【知識點解析】《復數(shù)的模》課堂探究

復數(shù)的模指點迷津

復數(shù)的模就是復數(shù)對應的點到原點的距離，也是復數(shù)對應的向量的模．復數(shù)的模是把復數(shù)問題實數(shù)化的一個重要工具，通過求復數(shù)模的公式可以建立復數(shù)對應點的坐標所滿足的關系式．1例題1已知復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝．求復數(shù)z1，z2的模，并比較它們的大小．分析：由題目可獲取以下主要信息：①z1、z2均已知；②求|z1|、|z2|，并比較模的大小．解答本題可先確定復數(shù)的實部、虛部，再代入復數(shù)模的公式計算并比較即可．1例題1已知復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝．求復數(shù)z1，z2的模，并比較它們的大?。治觯河深}目可獲取以下主要信息：①z1、z2均已知；②求|z1|、|z2|，并比較模的大小．解答本題可先確定復數(shù)的實部、虛部，再代入復數(shù)模的公式計算并比較即可．解：|z1|＝＝5，|z2|＝，∵5＞，∴|z1|＞|z2|．小結復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的模即向量OZ的模，又OZ＝（a，b），所以|z|＝|OZ|＝a2＋b2．復數(shù)一般不能比較大小，但復數(shù)的?？梢员容^大?。环慈?．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列選項中正確的是（）．A．z1＞z2

B．z1＜z2C．|z1|＞|z2|

D．|z1|＜|z2|答案：D解析：∵，34＜41，∴選D．知一反三2．若復數(shù)z＝（m－2）＋（m＋1）i為純虛數(shù)i（為虛數(shù)單位），其中m∈R，則|z|＝__________．答案：3解析：∵復數(shù)z＝（m－2）＋（m＋1）i為純虛數(shù)，∴∴m＝2，∴z＝3i，∴|z|＝02＋32＝3．1例題2已知復數(shù)z＝3＋ai，且|z|＜4，求實數(shù)a的取值范圍．分析：由題目可獲取以下主要信息：①已知復數(shù)z的實部及其模的范圍；②求復數(shù)z虛部的取值范圍．解答本題可利用模的定義轉化為實數(shù)不等式求解或利用數(shù)形結合思想求解．1例題2已知復數(shù)z＝3＋ai，且|z|＜4，求實數(shù)a的取值范圍．分析：由題目可獲取以下主要信息：①已知復數(shù)z的實部及其模的范圍；②求復數(shù)z虛部的取值范圍．解答本題可利用模的定義轉化為實數(shù)不等式求解或利用數(shù)形結合思想求解．解：（方法一）∵z＝3＋ai（a∈R），|z|＝，由已知得＜4，∴a2＜7，∴a∈（－，）．（方法二）利用復數(shù)的幾何意義，由|z|＜4知，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓的內(nèi)部（不包括邊界），又由z＝3＋ai（a∈R）知復數(shù)z對應的點也在直線x＝3上，所以線段AB（除去端點）為動點Z的集合（如圖），由圖可知－＜a＜．小結1．本例中的方法一，利用模的定義，得到關于a的不等式，與利用復數(shù)相等的充要條件一樣，都貫徹了復數(shù)問題實數(shù)化的思想，這是本章的一種重要思想方法．2．從幾何意義上理解，復數(shù)的模表示點Z到原點的距離，類比向量的模，可進一步引申：|z－z1|表示點Z到點Z1之間的距離．如|Z－i|＝1表示點Z到（0，1）的距離為1，所以點Z的軌跡是以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓．知一反三1．復數(shù)1＋cosα＋isinα（π＜α＜2π）的模為（）．A．2cos

B．－2cos

C．2sin

D．－2sin答案：B解析：|1＋cosα＋isinα|＝

，又π＜α＜2π，∴

＜

＜π，∴cos

＜0，|1＋cosα＋isinα|＝－2cos

．故選B．知一反三2．已知復數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復數(shù)z對應點的軌跡為（）．A．一個圓B．線段C．兩點D．