圖像變換課件

信號處理方法：時域分析法頻域分析法特點(diǎn)：算術(shù)運(yùn)算次數(shù)大大減少，可采用二維數(shù)字濾波技術(shù)進(jìn)行所需的各種圖像處理第3章圖像變換第1頁/共81頁信號處理方法：時域分析法頻域分析法特點(diǎn)：算術(shù)運(yùn)算次數(shù)大大減少1第3章圖像變換頻率通常是指某個一維物理量隨時間變化快慢程度的度量。例如交流電頻率為50～60Hz（交流電壓）中波某電臺1026kHz（無線電波）第2頁/共81頁第3章圖像變換頻率通常是指某個一維物理量隨時間變化快慢程度2第3章圖像變換圖像是二維信號，其坐標(biāo)軸是二維空間坐標(biāo)軸，圖像本身所在的域稱為空間域（SpaceDomain）。圖像灰度值隨空間坐標(biāo)變化的快慢也用頻率來度量，稱為空間頻率（SpatialFrequency）。第3頁/共81頁第3章圖像變換圖像是二維信號，其坐標(biāo)軸是二維空間坐標(biāo)軸，第3第3章圖像變換每一種變換都有自己的正交函數(shù)集，引入不同的變換傅里葉變換余弦變換正弦變換圖像變換哈達(dá)瑪變換沃爾什變換K-L變換小波變換第4頁/共81頁第3章圖像變換每一種變換都有自己的正交函數(shù)集，引入不同的變43.1傅里葉變換3.1.1一維傅里葉變換3.1.2二維離散傅里葉變換3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3.1.4快速傅里葉變換3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用第5頁/共81頁3.1傅里葉變換3.1.1一維傅里葉變換第5頁/共853.1傅里葉變換傅里葉變換利用傅里葉變換的特性，將時間信號正變換到頻率域后進(jìn)行處理（例如低通、高通或帶通），然后再反變換成時間信號，即可完成對信號的濾波。低通濾波：在頻率域中抑制高頻信號高通濾波：在頻率域中抑制低頻信號第6頁/共81頁3.1傅里葉變換傅里葉變換第6頁/共81頁63.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換傅里葉變換是一種數(shù)學(xué)變換（正交變換），可以把一維信號（或函數(shù)）分解成不同幅度的具有不同頻率的正弦和余弦信號（或函數(shù)）。輸入信號=>傅里葉（正）變換=>頻率域信號函數(shù) 函數(shù)頻率域信號=>傅里葉反變換=>輸出信號函數(shù) 函數(shù)第7頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第7頁/共73.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第8頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第8頁/共83.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第9頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第9頁/共93.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第10頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第10頁/10AX03.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第11頁/共81頁AX03.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第1113.1.1一維傅里葉變換一維離散傅里葉變換第12頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維離散傅里葉變換第12頁/共8123.1.2二維離散傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換第13頁/共81頁3.1.2二維離散傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)133.1.2二維離散傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)

的傅里葉變換第14頁/共81頁3.1.2二維離散傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)14變換在一個周期內(nèi)進(jìn)行。M，N表示圖像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的陣列。離散信號頻譜、相譜、幅譜分別表示為：3.1.2二維離散傅里葉變換第15頁/共81頁變換在一個周期內(nèi)進(jìn)行。M，N表示圖像f(x,y)在x，y方向151.可分離性

3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)基本性質(zhì)：第16頁/共81頁1.可分離性3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)基本性質(zhì)163.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)第17頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)第17頁/共81頁17圖像中心化

3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)2．平移性：時第18頁/共81頁圖像中心化3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)2．平移性18第19頁/共81頁第19頁/共81頁193.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3．周期性第20頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3．周期性第20頁/共820N/2-N/2

一個周期3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4．共軛對稱性則第21頁/共81頁N/2-N/2一個周期3.1.3二維離散傅里葉變21若3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5．旋轉(zhuǎn)不變性則第22頁/共81頁若3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5．旋轉(zhuǎn)不變性則第22223.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5．旋轉(zhuǎn)不變性第23頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5．旋轉(zhuǎn)不變性第23頁/233.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)6．分配性和比例性第24頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)6．分配性和比例性第2243.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)7．平均值第25頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)7．平均值第25頁/共8253.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理兩個函數(shù)的卷積定義為第26頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理兩個函數(shù)26為防止卷積后發(fā)生交疊誤差，需對離散的二維函數(shù)的定義域加以擴(kuò)展3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理

第27頁/共81頁為防止卷積后發(fā)生交疊誤差，需對離散的二維函數(shù)的定義域加以擴(kuò)展273.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理當(dāng)卷積周期才避免交疊誤差第28頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理當(dāng)卷積周283.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理第29頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理第29頁293.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)9．離散相關(guān)定理第30頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)9．離散相關(guān)定理第30頁309．離散相關(guān)定理3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)第31頁/共81頁9．離散相關(guān)定理3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)第31頁313.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的問題

1）復(fù)數(shù)計算而非實(shí)數(shù)，費(fèi)時。如采用其它合適的完備正交函數(shù)來代替傅里葉變換所用的正、余弦函數(shù)構(gòu)成完備的正交函數(shù)系，可避免這種復(fù)數(shù)運(yùn)算。

2）收斂慢，在圖像編碼應(yīng)用中尤為突出。第32頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的問題第32323.1.5

傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用傅里葉變換在圖像處理中是一個最基本的數(shù)學(xué)工具。利用這個工具，可以對圖像的頻譜進(jìn)行各種各樣的處理，如濾波、降噪、增強(qiáng)等

a)有柵格影響的原始圖像b)傅里葉變換頻譜圖像第33頁/共81頁3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用傅里葉變換在圖像處333.1.5

傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用用傅里葉變換去除正弦波噪聲示例第34頁/共81頁3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用用傅里葉變換去除正343.1.5

傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用a)lena圖b)lena圖的頻譜第35頁/共81頁3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用a)lena353.1.5

傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用c)增強(qiáng)縱軸上某一譜段的強(qiáng)度d)傅里葉反變換的結(jié)果第36頁/共81頁3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用c)增強(qiáng)縱軸36一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>I=imread('text.tif');>>imshow(I)第37頁/共81頁一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>I=imread('text37一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>a=I(59:71,81:91);>>figure,>>imshow(a,'notruesize')第38頁/共81頁一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>a=I(59:71,81:938一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>C=real(ifft2(fft2(I).*fft2(rot90(a,2),256,256)));>>figure,imshow(C,[]);第39頁/共81頁一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>C=real(ifft2(ff39一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>max(C(:))ans=51.0000>>figure,>>imshow(C>=45);第40頁/共81頁一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>max(C(:))第40頁/共403.2離散余弦變換3.2.1離散余弦變換原理3.2.2離散余弦變換在圖像處理中的應(yīng)用第41頁/共81頁3.2離散余弦變換3.2.1離散余弦變換原理第41頁413.2.1離散余弦變換原理第42頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理第42頁/共81頁423.2.1離散余弦變換原理離散余弦反變換第43頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理離散余弦反變換第43頁/共81頁433.2.1離散余弦變換原理二維離散余弦變換的變換核二維離散余弦變換第44頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理二維離散余弦變換的變換核二維離散443.2.1離散余弦變換原理二維離散余弦反變換可以看出，二維離散余弦變換可以分離成兩個一維離散余弦變換第45頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理二維離散余弦反變換可以看出，二維453.2.1離散余弦變換原理性質(zhì)：1．余弦變換是實(shí)數(shù)、正交。2．離散余弦變換可由傅里葉變換的實(shí)部求得3．對高度相關(guān)數(shù)據(jù)，DCT有非常好的能量緊湊性4．對于具有一階馬爾可夫過程的隨機(jī)信號，DCT是K-L變換的最好近似第46頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理性質(zhì)：第46頁/共81頁463.2.2

離散余弦變換在圖像處理中的應(yīng)用在圖像的變換編碼中有著非常成功的應(yīng)用離散余弦變換是傅里葉變換的實(shí)數(shù)部分，比傅里葉變換有更強(qiáng)的信息集中能力。對于大多數(shù)自然圖像，離散余弦變換能將大多數(shù)的信息放到較少的系數(shù)上去，提高編碼的效率

第47頁/共81頁3.2.2離散余弦變換在圖像處理中的應(yīng)用在圖像的變換編碼中473.3小波變換及其應(yīng)用3.3.1多分辨率分析的背景知識3.3.2多分辨率展開3.3.3一維小波變換3.3.4快速小波變換算法3.3.5二維離散小波變換3.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用第48頁/共81頁3.3小波變換及其應(yīng)用3.3.1多分辨率分析的背景知識第483.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔

金字塔算法

一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀排列的分辨率逐步降低的圖像集合一個金字塔圖像結(jié)構(gòu)

金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率近似。當(dāng)向金字塔的上層移動時，尺寸和分辨率就降低。第49頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔一個金字塔圖像493.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔編碼

首先對圖像用高斯脈沖響應(yīng)作低通濾波，濾波后的結(jié)果從原圖像中減去，圖像中的高頻細(xì)節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對低通濾波后的圖像進(jìn)行間隔采樣，細(xì)節(jié)并不會因此而丟失

第50頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔第50頁/共81503.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔編碼

拉普拉斯金字塔編碼策略

第51頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔拉普拉斯金字塔編513.3.1多分辨率分析的背景知識子帶編碼和解碼

雙通道子帶編碼和重建

第52頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識子帶編碼和解碼雙通道子523.3.1多分辨率分析的背景知識子帶編碼和解碼子帶圖像編碼的二維4頻段濾波器組

第53頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識子帶編碼和解碼子帶圖像編碼533.3.1多分辨率分析的背景知識

哈爾變換

哈爾基函數(shù)是眾所周知的最古老也是最簡單的正交小波。哈爾變換本身是可分離的，也是對稱的，可以用下述矩陣形式表達(dá)：

T=HFHT其中，F(xiàn)是一個N×N圖像矩陣，H是N×N變換矩陣，T是N×N變換的結(jié)果

第54頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識哈爾變換其中，F(xiàn)是一個54N=4:n=2,k0123p0011q0112N=8:n=3,k01234567p00112222q01121234

第55頁/共81頁N=4:n=2,N=8:n=3,第55頁/共81頁55第56頁/共81頁第56頁/共81頁564×4的Haar變換矩陣為：第57頁/共81頁4×4的Haar變換矩陣為：第57頁/共81頁578×8的Haar變換矩陣為：第58頁/共81頁8×8的Haar變換矩陣為：第58頁/共81頁58第59頁/共81頁第59頁/共81頁593.3.1多分辨率分析的背景知識哈爾變換哈爾基函數(shù)對圖像的多分辨率分解

第60頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識哈爾變換哈爾基函數(shù)對圖像的603.3.2多分辨率展開

函數(shù)的伸縮和平移

給定一個基本函數(shù),則的伸縮和平移公式可記為：第61頁/共81頁3.3.2多分辨率展開函數(shù)的伸縮和平移第61頁/共81頁613.3.2多分辨率展開函數(shù)的伸縮和平移函數(shù)的伸縮和平移

第62頁/共81頁3.3.2多分辨率展開函數(shù)的伸縮和平移函數(shù)的伸縮和平移第623.3.2多分辨率展開

序列展開

信號或函數(shù)常?？梢员缓芎玫胤纸鉃橐幌盗姓归_函數(shù)的線性組合。其中，k是有限或無限和的整數(shù)下標(biāo)，ak是具有實(shí)數(shù)值的展開系數(shù)，是具有實(shí)數(shù)值的展開函數(shù)

第63頁/共81頁3.3.2多分辨率展開序列展開其中，k是有限或無限和的633.3.2多分辨率展開尺度函數(shù)第64頁/共81頁3.3.2多分辨率展開尺度函數(shù)第64頁/共81頁643.3.2多分辨率展開

小波函數(shù)

給定尺度函數(shù)，則小波函數(shù)所在的空間跨越了相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異。令相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異子空間為Wj，則下圖表明了Wj與Vj和Vj+1間的關(guān)系。尺度及小波函數(shù)空間的關(guān)系

第65頁/共81頁3.3.2多分辨率展開小波函數(shù)尺度及小波函數(shù)空間的653.3.3一維小波變換

一維離散小波變換（DWT）第66頁/共81頁3.3.3一維小波變換一維離散小波變換（DWT）第66663.3.3一維小波變換一維離散小波變換（DWT）Morlet

小波第67頁/共81頁3.3.3一維小波變換一維離散小波變換（DWT）Morl673.3.3一維小波變換

一維離散小波變換（DWT）Mexihat小波

第68頁/共81頁3.3.3一維小波變換一維離散小波變換（DWT）Mex683.3.4快速小波變換算法離散小波變換算法

第69頁/共81頁3.3.4快速小波變換算法離散小波變換算法第69頁/共693.3.4快速小波變換算法離散小波逆變換

第70頁/共81頁3.3.4快速小波變換算法離散小波逆變換第70頁/共8703.3.5二維離散小波變換對于M×N的離散函數(shù)f(x,y)的離散小波變換對為：第71頁/共81頁3.3.5二維離散小波變換對于M×N的離散函數(shù)f(x,y713.3.5二維離散小波變換二維離散小波變換的一次分解

第72頁/共81頁3.3.5二維離散小波變換二維離散小波變換的一次分解第723.3.5二維離散小波變換圖像的二維離散小波變換第73頁/共81頁3.3.5二維離散小波變換圖像的二維離散小波變換第73頁733.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用小波變換

傅里葉變換用在頻譜分析和濾波方法的分析上。但傅里葉反映的是信號或函數(shù)的整體特征，而實(shí)際問題關(guān)心的是信號的局部范圍中的特征。如，在音樂和語言信號中人們關(guān)心的是什么時刻奏什么音符，發(fā)出什么樣的音節(jié)；對地震記錄，關(guān)心什么位置出現(xiàn)反射波；在邊緣檢測中，關(guān)心的是信號突變部分的位置。引進(jìn)的窗口傅里葉，用一個窗口去乘所研究的函數(shù)，然后進(jìn)行傅里葉變換。但引入的這種變換窗口的尺寸和形狀與頻率無關(guān)而且是固定不變的。這與高頻信號的分辨率應(yīng)比低頻信號高，因而與頻率升高應(yīng)當(dāng)窗口減小這一要求不符，為此未能得到廣泛的應(yīng)用與發(fā)展第74頁/共81頁3.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用小波變換第74頁/共743.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用小波

1)從分辨率看，小波很好地解決了時間與頻率分辨率的矛盾，它巧妙的利用了非均勻分布的分辨率，在低頻段用高的頻率分辨率和低的時間分辨率，而在高頻段則采用低的頻率分辨率和高的時間分辨率。即子波分析的窗寬是可變的，在高頻時用短窗口，而在低頻時，則使用寬窗口。

2)小波并不一定要求是正交的，其時寬頻寬乘積很小，因而展開系數(shù)的能量較為集中。

子波變換的基本思想：是用一族函數(shù)去表示或逼進(jìn)一信號或函數(shù)，這族函數(shù)稱為子波函數(shù)集，它通過一基本子波函數(shù)的不同尺度的平移和伸縮組成，它的特點(diǎn)是時寬頻寬乘積很小，且在時間和頻率軸上都很集中。第75頁/共81頁3.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用小波第75頁/共81753.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用小波的特點(diǎn)：a）能量集中b）易于控制各子帶噪聲c）與人類視覺系統(tǒng)相吻合的對數(shù)特征。d）突變信號檢測中：由于分辨率隨頻率的不同而變化的特點(diǎn)，能準(zhǔn)確定位信號的上升沿和下降沿。第76頁/共81頁3.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用小波的特點(diǎn)：第76頁763.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用應(yīng)用：1）圖像壓縮：小波把信號分解成具有不同時間和分辨率的信號2）正交小波變換在圖像拼接和鑲嵌中的應(yīng)用

把兩個圖像按不同尺度下的小波分量先拼接下來，然后再用程序重構(gòu)整個圖像，這樣得到的圖像可以很好地兼顧清晰度和光滑度兩個方面的要求。第77頁/共81頁3.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用應(yīng)用：第77頁/共877作業(yè)3-1離散傅里葉變換的性質(zhì)及在圖像處理中的應(yīng)用？3-2小波變換有哪些特點(diǎn)？3-3求下列圖像的二維離散傅里葉變換

(a)長方形圖像第78頁/共81頁作業(yè)3-1離散傅里葉變換的性質(zhì)及在圖像處理中的應(yīng)用？第7878作業(yè)(b)旋轉(zhuǎn)45°后的長方形圖像

yb

0

-bF

Eax-ay

45°x第79頁/共81頁作業(yè)(b)旋轉(zhuǎn)45°后的長方形圖像F-a

第79頁/共8179作業(yè)3-4請實(shí)際編程做出以下圖像的二維離散余弦變換8×864×644×864×64第80頁/共81頁作業(yè)3-4請實(shí)際編程做出以下圖像的二維離散余弦變換8×8680感謝您的欣賞！第81頁/共81頁感謝您的欣賞！第81頁/共81頁81信號處理方法：時域分析法頻域分析法特點(diǎn)：算術(shù)運(yùn)算次數(shù)大大減少，可采用二維數(shù)字濾波技術(shù)進(jìn)行所需的各種圖像處理第3章圖像變換第1頁/共81頁信號處理方法：時域分析法頻域分析法特點(diǎn)：算術(shù)運(yùn)算次數(shù)大大減少82第3章圖像變換頻率通常是指某個一維物理量隨時間變化快慢程度的度量。例如交流電頻率為50～60Hz（交流電壓）中波某電臺1026kHz（無線電波）第2頁/共81頁第3章圖像變換頻率通常是指某個一維物理量隨時間變化快慢程度83第3章圖像變換圖像是二維信號，其坐標(biāo)軸是二維空間坐標(biāo)軸，圖像本身所在的域稱為空間域（SpaceDomain）。圖像灰度值隨空間坐標(biāo)變化的快慢也用頻率來度量，稱為空間頻率（SpatialFrequency）。第3頁/共81頁第3章圖像變換圖像是二維信號，其坐標(biāo)軸是二維空間坐標(biāo)軸，第84第3章圖像變換每一種變換都有自己的正交函數(shù)集，引入不同的變換傅里葉變換余弦變換正弦變換圖像變換哈達(dá)瑪變換沃爾什變換K-L變換小波變換第4頁/共81頁第3章圖像變換每一種變換都有自己的正交函數(shù)集，引入不同的變853.1傅里葉變換3.1.1一維傅里葉變換3.1.2二維離散傅里葉變換3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3.1.4快速傅里葉變換3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用第5頁/共81頁3.1傅里葉變換3.1.1一維傅里葉變換第5頁/共8863.1傅里葉變換傅里葉變換利用傅里葉變換的特性，將時間信號正變換到頻率域后進(jìn)行處理（例如低通、高通或帶通），然后再反變換成時間信號，即可完成對信號的濾波。低通濾波：在頻率域中抑制高頻信號高通濾波：在頻率域中抑制低頻信號第6頁/共81頁3.1傅里葉變換傅里葉變換第6頁/共81頁873.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換傅里葉變換是一種數(shù)學(xué)變換（正交變換），可以把一維信號（或函數(shù)）分解成不同幅度的具有不同頻率的正弦和余弦信號（或函數(shù)）。輸入信號=>傅里葉（正）變換=>頻率域信號函數(shù) 函數(shù)頻率域信號=>傅里葉反變換=>輸出信號函數(shù) 函數(shù)第7頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第7頁/共883.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第8頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第8頁/共893.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第9頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第9頁/共903.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第10頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第10頁/91AX03.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第11頁/共81頁AX03.1.1一維傅里葉變換一維（連續(xù)）傅里葉變換第1923.1.1一維傅里葉變換一維離散傅里葉變換第12頁/共81頁3.1.1一維傅里葉變換一維離散傅里葉變換第12頁/共8933.1.2二維離散傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換第13頁/共81頁3.1.2二維離散傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)943.1.2二維離散傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)

的傅里葉變換第14頁/共81頁3.1.2二維離散傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)95變換在一個周期內(nèi)進(jìn)行。M，N表示圖像f(x,y)在x，y方向上具有大小不同的陣列。離散信號頻譜、相譜、幅譜分別表示為：3.1.2二維離散傅里葉變換第15頁/共81頁變換在一個周期內(nèi)進(jìn)行。M，N表示圖像f(x,y)在x，y方向961.可分離性

3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)基本性質(zhì)：第16頁/共81頁1.可分離性3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)基本性質(zhì)973.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)第17頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)第17頁/共81頁98圖像中心化

3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)2．平移性：時第18頁/共81頁圖像中心化3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)2．平移性99第19頁/共81頁第19頁/共81頁1003.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3．周期性第20頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)3．周期性第20頁/共8101N/2-N/2

一個周期3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4．共軛對稱性則第21頁/共81頁N/2-N/2一個周期3.1.3二維離散傅里葉變102若3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5．旋轉(zhuǎn)不變性則第22頁/共81頁若3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5．旋轉(zhuǎn)不變性則第221033.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5．旋轉(zhuǎn)不變性第23頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)5．旋轉(zhuǎn)不變性第23頁/1043.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)6．分配性和比例性第24頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)6．分配性和比例性第21053.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)7．平均值第25頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)7．平均值第25頁/共81063.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理兩個函數(shù)的卷積定義為第26頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理兩個函數(shù)107為防止卷積后發(fā)生交疊誤差，需對離散的二維函數(shù)的定義域加以擴(kuò)展3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理

第27頁/共81頁為防止卷積后發(fā)生交疊誤差，需對離散的二維函數(shù)的定義域加以擴(kuò)展1083.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理當(dāng)卷積周期才避免交疊誤差第28頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理當(dāng)卷積周1093.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理第29頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)8．離散卷積定理第29頁1103.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)9．離散相關(guān)定理第30頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)9．離散相關(guān)定理第30頁1119．離散相關(guān)定理3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)第31頁/共81頁9．離散相關(guān)定理3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)第31頁1123.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的問題

1）復(fù)數(shù)計算而非實(shí)數(shù)，費(fèi)時。如采用其它合適的完備正交函數(shù)來代替傅里葉變換所用的正、余弦函數(shù)構(gòu)成完備的正交函數(shù)系，可避免這種復(fù)數(shù)運(yùn)算。

2）收斂慢，在圖像編碼應(yīng)用中尤為突出。第32頁/共81頁3.1.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的問題第321133.1.5

傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用傅里葉變換在圖像處理中是一個最基本的數(shù)學(xué)工具。利用這個工具，可以對圖像的頻譜進(jìn)行各種各樣的處理，如濾波、降噪、增強(qiáng)等

a)有柵格影響的原始圖像b)傅里葉變換頻譜圖像第33頁/共81頁3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用傅里葉變換在圖像處1143.1.5

傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用用傅里葉變換去除正弦波噪聲示例第34頁/共81頁3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用用傅里葉變換去除正1153.1.5

傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用a)lena圖b)lena圖的頻譜第35頁/共81頁3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用a)lena1163.1.5

傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用c)增強(qiáng)縱軸上某一譜段的強(qiáng)度d)傅里葉反變換的結(jié)果第36頁/共81頁3.1.5傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用c)增強(qiáng)縱軸117一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>I=imread('text.tif');>>imshow(I)第37頁/共81頁一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>I=imread('text118一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>a=I(59:71,81:91);>>figure,>>imshow(a,'notruesize')第38頁/共81頁一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>a=I(59:71,81:9119一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>C=real(ifft2(fft2(I).*fft2(rot90(a,2),256,256)));>>figure,imshow(C,[]);第39頁/共81頁一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>C=real(ifft2(ff120一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>max(C(:))ans=51.0000>>figure,>>imshow(C>=45);第40頁/共81頁一個應(yīng)用：圖象對象a的識別>>max(C(:))第40頁/共1213.2離散余弦變換3.2.1離散余弦變換原理3.2.2離散余弦變換在圖像處理中的應(yīng)用第41頁/共81頁3.2離散余弦變換3.2.1離散余弦變換原理第41頁1223.2.1離散余弦變換原理第42頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理第42頁/共81頁1233.2.1離散余弦變換原理離散余弦反變換第43頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理離散余弦反變換第43頁/共81頁1243.2.1離散余弦變換原理二維離散余弦變換的變換核二維離散余弦變換第44頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理二維離散余弦變換的變換核二維離散1253.2.1離散余弦變換原理二維離散余弦反變換可以看出，二維離散余弦變換可以分離成兩個一維離散余弦變換第45頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理二維離散余弦反變換可以看出，二維1263.2.1離散余弦變換原理性質(zhì)：1．余弦變換是實(shí)數(shù)、正交。2．離散余弦變換可由傅里葉變換的實(shí)部求得3．對高度相關(guān)數(shù)據(jù)，DCT有非常好的能量緊湊性4．對于具有一階馬爾可夫過程的隨機(jī)信號，DCT是K-L變換的最好近似第46頁/共81頁3.2.1離散余弦變換原理性質(zhì)：第46頁/共81頁1273.2.2

離散余弦變換在圖像處理中的應(yīng)用在圖像的變換編碼中有著非常成功的應(yīng)用離散余弦變換是傅里葉變換的實(shí)數(shù)部分，比傅里葉變換有更強(qiáng)的信息集中能力。對于大多數(shù)自然圖像，離散余弦變換能將大多數(shù)的信息放到較少的系數(shù)上去，提高編碼的效率

第47頁/共81頁3.2.2離散余弦變換在圖像處理中的應(yīng)用在圖像的變換編碼中1283.3小波變換及其應(yīng)用3.3.1多分辨率分析的背景知識3.3.2多分辨率展開3.3.3一維小波變換3.3.4快速小波變換算法3.3.5二維離散小波變換3.3.6小波分析在圖像處理中的應(yīng)用第48頁/共81頁3.3小波變換及其應(yīng)用3.3.1多分辨率分析的背景知識第1293.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔

金字塔算法

一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀排列的分辨率逐步降低的圖像集合一個金字塔圖像結(jié)構(gòu)

金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率近似。當(dāng)向金字塔的上層移動時，尺寸和分辨率就降低。第49頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔一個金字塔圖像1303.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔編碼

首先對圖像用高斯脈沖響應(yīng)作低通濾波，濾波后的結(jié)果從原圖像中減去，圖像中的高頻細(xì)節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對低通濾波后的圖像進(jìn)行間隔采樣，細(xì)節(jié)并不會因此而丟失

第50頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔第50頁/共811313.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔高斯和拉普拉斯金字塔編碼

拉普拉斯金字塔編碼策略

第51頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識圖像金字塔拉普拉斯金字塔編1323.3.1多分辨率分析的背景知識子帶編碼和解碼

雙通道子帶編碼和重建

第52頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識子帶編碼和解碼雙通道子1333.3.1多分辨率分析的背景知識子帶編碼和解碼子帶圖像編碼的二維4頻段濾波器組

第53頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識子帶編碼和解碼子帶圖像編碼1343.3.1多分辨率分析的背景知識

哈爾變換

哈爾基函數(shù)是眾所周知的最古老也是最簡單的正交小波。哈爾變換本身是可分離的，也是對稱的，可以用下述矩陣形式表達(dá)：

T=HFHT其中，F(xiàn)是一個N×N圖像矩陣，H是N×N變換矩陣，T是N×N變換的結(jié)果

第54頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識哈爾變換其中，F(xiàn)是一個135N=4:n=2,k0123p0011q0112N=8:n=3,k01234567p00112222q01121234

第55頁/共81頁N=4:n=2,N=8:n=3,第55頁/共81頁136第56頁/共81頁第56頁/共81頁1374×4的Haar變換矩陣為：第57頁/共81頁4×4的Haar變換矩陣為：第57頁/共81頁1388×8的Haar變換矩陣為：第58頁/共81頁8×8的Haar變換矩陣為：第58頁/共81頁139第59頁/共81頁第59頁/共81頁1403.3.1多分辨率分析的背景知識哈爾變換哈爾基函數(shù)對圖像的多分辨率分解

第60頁/共81頁3.3.1多分辨率分析的背景知識哈爾變換哈爾基函數(shù)對圖像的1413.3.2多分辨率展開

函數(shù)的伸縮和平移

給定一個基本函數(shù),則的伸縮和平移公式可記為：第61頁/共81頁3.3.2多分辨率展開函數(shù)的伸縮和平移第61頁/共81頁1423.3.2多分辨率展開函數(shù)的伸縮和平移函數(shù)的伸縮和平移

第62頁/共81頁3.3.2多分辨率展開函數(shù)的伸縮和平移函數(shù)的伸縮和平移第1433.3.2多分辨率展開

序列展開

信號或函數(shù)常?？梢员缓芎玫胤纸鉃橐幌盗姓归_函數(shù)的線性組合。其中，k是有限或無限和的整數(shù)下標(biāo)，ak是具有實(shí)數(shù)值的展開系數(shù)，是具有實(shí)數(shù)值的展開函數(shù)

第63頁/共81頁3.3.2多分辨率展開序列展開其中，k是有限或無限和的1443.3.2多分辨率展開尺度函數(shù)第64頁/共81頁3.3.2多分辨率展開尺度函數(shù)第64頁/共81頁1453.3.2多分辨率展開

小波函數(shù)

給定尺度函數(shù)，則小波函數(shù)所在的空間跨越了相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異。令相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異子空間為Wj，則下圖表明了Wj與Vj和Vj+1間的關(guān)系。尺度及小波函數(shù)空間的關(guān)系

第65頁/共81頁3.3.2多分辨率展開小波函數(shù)尺度及小波函數(shù)空間的1463.3.3一維小波變換

一維離散小波變換（DWT）第66頁/共81頁3.3.3一維小波變換一維離散小波變換（DWT）第661473.3.3一維小波變換一維離散小波變換（DWT）Morlet

小波第67頁/共81頁3.3.3一維小波變換一維離散小波變換（DWT）Morl1483.3.3一維小波變換

一維離散小波變換（DWT）Mexihat小波

第68頁/共81頁3.3.3一維小波變換一維離