概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第一章隨機(jī)事件及其概率確定性現(xiàn)象.隨機(jī)現(xiàn)象:在一定條件下可能發(fā)生這種結(jié)果也可能發(fā)生那種結(jié)果的，因而無法事先斷言出現(xiàn)那種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。概率規(guī)律和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性?！?.1隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn):可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;重復(fù)試驗(yàn)有多個(gè)可能結(jié)果,且能事先明確所有可能的結(jié)果;一次試驗(yàn)只出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，且試驗(yàn)前不能確定出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)可能結(jié)果稱為該試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn),記為.全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為該試驗(yàn)的樣本空間，記為。E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.

1={H,T}

1=H

,2=TE2:將一枚硬幣拋三次,觀察正

出現(xiàn)的情況.2={HHH,

THH，HTH,

HHT,HTT,THT,TTH,TTT

}E3:擲一顆 ,觀察點(diǎn)數(shù).則3={1,2,3,4,5,6}1=1

2=2

6=6E4:

交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).4={0，1，2，

}1=0,

2=1,

3=2

E5:從一批電子元件中任取一只測試其

.5={t|

t≥0}離散樣本空間.連續(xù)樣本空間.“在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生事情”叫做隨機(jī)事件,簡稱事件.如E1中,“出現(xiàn)正面”;E3中，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;E5中{1000<t<3000}(小時(shí)).隨機(jī)事件：樣本空間中樣本點(diǎn)的集合隨機(jī)事件基本事件:由單個(gè)樣本點(diǎn)組成如:{H},{T}.復(fù)合事件:多個(gè)樣本點(diǎn)組成如:E3中{出現(xiàn)正面次數(shù)為偶數(shù)}.必然事件:樣本空間自身不可能事件：空集事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算1.包含關(guān)系和相等關(guān)系:AB:A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生A

B若A

B且A

B,則A=B2.事件的并:A

B“:

事件A與BA

B

Ak

:Ak

,k

1,2,...至少有一個(gè)發(fā)生.k

13.事件的交：A

B:“事件A與B同時(shí)發(fā)生”A

B

Ak

:Ak

,k

1,2,...同時(shí)發(fā)生.k

14.事件的差:A-B

:“A發(fā)生而B不發(fā)生”A-B

A

AB

ABA

B互不相容:A

B

.A

B

注：基本事件兩兩互不相容5.

互不相容(互斥):互逆:A

B

Ω且A

B

,記作B

A.6.

互逆事件：B

A交換律:

A

B

B

A；A

B

B

A.7.事件的運(yùn)算律:結(jié)合律:(A

B)

C

A

(B

C),(AB)C

A(BC)分配律：A

(B

C)

(A

B)

(A

C);A

(B

C)

(A

B)

(A

C).A

B

{A、B至少發(fā)生一個(gè)}解釋:n

n

n

n

i

1

i

1

i

1

i

1

Ai

Ai

,

Ai

AiA

B

A

B;

A

B

A

B.德摩根公式:

{A、B都不發(fā)生}

A

B.德摩根公式推廣：例1

高射

對目標(biāo)飛機(jī)射擊三次，設(shè)Ai表示“第i次

飛機(jī)”，用Ai表示下列事件(1)

B1“只有第一次

飛機(jī)”（2）B2“恰有一次（3）B3“至少有一次（4）B4

“至多兩次飛機(jī)”飛機(jī)”飛機(jī)”

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3解(1)B2B3

A1

A2

A3

,所以B1

A1

A2

A3B3

A1

A2

A3

A1

A2

A3由于

(

A所以

§2.

頻率與概率(一)頻率1.定義：將一試驗(yàn)E在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次,如果事件A發(fā)生了nA次,則比值Fn(A)=nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率.2.

頻率的F

n（A）

0；(1)

非負(fù)性:規(guī)范性:可加nF

1;i

1Fn

(

A

B)

Fn

(

A)

Fn有限可加性：若A1，A2，,Ak

兩兩互不相容,則kF

n(

Ai

)

Fn

(

A1

)

Fn

(

A2

)

Fn

(

Ak

).頻率的特性:波動(dòng)性和穩(wěn)定性.波動(dòng)性:對于同一個(gè)試驗(yàn),不同的試驗(yàn)序列其頻率不同;穩(wěn)定性:

隨著n逐漸增大,事件A的頻率總在某一定值P(A)的附近擺動(dòng)而逐漸穩(wěn)定。P(A)通常稱為頻率的穩(wěn)定值。實(shí)驗(yàn)者擲幣次數(shù)n正面次數(shù)n(A)頻率Fn(A)蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005拋幣試驗(yàn)(二)

概

率1

統(tǒng)計(jì)定義：頻率的穩(wěn)定值P(A)反映了事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，稱P(A)為事件A的概率。2公理化定義：設(shè)為樣本空間，A為事件，對每一事件A賦予一實(shí)數(shù)P(A)，如果P(A)滿足如下三條公理：非負(fù)性：P(A)

0規(guī)范性：P()

1對兩兩互斥事件Ai

(i

1,2,),有

可列可加性:P(

Ai

)

P(Ai

)i

1

i

1則稱P(A)為事件A的概率。概率的性質(zhì):性質(zhì)1

不可能事件的概率為0，即P()

0.證:

令A(yù)n

(n

1,2,),則

An

,n1且Ai

Aj

.

由概率的可列可加性得

P(

)

P(

An

)

P(

An

)

P(

)n1

n1

n1而P(

)

0,所以有P(

)

0.性質(zhì)2

有限可加性

:

A1

,

A2

,,

An兩兩n

nP(

Ai

)

P(

Ai

).i

1

i

1互斥，則有證：令A(yù)n1

An2

,則有Ai

Aj

,i

j,i,j

1,2,

由可列可加性可得n

i

1

i

n1i

1n

i

1P(

Ai

)

P(

Ai

)

P(

Ai

)

P(

Ai

)n

n

P(

Ai

)

P(

)

P(

Ai

)i

1

i

n1

i

1性質(zhì)3

對任意事件A,B,若A

B,

則有P(B

A)

P(B)

P(A),且P(B)

P(A).證:

A

B且A(B

A)

，P(B)=P(A)+P(B-A),再由概率的非負(fù)性知P(B

A)

0,于是有P(B)

P(A).故有B

A性質(zhì)4

對任一事件A,

P(A)

1.性質(zhì)5

對任一事件A,

P(

A)

1

P(

A).性質(zhì)6

對任意兩事件A,

B有P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB).推廣P(

A

B

C

)

P(

A)

P(B)

P(C

)

P(

AB

)P(

AC

)

P(BC

)

P(

ABC

).P(

A1

A2

An

)n

P(

Ai

)

P(

Ai

Aj

)i

1

1

i

j

n

P(

Ai

Aj

Ak

)

1

i

j

k

n

(1)n1

P(

A

A

A

).1

2

n這個(gè)式子稱為“加奇減偶公式”.i

1i

1n

ni

1(2)P(

Ai

)

1

P(

Ai

)nni

1(1)P(

Ai

)

P(Ai

)(次可加性)命題：設(shè)A1

,A2

,...,An

是n個(gè)事件，則i

1證明：(1)n

2時(shí)結(jié)論成立。設(shè)n

k時(shí)成立k則當(dāng)n

k

1時(shí),令A(yù)

Ai

,有k

1

P(

Ai

)i

1i

1k

1P(

Ai

)

P(

A

Ak

1

)

P(

A)

P(

Ak

1

)例1

設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.(1)AB;(2)AB;(3)AB;(4)A

B.練習(xí)1.已知P(A)

0.4,P(B

)

0.3,P(A

B)

0.8,則P(AB)

?P(A

B

)

?§3.古典概型古典概型的特點(diǎn):有限樣本空間:

={1,2,,n}等可能樣本點(diǎn):P(1)=P(2)=

P(n)由概率定義及等可能性,可得P(

A)

k

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)n

樣本點(diǎn)總數(shù)計(jì)算公式:例１.設(shè)一袋中有

為1,2,…,9的球共9只,現(xiàn)從中任取3只,試求:(1)取到1號球的概率,（記為事件A）(2)最小號碼為5的概率.（記為事件B）9解：從9個(gè)球中任取3只球,共有C3

種取法.89C

3C

2P(

A)

8（1）取到1號球共有C

2

種取法4（2）最小號碼為5,共有C

2種取法.9C

3C

2P(B)

4推廣：有N件產(chǎn)品,其中M件次品,從中任取n件,求取到k件次品的概率.解:記Ak:取到k件次品MM件次品中取k件,取法數(shù)為Ck從N-M件正品中取n-k件,取法數(shù)為

Cnk

,于是NN件中任取n件,

共有Cn

取法,N

MnkN

M

nN例2

將n只球一只一只隨機(jī)地放入N(N≥n)個(gè)盒子中去,試求A:1-n號盒子各有一球的概率

B:每個(gè)盒子至多有一只球的概率.(設(shè)盒子的容量不限)假定每個(gè)人的生日在一年365天的任一天都等可能,隨機(jī)選取n(<365)個(gè)人,求A:“至少有兩個(gè)人生日相同”的概率。An365nP(A)

1

365

,生日問題取n

32,p(A)

0.75;n

50,

P(

A)

0.97;例3

n把看起來一樣的，只有一把能開門，用這些

試開門（不重復(fù)），求第第k次開門成功的概率。解：A表示“第k次試開成功”方法1:

考慮n把

對應(yīng)第j次試開用的的全排列，第j個(gè)位置。則總樣本點(diǎn)數(shù)為n!,A包含(n-1)!個(gè)樣點(diǎn)。于是P(A)=1/n.方法2:

考慮第k個(gè)位置上

出現(xiàn)的情況

5

5

5

15

10

5

10!5!

5!5!

5!5!5!15!

10!

15!

4

4

4

12

8

4

12!91

25

0.2747.5!5!5!4!4!4!15!4!4!4!于是:

P(

A)

3!

12!例4

15名新生中有3名是黨員,將這15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級中去,

問每一個(gè)班級各分配到一名黨員的概率是多少(記為事件A)?解:

15名新生平均分配總的分法數(shù)為:3名黨員的分配數(shù)為3!,另12名新生的分配數(shù)為§4.條件概率(一)定義:設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為

,

A,

B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率,記為P(B|A).在古典概型中:樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,若事件A包含nA個(gè)樣本點(diǎn)，AB包含nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則nAP(B

|

A)

nABP(A)

n

P(AB)nnAn

AB定義:

設(shè)A,

B是兩個(gè)事件,

且P(A)>0,

稱P(A)P(B

|

A)

P(AB)為在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率.性質(zhì)(條件概率是一個(gè)概率)P(B

|

A)

0.P(

|

A)

1.設(shè)B1

,B2

,兩兩互不相容,則

P(Bi

|

A)

P(Bi

|

A).i1

i1(4)

P(

|

A)

0.(5)設(shè)B1

,B2

,,Bn兩兩互不相容,則n

nP(

Bi

|

A)

P(B

i

|

A).i1

i1P(B

|

A)

1

P(B

|

A).P(B

C

|

A)

P(B

|

A)

P(C

|

A)-

P(BC

|

A).例1

根據(jù)長期氣象

，甲乙兩城市一年中雨天的比例分別為20%和18%,同時(shí)下雨的比例為12%。問甲乙兩城市氣候是否相關(guān)？解：以A,B分別表示甲乙兩城市出現(xiàn)雨天。則P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是P(

A

|

B)

P(

AB

)

0.12

2

0.2P(B)

0.18

3P(B

|

A)

P(

AB

)

0.12

0.6

0.18P(

A)

0.2所以兩城市氣候有一定的相關(guān)性。(二)

乘法定理:由條件概率定義,

立即可得P(AB)

P(A)P(B

|

A).例2

袋中有某產(chǎn)品５件，其中一等品３件二等品２件，不放回從中連續(xù)抽兩件，A表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽到一等品，求P(AB).解:P(AB)

P(A)P(B|

A)

3

2

0.3.5

4推廣:

若P(AB)>0,

則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,(n≥2),P(A1A2

...An-1)>0,則有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).例３透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為0.7,

若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,

試求透鏡落下三次而未打破的概率.解:

Ai

第i次落下打破,

i

1,

2,

3.B

三次落下未打破,練習(xí)：設(shè)盒中有a(a>2)個(gè)黑球，b個(gè)白球，連續(xù)從盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。解：以Ai

表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),P(

A1

A2

A3)

P(

A1)P(

A2

|

A1

)P(

A3

|

A1

A2

)b

1

a

b a

b

1

a

b

2a

b(三)全概率公式和貝葉斯公式:例1.某電子設(shè)備廠所用的晶體管由三家元件制造廠提供,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05從中任取一只晶體管,它是次品的概率是多少？定義:

若B1

,

B2

,

,

Bn一組事件滿足:(i)

Bi

Bj

,

i

j, i,

j

1,

2,

...,n,n(ii)

Bi

Ω,i

1則稱B1

,B2

,Bn為樣本空間的一個(gè)劃分.全概率公式:設(shè)B1

,B2

,

Bn為Ω的一個(gè)劃分,P(Bi

)

0,(i

1,2,

,n),對E的任一事件A,有nP(

A)

P(B

i

)P(A

|

Bi

).i1例1(續(xù)).Ａ:產(chǎn)品為次品,Bi:產(chǎn)品由工廠i生產(chǎn)元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.053運(yùn)用全概率公式可得P(

A)

P(B

i

)P(A

|

Bi

).i1

0.15

0.02

0.80

0.01

0.05

0.03

0.0125例2

某產(chǎn)品整箱出售每箱20個(gè)，各箱有0，1，2個(gè)次品的概率分別為0.8,0.1,0.1。顧客

時(shí)選取一箱從中任取4只檢查，若無次品則買下該箱產(chǎn)品，若有次品則退回，求顧客買下該箱產(chǎn)品的概率。解：以Bj表示“選取的一箱產(chǎn)品中有j個(gè)次品”(j=0,1,2),則Bj構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”練習(xí):甲箱中裝有3只紅球和2只白球,乙箱中2只紅球和2白球,從甲箱中取兩只球放入乙箱中,再從乙箱中取1球,求A:“從乙箱取得白球”的概率.2解設(shè)Bi={從甲箱中取出i只白球}i=0,1,2.則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。由全概率公式P(

A)

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)i

0

36

225C1252

3設(shè)B1

,B2

,...,Bn是樣本空間的一個(gè)劃分,A是任一隨機(jī)事件且P(A)

0,則有貝葉斯公式:,

i

1,

2,

...,

n.P(B

i

)P(A

|

Bi

)n

P(B

j

)P(A

|

Bj

)j1iP(B |

A)

例3(續(xù)1)

任取一只晶體管,

若它是次品,則它由1號工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?1

0.020.152

0.010.803

0.030.05注:1.P(Bi)稱為先驗(yàn)概率。事件B1,B2,…,Bn被看作是引起事件A發(fā)生的n個(gè)原因。2.P(Bi|A)通常稱為后驗(yàn)概率。事件A表示結(jié)果，P(Bi|A)表示A的發(fā)生是由第i個(gè)原因引起的概率。求結(jié)果：全概公式求原因：貝葉斯公式例４

在數(shù)字通訊中，發(fā)送信號０和１的概率分別為0.7和0.3;

發(fā)送0收到1的概率為0.2;

發(fā)送1收到1的概率為0.9。求收到信號為1時(shí)發(fā)送信號為1

的概率。解：A—接收信號為1B

發(fā)送則B,B構(gòu)成一劃分。練習(xí)：

機(jī)器良好時(shí),

生產(chǎn)的產(chǎn)品的

為90%,而當(dāng)機(jī)器有故障時(shí),其

為30%,

每天開機(jī)時(shí)機(jī)器良好的概率為75%。已知某日第一件產(chǎn)品是合格品,

問機(jī)器良好的概率是多少?解:A表“產(chǎn)品合格”,B為“機(jī)器良好”,由條件，P

A

）

09BP(.0),25

由Bayes公式得：(.|,(.)|,(.)

BPB0A0P735BP(

A

|

B)P(B)

P(

A

|

B

)P(B

)P(

A

|

B)P(B)P(B

|

A)

=(0.90.75)/(0.9

0.75+0.3

0.25)=0.9.§1.5

獨(dú)立性一般地,P(B|A)≠P(B).若P(B|A)=P(B),

由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例1

設(shè)袋中有a只紅球和b只白球，今從袋中取球兩次,每次各取一球,記:

A,B分別表示“第一、二次取得紅球”。2.有放回時(shí):

P(B),a

bP(B

|

A)

P(B),a

-

11.不放回時(shí):P(B

|

A)

a

b

-

1

a

baa即P(AB)

P(A)P(B).定義1:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.注：必然事件和不可能事件與任何事件A都獨(dú)立定理：如果事件A,B相互獨(dú)立，且P(B)>0,則P(A|B)=P(A)獨(dú)立擴(kuò)張定理：若A與B相互獨(dú)立,

則A與B,A與B,

A與B也相互獨(dú)立.證明:P(AB)

P(A)

P(AB)

P(A)

P(A)P(B)

P(A)(1

-

P(B))

P(A)P(B).故A與B相互獨(dú)立.例2

甲、乙兩射手向同一目標(biāo)獨(dú)立射擊,甲目標(biāo)的概率為的概率。目標(biāo)的概率為0.9，乙0.8，求在一次射

目標(biāo)被解：

A—甲

目標(biāo)，

B—乙目標(biāo)，P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB

)

P(

A)

P(B)

P(

A)P(B)0.9

0.8

0.90.8

0.98定義2:

設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,若滿足:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨(dú)立的事件.定義3：對n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果對所有可能的組合1≤i<j<k<…≤n成立著P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)?P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),則稱這n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立.定義4：設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件，如果對任意的1≤i<j

≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則

稱這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立.注：若n個(gè)事件相互獨(dú)立，必蘊(yùn)含這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立.反之不成立。例3

一均勻正四面體,其一、二、三面分別染成紅白黑三色,第四面染上紅白黑三色.現(xiàn)以分別A,B,C記投擲一次四面體出現(xiàn)紅白黑顏色的事件,則由于四面體中有兩面有紅色,因此P(A)=1/2同理

P(B)=P(C)=1/2,容易算出P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4所以A,B,C兩兩獨(dú)立.但是P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)A,B,C不是相互獨(dú)立的.中有肝炎，求此的概率為中含有例4

假若每個(gè)人0.4%,混合100個(gè)人的肝炎

的概率.解：以Ai(i=1,2,…100)記“第i個(gè)人的

含有肝炎

”,

Ai相互獨(dú)立.所求概率為P(

A1

A100)

1

P(

A1

A2

A100

)

1

P(

A1)

P(

A100

)

1

0.996100

0.33例5設(shè)有4個(gè)元件,每個(gè)元件的可靠性均為p(元件能正常工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性.二:先并聯(lián)后串聯(lián)一:先串聯(lián)后并聯(lián)練習(xí)

某類高射

為0.6,

為了以99%以上的概率命中目標(biāo)，應(yīng)配備多少門

？練習(xí)P(A)

P(B)

P(C

)

1/2,且A,B,C兩兩獨(dú)立P(ABC

)

0,P(A

B

C

)

9/16.求P(A).設(shè)P(A)

P(B)

1/3,P(A

|

B)

1/6,求P(A

|

B).袋子中有

1-10十個(gè)球，從中任取一個(gè)若不是“2”號球則放回，若是則不放回。然后從袋子中再任取一球，則取到”1”號球的概率是多少？甲乙丙三個(gè)班級學(xué)生數(shù)分別為20，25，30，其中數(shù)為7，5，9.任選一個(gè)班級，從中抽出一名學(xué)生，若抽得一名

則她屬于甲班的概率是多少？作業(yè)習(xí)題１：3(3)(4)，5，7，9，13，21，27,32,

33,

43，45.第二章隨§2.1

隨量及其分布量的概念例1

從一批產(chǎn)品中任意抽取n件,觀察出現(xiàn)的“次品數(shù)”X1,

X1的所有可能取值為:0,1,2,…,n.j件次品可用(X1=j)表示.例2

記錄某接待站一天中來訪的人數(shù)X2,“接待k個(gè)人”可用(X2=k)表示.例4

擲一枚硬幣觀察正

.試驗(yàn)結(jié)果為:1={正面},

２={

}.試驗(yàn)的結(jié)果可以用變量X4

表示．440,當(dāng)1,當(dāng)

1

2X

X

()ω

例3

測試電子元件

的試驗(yàn)中,“元件為t小時(shí)”可以用(X3=t)

來表示.例5

擲兩枚硬幣觀察正

.試驗(yàn)結(jié)果為:1={正正},

２={正反},

3={反正},4={反反}.用變量X5

表示:0,當(dāng)

142,當(dāng)

32551,當(dāng)

或

X

X

(ω)

定義２.1

如果對于樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)

，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)X()與之對應(yīng)，則稱X()為隨 量．簡記X()為X.分類：(1)

離散型，(2)連續(xù)型.§2.2

隨量的分布函數(shù)定義：X是一隨

量,

對任意xR,

函數(shù)F(x)=P{

X≤x

}稱為X的分布函數(shù).P{

x1<X≤x2}=P{X≤x2}

-P{X

≤x1}=F(x2)-F(x1)

.例1.

擲

觀察點(diǎn)數(shù)。P(X=k)=1/6,k=1,2,…,6.F(x)

P(X

x)

0, x

11

/

6,

1

x

22

/

6, 2

x

36/,5

61, x

62.性質(zhì):(1)

F(x)是單調(diào)不減函數(shù).(單調(diào)性)x2>x1,

F(x2)-F(x1)0.0x

x

0≤F(x)≤1

且(規(guī)范性)F()

lim

F(x)

0,

F()

lim

F(x)

1x

x

F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn),而在其間斷點(diǎn)x0處是右連續(xù)的,lim

F

(x)

F

(x0

0)

F

(x0

)(右連續(xù)性)xF)(是分布函數(shù)。0

xn2n若X是對應(yīng)的隨xF)(

1

，說明例2

已知8解P(

X

3)

F

(3)

1

70

n

3

2nP(

X

3)

1

F

(3

0)

1421

1

2n1n§2.3

離散型隨

量的概率分布

定義

若隨

量全部可能取值是有限或可列無窮多,

則稱為離散型隨

量.分布律:

設(shè)離散型隨

量X所有可能取值為xk(k

1,2,3,...)P(X

xk

)

pk

,

k

1,2,...或列表分布律的性質(zhì)：pk

0,

k

1,2,...

pk

1.k

1例1.

設(shè)

車在開往目的地的道

過四盞信號燈,每盞信號燈是紅燈的概率為p，X表示汽車首次停下時(shí)已通過信號燈的盞數(shù),求X的分布律。解:X

0

1

2

3

4pk

p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4即P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3.P{X=4}=(1-p)4例2

設(shè)X的分布律為P(

X

k

)

(k

0,1,2,,n),試確定常數(shù)a.kkn

C

a3n1k

kn13nn

n1

P(

X

k

)

k

0

k

0n

C

a解

:

由分布律的性質(zhì)可得故

a

2.k

0k

k

nkna

13

3C

(

)

(

)

(

a

1

)n3

3X的分布函數(shù)F

(x)

P(

X

x)

P(

(

X

xk

))xk

x

P(

X

xk

)xk

x

pkxk

x例3.已知X的分布律X-123pk1/41/21/4求:(1)

X的分布函數(shù)F(x),(2)

P{

X≤1/2},

P{3/2<X≤5/2}.3.幾種常用離散型分布(一)0-1分布X只取0和1兩個(gè)值，且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.則稱X服從(0-1)分布。貝努利試驗(yàn):試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果A與A,且P(

A)

pn重貝努利試驗(yàn)：將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次(二)二項(xiàng)分布X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則nP(

X

k

)

Ck

pk

(1

p)nk

,

k

0,1,2,,

n量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,稱隨記為X

~

B(n,

p).例1.

已知一大批電子元件的一級品率為0.2,

隨機(jī)

20只,

求其中一級品數(shù)X的分布律.X

~

B(20,

0.2).即

P X

k

Ck

(k}

0{.22)0(0k

.820k

0,

1,

2,

...

,

20.20只元件可以看作是20重貝努利試驗(yàn)，解：則kq(n

k

1)

pP(

X

k

1)P(

X

k

)

n

Ck

pkqnkn

1

(n

1)

p

kCk

1

pk

1qn(

k

1)kq結(jié)論:(1)當(dāng)(n+1)p為整時(shí)，P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處同時(shí)達(dá)到最大。(2)(n+1)p非整時(shí)，P(X=k)在k=[(n+1)p]處達(dá)到最大值。使得P(X=k)達(dá)到最大值的數(shù)k稱為最可能成功的次數(shù)。例2某種產(chǎn)品的次品率為2%,隨機(jī)次品數(shù)多于6件的概率是多少？200件，則解

設(shè)抽出的次品數(shù)為X,

則

X

~

B(200,

0.02).200P(

X

k)

Ck

(0.02)k

(0.98)200k

,k

0,1,

...,200200P(

X

6)

P(

X

j)j

7j0.0(

2 0.9()8)200

jj200C200j

7,當(dāng)n較大,p又較小時(shí),

二項(xiàng)分布的計(jì)算比較可以用Poisson分布近似計(jì)算.(三)泊松分布(Poisson)PX(~.).,

,,0,2.1..

,k!其中

0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松

kX}{P k

若離散隨

量X的分布為ke分布

記為練習(xí)：

~(則PX

1)(PX()(

101),),已X知PPX

8泊松(Poisson)定理：k!nk

kn

nnkP}{lim

,nnn

1

pp)C(lkimX設(shè)隨且npn

0為常數(shù),k為任一固定的非負(fù)整數(shù),則ke泊松定理的意義：當(dāng)n很大且p又較小時(shí),Cn

p

,

其中

np.k!k

knkke1

p

例2

某種產(chǎn)品的次品率為2%,

隨機(jī)

200件，則次品數(shù)多于6件的概率是多少？6k

0解

設(shè)抽出的次品數(shù)為X,

則

X

~

B(200,

0.02).

200

0.02

4,由泊松定理可得P(

X

6)

1

P(

X

k)46k

04k

1

ek!=0.11(查表)(100.2)(j0. 98)200

jj200C6j

0例3:設(shè)有同類型設(shè)備200

立工作,

每臺的故障率都是0.01,求故障設(shè)備不超過5臺的概率?解:記故障臺數(shù)為X,則X~B(200,0.01).(四)幾何分布貝努利試驗(yàn)序列中,試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為q=1-p.將試驗(yàn)進(jìn)行到成功為止.X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),則X的分布律為:P{X=k}=qk-1p,

k=1,

2,

…稱為X服從參數(shù)為p的幾何分布.(五)超幾何分布CnNN件產(chǎn)品中有M件次品，N-M件正品。隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品，X表示抽得的次品數(shù)。則X的分布律為Ck

CnkP(

X

k)

M N

M

(k

0,1,2,,

l)這個(gè)分布稱為超幾何分布(l=min(M,n)).用

進(jìn)行數(shù)值模擬：輸入代碼：r

binopdf

(k,n,p)可計(jì)算b(n,p)的分布律nP(X

k)

C

k

pk

(1

p)nk

。例如，p=bino回車顯示p=0.0038p

=

binopdf([0 :

40],40,0.3)輸出P(X

k)；k

0,1,2,,40的值x

=

0

:

4b

=

binopdf(x,40,stem(x,b)b(n,。Fp)n可,計(jì)算分布函數(shù))(

i

0命令

=ybinocdf(k,kn例如，y=binocdf(5,40,0.3)回車：y=0.0086

0.008640i

0iF

(5)

C

0.3i

0.740i即對于X

~

b(40,0.3),5§2.4

連續(xù)型隨

量的概率密度1定義

對隨

量X的分布函數(shù)F(x),

存在非負(fù)函數(shù)f(x),使對任意的實(shí)數(shù)x,有F

(x)

xf

(t

)dt量，函數(shù)f(x)為X的概則稱X為連續(xù)型隨率密度函數(shù).概率密度f

(x)的性質(zhì):f

(x)

0.f

(x)dx

1

.(2)-3

相關(guān)結(jié)論：

F

1

(22

F2xx1(1)

P

1

X

f

(x)dx,(2)

若f

(x)在點(diǎn)x處連續(xù),則有F(x)

f

(x).)3當(dāng)(

,x有很小時(shí)XP

xfx(4)對任意實(shí)數(shù)x，有P{X=x}=0.P(

2

)

P(

2

)

F(x2

)

F(x1

)試確定常數(shù)k,

并求分布函數(shù)F

x

和P

X

1}.0.,0x

,0x

,0例

.設(shè)1

隨)x(f

e3x

,k

kx/k3解f(得x)dkx

3.解:由1

0e

3x

d-

時(shí),F

(x)當(dāng)x

0xf

(

x)dx

1

e3

xx

3

x3e

dx0例2

連續(xù)型隨

量X的分布函數(shù)為F

(

x)

A

Be0,

x

0求:

(1)

A,B

(2)概率密度f(x)

(3)X(1,2)的概率.2

,

x

0

x

2

x2x解:(1)

1

F

()

lim(

A

Be

2

)

A，因此A

1.

又因limF(

x)

0

lim

F(

x)

A

B,x0

x0所以有B=-A=-14.幾個(gè)常用的連續(xù)型分布(一)均勻分布:設(shè)隨,0,f

(x)

b

a,

a

x

b,其它.1則稱X在[a,b]上服從均勻分布,記X~U[a,b].(二)指數(shù)分布:定義:如果隨量X的概率密度為:0, x

0f

(

x)

e

x

,

x

0則稱X服從參數(shù)為(>0)的指數(shù)分布,記X~e().指數(shù)分布的無

性:定理若X~e(),則對任意的正數(shù)s,t有P(X>s+t|X>s)=P(X>t)P(

X

s)證：P(

X

s

t

|

X

s)

P(

X

s

t

)e

(

s

t

)es

et

P(

X

t)(三)

正態(tài)分布:記作X

N

,(~2

).為常數(shù),)則0(,稱X服從正態(tài)分布,2

1f(x)

其中

)設(shè)1(隨2

2e

,x,

()2x性質(zhì):

10關(guān)于x

對稱,即對h

0有f(

h)

f(

h).2

120

最大值f(

)30

f

(x)以x軸為漸近線.40

參數(shù),

.(1)為位置參數(shù)(2)為尺度參數(shù)dt.12

2

(t

)2xe2

F

(x)

正態(tài)分布函數(shù)為如何計(jì)算?轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算。(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,

記X

~

N

(0,1).2π1(x)

2

,21當(dāng)

0,

1時(shí),

(x)

x

e

2

dt,

x2e

t

2定理

若X

~

N(,

2

),則Y

X

~

N

(0,1).(Y

X

稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換)(3)

轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(

x

)F

(

x)

P(

X

x)

P(

X

x

)

例1

設(shè)X

~

N(1,4),則P{0

X

1.6}

2

2

1.6

1

0

1

(0.3)

(0.5)引理

對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(x)

1

(x).例1

設(shè)X

~

N(1,4),則P{0

X

1.6}

2

2

1.6

1

0

1

(0.3)

(0.5)

0.6179

[1

(0.5)]

0.6179

1

0.6915

0.3094.練習(xí)設(shè)X~N(1,9),求P(|X|<2)例2

公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高XN(170,62)(厘米），問車門高度應(yīng)為多少？解：設(shè)車門高度為h,按題意有P(X>h)<0.016即

(

h

170

0.99,

查表可得)6h

170

2.33

h

184(厘米)6P(

X

h)

1

F

(h)

1

(

h

170

0.01)(4)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn):設(shè)X

~

N(0,1),P{X

u

}

,

0

1,則稱點(diǎn)u

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn).(四)伽瑪分布:1.定義:如果隨量X的概率密度為:0x

e

dx,(

)

pf

(

x)

(

p)

1

xx

p1ex

,

x

0,0, x

0.其中,

0,p

0為參數(shù),伽瑪函數(shù)為則稱X服從伽瑪分布,

簡記X

~

(

p,

).(1,)是參數(shù)為的指數(shù)分布e()(p+1)=

p(p),

(n)=(n-1)!§2.5

隨

量的函數(shù)的分布已知的隨

量X的分布,求Y=g(X)的分布一、X為離散型變量例1.設(shè)X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012pk0.20.30.10.4X-1012pk0.20.30.10.4Y4101P(X=xi)

p1X

x1

x2

…

xk

…p2

…

pk

...離散隨

量函數(shù)的分布律的求法:設(shè)X的分布律為記yi=g(xi)(i=1,2,…),yi的值也是互不相同的,則Y的分布律為:P{Y=yi)=

P(X=xi)

=pi若yk=g(xk1)=g(xk2)=…=g(xkm),則P(Y=yk)=P(X=xk1)+…+P(X=xkm)二、X為連續(xù)型---分布函數(shù)法例2

設(shè)隨

量XN(,2),求Y=aX+b(a>0)的概率密度。解：FY

(y)

P(Y

y)

P(aX

b

y)f

X

(x)dxay

b于是Y Y2

2a

2[

y(a

b)]22

a1e)

P(

X

ay

b(

y

b

)aaXf

(

y)

F

(

y)

1

f例3.設(shè)X

~

U(0,1),求Y解：對于y

0FY

(

y)

P(Y

y)

P(2

ln

X

y)Y

Y

y

y2

.

P(

X

e

2

)

1

ef

(

y)

F

(

y)

0,

y

0

2

1e

2

,

y

0

y練習(xí)

若X

~

U[

/

2,

/

2],Y

tgX

,

求Y的概率密度函數(shù)fY

(

y).解：分布函數(shù)法：FY

(

y)

P(Y

y)

P(tgX

y)

P(

X

arctgy)

arctgy

/

2于是求導(dǎo)可得

y

Y

Yf

(

y)

F

(

y)

1

1

y21例4

設(shè)X

~

U

(0,

),求Y

sin

X的概率密度fY

(y).解

:

對于0

y

1FY

(

y)

P(sin

X

y)

P(0

X

arcsin

y)

P(

arcsin

y

X

)Y

Y

2

arcsin

y0,其它于是

f

(

y)

F

(

y)

2

1,0

y

11

y

2練習(xí)：設(shè)X

~

N(0,1),求Y

X2的概率密度.解：當(dāng)y

0時(shí),

FY

(

y)

P{Y

y)

P{X2

y}

P{- y

X

yy}

y

(

x)dxY

Yy

0.y

)

(則f (y)

F

(y)

[(0,12

yy

)]

, y

0,0,

y

0

e

2

,

y

0

y2y1數(shù)值模擬：0.89131.

生成[0,1]區(qū)間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)代碼：u=rand(1,n)例如輸入u

=

rand(1,5)輸出u

=

0.9501

0.2311

0.6068

0.48602.指數(shù)分布輸入代碼：X

=

[0.1:

0.1:

20];Y

=

exppdf(X,2);

P

=

expcdf(X,2);

plot(X,Y,

X,

P)可輸出e(0.5)的密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖像。3.

正態(tài)分布密度曲線輸入：

x1

=

[-3.5:

0.1:

3.5];x2

=

[-1.5:

0.1:

5.5];y1

=

normpdf(x1,0,1);

y3

=

normpdf(x2,2,1);plot(x1,y1,'o',

x2,y3,'+')ylabel('f(x)');legend('N(0,1)','

N(2,1)')練習(xí)：

1.

一個(gè)盒子中放有N個(gè)

1~N的

N個(gè),

從中又放回地抽取n個(gè)，求取出的最大號碼X的分布率。已知一年中某種人群率為0.0005,該人群有10000人參加人壽保險(xiǎn),每人保費(fèi)5元.若未來一年中

,則得到賠償5000.求:(1)未來一年中保險(xiǎn)公司至少獲利10000元的概率。(2)虧本的概率。