置信區(qū)間詳細(xì)定義及計(jì)算

關(guān)于置信區(qū)間詳細(xì)定義及計(jì)算第1頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五2一、置信區(qū)間的概念這種形式的估計(jì)稱為區(qū)間估計(jì).前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大.范圍通常用區(qū)間的形式給出的。較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比

這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.

習(xí)慣上把置信水平記作

，這里是一個(gè)很小的正數(shù)，稱為顯著水平。第2頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五3定義7.6若由總體X的樣本X1,X2,…Xn確定的則稱為隨機(jī)區(qū)間。兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)區(qū)間與常數(shù)區(qū)間不同，其長(zhǎng)度與在數(shù)軸上的位置與樣本有關(guān)。當(dāng)一旦獲得樣本值那么，都是常數(shù)。為常數(shù)區(qū)間。第3頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五4定義7.7若滿足設(shè)是總體X的一個(gè)未知參數(shù)，的置信區(qū)間.（雙側(cè)置信區(qū)間）.的置信水平（置信度）為分別稱為置信下限和置信上限為顯著水平.為置信度，則稱區(qū)間是若存在隨機(jī)區(qū)間對(duì)于給定的第4頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五5置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，，使一個(gè)盡可能小的區(qū)間由于正態(tài)隨機(jī)變量廣泛存在，指標(biāo)服從正態(tài)分布，特別是很多產(chǎn)品的我們重點(diǎn)研究一個(gè)正態(tài)總體情形由給定的置信水平，我們求出即取置信水平或0.95，0.9等.例如，通常可取顯著水平等.數(shù)學(xué)期望和方差的區(qū)間估計(jì)。第5頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五6設(shè)為總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差。對(duì)于任意給定的α，我們的任務(wù)是通過(guò)樣本尋找一它以1－α的概率包含總體X的數(shù)學(xué)期望μ。個(gè)區(qū)間，第6頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五7一、數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間設(shè)則隨機(jī)變量1、已知σ2時(shí)，μ的置信區(qū)間令第7頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五8令這就是說(shuō)隨機(jī)區(qū)間它以1－α的概率包含總體X的數(shù)學(xué)期望μ。由定義可知，此區(qū)間即為μ的置信區(qū)間。第8頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五9這就是說(shuō)隨機(jī)區(qū)間置信區(qū)間也可簡(jiǎn)記為它以1－α的概率包含總體X的數(shù)學(xué)期望μ。由定義可知，此區(qū)間即為μ的置信區(qū)間。其置信度為1－α。置信下限置信上限第9頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五10若取查表得若由一個(gè)樣本值算得樣本均值的觀察值則得到一個(gè)區(qū)間我們稱其為置信度為0.95的μ的置信區(qū)間。其含義是：若反復(fù)抽樣多次，每個(gè)樣本值（n=16)按公式即確定一個(gè)區(qū)間。第10頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五11確定一個(gè)區(qū)間。在這么多的區(qū)間內(nèi)包含μ的占0.95,不包含μ的占0.05。本題中屬于那些包含μ的區(qū)間的可信程度為0.95.或“該區(qū)間包含μ”這一事實(shí)的可信程度注：μ的置信水平1－α的置信區(qū)間不唯一。為0.95.第11頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五12由中心極限定理知，當(dāng)

n充分大時(shí)，無(wú)論X服從什么分布，都近似有μ的置信區(qū)間是總體的前提下提出的。均可看作EX的置信區(qū)間。第12頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五13例1

設(shè)總體X~N(μ,0.09)，有一組樣本值：

12.6，13.4，12.8，13.2，求參數(shù)μ的置信度為0.95的置信區(qū)間.解μ的置信區(qū)間為

代入樣本值算得,[12.706，13.294].得到μ的一個(gè)區(qū)間估計(jì)為注：該區(qū)間不一定包含μ.有1－α=0.95，σ0=0.3，n=4,第13頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五14又如，上例中同樣給定可以取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上α分位點(diǎn)－z0.04

和z0.01,則又有則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為與上一個(gè)置信區(qū)間比較，同樣是其區(qū)間長(zhǎng)度不一樣，上例比此例短。第14頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五15置信區(qū)間短表示估計(jì)的精度高，第一個(gè)區(qū)間為優(yōu)（單峰對(duì)稱的）?？梢?jiàn)，像N(0,1)分布那樣概率密度的圖形是單峰且對(duì)稱的情況。當(dāng)n固定時(shí)以的區(qū)間長(zhǎng)度為最短，我們一般選擇它。若以L為區(qū)間長(zhǎng)度，則可見(jiàn)L隨

n

的增大而減少（α給定時(shí)），有時(shí)我們嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或0.9.對(duì)于1－α不同的值，可以得到不同的置信區(qū)間。第15頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五16估計(jì)在區(qū)間內(nèi).這里有兩個(gè)要求:只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)可見(jiàn)，對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)一旦有了樣本，就把2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1.要求很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率即要求估計(jì)盡量可靠.要盡可能大.可靠度與精度是一對(duì)矛盾，條件下盡可能提高精度.一般是在保證可靠度的第16頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五17例2已知某種油漆的干燥時(shí)間X（單位:小時(shí)）服從正態(tài)分布其中μ未知,現(xiàn)在抽取25個(gè)樣品做試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)后計(jì)算得取求μ的置信區(qū)間。解所求為第17頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五18例3中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：已知幼兒身高現(xiàn)從5～6歲的幼兒115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;第18頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五192、未知σ2時(shí)，μ的置信區(qū)間當(dāng)總體X的方差未知時(shí)，容易想到用樣本方差?2代替σ2。已知?jiǎng)t對(duì)給定的α，令查t分布表，可得的值。則μ的置信度為1－α的置信區(qū)間為第19頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五20例4

40名旅游者。解本題是在σ2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)μ的置信區(qū)間。選取統(tǒng)計(jì)量為由公式知μ的置信區(qū)間為查表則所求μ的置信區(qū)間為為了調(diào)查某地旅游者的消費(fèi)額為X，隨機(jī)訪問(wèn)了得平均消費(fèi)額為元，樣本方差設(shè)求該地旅游者的平均消費(fèi)額μ的置信區(qū)間。若σ2＝25μ的置信區(qū)間為即第20頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五21例5

用某儀器間接測(cè)量溫度，重復(fù)測(cè)量5次得求溫度真值的置信度為0.99的置信區(qū)間。解設(shè)μ為溫度的真值，X表示測(cè)量值，通常是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量問(wèn)題是在未知方差的條件下求μ的置信區(qū)間。由公式查表則所求μ的置信區(qū)間為第21頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五22例6解本題是在σ2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)μ的置信區(qū)間。由公式知μ的置信區(qū)間為查表則所求μ的置信區(qū)間為為了估計(jì)一批鋼索所能承受的平均張力（單位kg/cm2),設(shè)鋼索所能承受的張力X，分別估計(jì)這批鋼索所能承受的平均張力的范圍與所能承受的平均張力。隨機(jī)選取了9個(gè)樣本作試驗(yàn)，即則鋼索所能承受的平均張力為6650.9kg/cm2由試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)得第22頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五23三、方差σ2的置信區(qū)間下面我們將根據(jù)樣本找出σ2

的置信區(qū)間，這在研究生產(chǎn)的穩(wěn)定性與精度問(wèn)題是需要的。已知總體我們利用樣本方差對(duì)σ2進(jìn)行估計(jì)，由于不知道S2與σ2差多少？容易看出把看成隨機(jī)變量，又能找到它的概率分布，則問(wèn)題可以迎刃而解了。的概率分布是難以計(jì)算的，而對(duì)于給定的第23頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五24即則得到σ2隨機(jī)區(qū)間以的概率包含未知方差σ2，這就是σ2的置信度為1－α的置信區(qū)間。第24頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五25例1

某自動(dòng)車床加工零件，抽查16個(gè)測(cè)得長(zhǎng)度（毫米）怎樣估計(jì)該車床加工零件長(zhǎng)度的方差。解先求σ2的估計(jì)值或查表第25頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五26所求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間所求標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信度為0.95的置信區(qū)間由得得第26頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五27例2

為了估計(jì)燈泡使用時(shí)數(shù)（小時(shí)）的均值μ和解查表測(cè)試了10個(gè)燈泡得方差σ2，若已知燈泡的使用時(shí)數(shù)為X，求μ和σ2的置信區(qū)間。由公式知μ的置信區(qū)間為μ的置信區(qū)間為查表即由公式知σ2的置信區(qū)間為σ2的置信區(qū)間為第27頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五28例3

電動(dòng)機(jī)由于連續(xù)工作時(shí)間（小時(shí)）過(guò)長(zhǎng)會(huì)燒壞，解查表燒壞前連續(xù)工作的時(shí)間X，得求μ和σ2的置信區(qū)間。今隨機(jī)地從某種型號(hào)的電動(dòng)機(jī)中抽取9臺(tái)，測(cè)試了它們?cè)谠O(shè)由公式知μ的置信區(qū)間為即所求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間得第28頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五29尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱

為與

之間的誤差限.，可以找到一個(gè)正數(shù)

，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量，根據(jù)置信水平由不等式可以解出：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.第29頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五30單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)被估參數(shù)條件統(tǒng)計(jì)量置信區(qū)間μ已知σ2μ未知σ2σ2未知μ第30頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五31作業(yè)P29445681012第31頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五32嬰兒體重的估計(jì)例4

假定初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取12名嬰兒，測(cè)得體重為：（單位：克）

3100,2520,3000,3000,3600,3160,

3560,3320,2880,2600,3400,2540

試以95%的置信度估計(jì)初生嬰兒的平均體重以及方差.解設(shè)初生嬰兒體重為X

克，則X~N(,2),(1)需估計(jì),而未知2.第32頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五33作為統(tǒng)計(jì)量.

有=

，n=

，t0.025(11)=

，即的置信區(qū)間。(1)需估計(jì),而未知2.第33頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五34 (2)需估計(jì)2,而未知，有20.025(11)=

，20.975(11)=

，第34頁(yè)，共39頁(yè)，2022年，5月20日，20點(diǎn)8分，星期五35例5

解由置信區(qū)間的概念，所求μ的0.99的置信區(qū)間為在交通工程中需要測(cè)定車速（單位km/h),由以往