小行星軌道問題解

小行星軌道問題學(xué)號(hào)：專業(yè)：班級(jí)：姓名：摘要：要確定一顆小行星繞太陽運(yùn)行的軌道，需要在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，然后在不同時(shí)刻對(duì)小行星進(jìn)行觀測(cè)，以確定其軌道。由于觀測(cè)所得到的數(shù)據(jù)較多，但毫無疑問是存在誤差的。因此，應(yīng)該盡量使用到這些數(shù)據(jù)來求最優(yōu)解。關(guān)鍵字：橢圓，最優(yōu)解，最小二乘法^MatlabLingo問題描述：要確定一顆小行星繞太陽運(yùn)行的軌道，需要在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，然后在不同時(shí)刻對(duì)小行星進(jìn)行觀測(cè)，以確定其軌道。已知在5個(gè)不同時(shí)刻對(duì)某顆小行星進(jìn)行了5次觀測(cè)，表B給出了相應(yīng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)。表1：某小行星的5次觀測(cè)數(shù)據(jù)（單位：天文單位）12345X坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.480Y坐標(biāo)0.6481.2021.8322.5263.360注：一個(gè)天文單位等于地球到太陽的平均距離，即L4959787x1011米。你所要作的工作是：確定這顆小行星的軌道，如橢圓的半長軸、半短軸、半焦距、近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)，以及橢圓軌道的周長等。題解：由開普勒第一定律：太陽系中的所有行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上?？芍捍诵⌒行堑能壍罏闄E圓，太陽是這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。下面以此為前提來求解小行星的軌道方程。由于題目提供了5組觀測(cè)數(shù)據(jù)，這里有兩種可行的方法：1、僅考慮橢圓上的這5個(gè)點(diǎn)，不考慮太陽的位置（不一定是焦點(diǎn)），設(shè)橢圓軌道方程為一般方程ax2+2ax^y+ay2+2ax+2ay+1=012345然后代入5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，使用matlab算出結(jié)果。2、在考慮太陽的位置（必須是焦點(diǎn)）基礎(chǔ)上，對(duì)另外五個(gè)點(diǎn)用最小二乘法的方法進(jìn)行曲線擬合，求出最優(yōu)解，從而得出方程，即認(rèn)為這五個(gè)點(diǎn)都有一定的誤差，擬合后得出最優(yōu)解。

詳細(xì)步驟：1、第一種方法需要確定系數(shù)a，頃，2,3,4,5；利用已知的數(shù)據(jù)，不妨設(shè)qP頃，2,3,4,5;欲確定系數(shù)七?等價(jià)于求解一個(gè)線性方程組:TOC\o"1-5"\h\zax2+2axy+ay2+2ax+2ay+1=011211314151ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+1=012222324252*ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+1=013233334353ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+1=014244344454ax2+2axy+ay2+2ax+2ay+1=0"1525535455533.22377.47010.419911.52801.296039.513815.11151.444833.22377.47010.419911.52801.296039.513815.11151.444812.57202.404045.684124.64333.323313.51803.646051.380236.21276.380714.33605.052054.878549.781811.289614.81606.7200即:「a]「—「1a-1a=-13a.—1a4-1L5」1——1x212xy11y212x12y1「a]1「-「x222x2y2y222x22y2a2TA=x232x3y3y232x32y3X=a3b=Tx22x4y4y242x42y4a4T其中，x2L52x5y5y252x52y5」，aL5」，_-1_可見，解答上述問題就是對(duì)線性方程進(jìn)行求解。模型求解：1.1利用matlab求解矩陣代碼如下：A=[33.2237,7.4701,0.4199,11.5280,1.2960;39.5138,15.1115,1.4448,12.5720,2.4040;45.6841,24.6433,3.3233,13.5180,3.6460;51.3802,36.2127,6.3807,14.3360,5.0520;54.8785,49.7818,11.2896,14.8160,6.7200]B=[-1;-1;-1;-1;-1]inv(A)*B結(jié)果：A=33.22377.47010.419911.52801.296039.513815.11151.444812.57202.404045.684124.64333.323313.51803.646051.380236.21276.380714.33605.052054.878549.781811.289614.81606.7200B=-1-1-1-1-1ans=0.0507-0.03510.0381-0.22650.1321所以，軌道方程是：0.050力-2*0.035必+0.038^2-2*0.2265+2*0.132^+1=01.2畫出軌跡圖：代碼如下：>>x=-3.5:0.01:15.7;>>y=(-24.92+5.66*x+sqrt((5.66*x-24.92).A2-4*2.58*(4.23*x<2-41.02*x+1)))/5.16;>>y1=(-24.92+5.66*x-sqrt((5.66*x-24.92).A2-4*2.58*(4.23*x.A2-41.02*x+1)))/5.16;>>plot(x,y,x,y1),gridon結(jié)果：顯然，太陽（坐標(biāo)（0,0））不在橢圓的焦點(diǎn)，而在小行星的軌道附近，這是不符合實(shí)際的。因此，使用這種方法得到的結(jié)果，誤差較大，舍棄。

2.第二種方法根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為定值，設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(m,n),半長軸為a。使用最小二乘法求最優(yōu)解。列出式子如下：i22:~222+\Xi+Yi-2a]Minz[?(Xi-m)+(Yi+\Xi+Yi-2a]model:sets:VOR/1..5/:x,y;Endsetsdata:x,y=5.7640.6486.2861.2026.7591.8327.1682.5267.483.36;enddatamin=@sum(VOR:@sqr(@sqrt(xA2+yA2end結(jié)果為：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:Objectivebound:Infeasibilities:Extendedsolversteps:Totalsolveriterations:VariableCostM0.000000N-0.1280014E-08A0.2761780E-08X(1))+@sqrt((x-m)A2+(y-n)A2)-2*a));0.3372721E-040.0000000.0000001493708552)+@sqrt((x-m)A2+(y-n)A2)-2*a));0.3372721E-040.0000000.0000001493708552ValueReduced6.3880464.8504135.0241995.764000X(2)X(3)6.7590000.0000000.000000X(4)7.1680000.0000000.000000X(5)7.4800000.0000000.000000Y(1)0.64800000.0000000.000000Y(2)1.2020000.0000000.000000Y(3)1.8320000.0000000.000000Y(4)2.5260000.0000000.000000Y(5)3.3600000.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.3372721E-04-1.000000-1.000000即M=6.388046N=4.850413A=5.024199另一焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(6.388046,4.850413)，*左rh#-rCnoai半長軸為5.024199.所以，小行星的軌跡方程為:22(X-6.388)+(Y-4.850)+:X+Y=10.048軌跡圖:

經(jīng)過簡單的計(jì)算可得到以下結(jié)果：半長軸a為：5.024119個(gè)天文單位；半短軸b為：2.972619個(gè)天文單位；半焦距c為：