方向數(shù)，從而切向量的方向余弦為6切線(xiàn)方程法平面方程例微分法在幾何上的應(yīng)用7設(shè)曲線(xiàn)直角坐標(biāo)方程為法平面方程為2.空間曲線(xiàn)的方程為曲線(xiàn)的參數(shù)方程是由前面得到的結(jié)果,在M(x0,y0,z0)處,令切線(xiàn)方程為x為參數(shù),兩個(gè)柱面的交線(xiàn)微分法在幾何上的應(yīng)用8例在拋物柱面與的交線(xiàn)上,

求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切向量.x為參數(shù),于是解所以交線(xiàn)上與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切向量為:交線(xiàn)的參數(shù)方程為取微分法在幾何上的應(yīng)用9設(shè)空間曲線(xiàn)方程為3.空間曲線(xiàn)的方程為確定了隱函數(shù)(此曲線(xiàn)方程仍可用方程組

兩邊分別對(duì)表示.)x求全導(dǎo)數(shù):兩個(gè)曲面的交線(xiàn)微分法在幾何上的應(yīng)用10

利用2.結(jié)果,

微分法在幾何上的應(yīng)用11法平面方程為切線(xiàn)方程為在點(diǎn)

M(x0,y0,z0)處的微分法在幾何上的應(yīng)用12解例

切線(xiàn)方程和法平面方程.法一

直接用公式;令微分法在幾何上的應(yīng)用13法平面方程切線(xiàn)方程微分法在幾何上的應(yīng)用14切線(xiàn)方程法二

將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)

切線(xiàn)方程和法平面方程.法平面方程微分法在幾何上的應(yīng)用想想還有其它方法嗎？15設(shè)曲線(xiàn)思考證

因原點(diǎn)即于是證明此曲線(xiàn)必在以原點(diǎn)為的法平面都過(guò)原點(diǎn),在任一點(diǎn)中心的某球面上.曲線(xiàn)過(guò)該點(diǎn)的法平面方程為故有微分法在幾何上的應(yīng)用

在法平面上,任取曲線(xiàn)上一點(diǎn)16

今在曲面Σ上任取一條1.設(shè)曲面Σ的方程為的情形隱式方程二、曲面的切平面與法線(xiàn)微分法在幾何上的應(yīng)用過(guò)點(diǎn)M的曲線(xiàn)Γ,設(shè)其參數(shù)方程為17微分法在幾何上的應(yīng)用

則※式可改寫(xiě)成即向量垂直.※18曲面Σ在點(diǎn)M的微分法在幾何上的應(yīng)用法線(xiàn),向量稱(chēng)為曲法向量.切平面,曲面Σ在點(diǎn)M的面Σ在點(diǎn)M的19曲面在M(x0,

y0,

z0)處的法向量:微分法在幾何上的應(yīng)用切平面方程為法線(xiàn)方程為所以曲面Σ上在點(diǎn)M的20解令切平面方程法線(xiàn)方程

例∥切平面方程為法線(xiàn)方程為曲面在M處的法向量:微分法在幾何上的應(yīng)用212.曲面方程形為的情形曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線(xiàn)方程為令或顯式方程微分法在幾何上的應(yīng)用22因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程:全微分的幾何意義表示切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量微分法在幾何上的應(yīng)用23其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它與z軸的正向所成的角是銳角,則法向量的方向余弦為微分法在幾何上的應(yīng)用鈍角！24因?yàn)?第三個(gè)分量為負(fù)),思考

求旋轉(zhuǎn)拋物面在任意點(diǎn)P(x,y,z)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角的法向量).解而為向下的法向量故向上的法向量應(yīng)為:微分法在幾何上的應(yīng)用25令∥

解

切線(xiàn)方程和法平面方程.應(yīng)同時(shí)垂直于分析曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)向量s微分法在幾何上的應(yīng)用當(dāng)空間曲線(xiàn)方程為一般式時(shí),求切向量曾采用了推導(dǎo)法.現(xiàn)采用向量代數(shù)法求切向量例26∥令∥

切線(xiàn)方程和法平面方程.微分法在幾何上的應(yīng)用27

例

證過(guò)直線(xiàn)L的平面束方程為即其法向量為微分法在幾何上的應(yīng)用求過(guò)直線(xiàn)L且與曲面相切之切平面方程.28設(shè)曲面與切平面的切點(diǎn)為則過(guò)直線(xiàn)L的平面束方程其法向量為因而微分法在幾何上的應(yīng)用29過(guò)直線(xiàn)L的平面束方程為故所求切平面方程為或即或微分法在幾何上的應(yīng)用30因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程:全微分的幾何意義表示切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量微分法在幾何上的應(yīng)用31空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面曲面的切平面與法線(xiàn)微分法在幾何上的應(yīng)用三、小結(jié)(空間曲線(xiàn)三種不同形式方程的切線(xiàn)與法平面的求法