北師大(新世紀)版小學數學教材四年級上冊教材問與答

北師大（新世紀）版小學數學教材四年級上冊教材問與答趙艷輝(東北師范大學附屬小學)本冊教科書共安排了八個單元，其中數與代數領域有“認識更大的數”“乘法”“運算律”“除法”和“生活中的負數”；圖形與幾何領域有“線與線”和“方向與位置”；統(tǒng)計與概論領域只有“可能性”。此外還有“數學好玩”“整理與復習”和“總復習”。本冊教材在體現整套教科書的編寫特點外，還具有如下突出特點。一是許多內容在第一學段學習的基礎上，問題串的設計、課程內容的展開重視加大讓學生獨立思考、合作交流、自主探究的學習力度，切實促進學習方式的改善；重視挖掘數學知識特點，將學習內容與數學方法和學習方法緊密結合，促進對核心問題的把握，加深對所學內容的理解；重視讓學生經歷從頭至尾思考問題的全過程，促進學生對發(fā)現與提出、分析與解決問題的培養(yǎng)，積累數學活動經驗，感受數學思想方法。一、本冊教科書是如何充分利用直觀模型幫助學生認識更大的數的？研究表明，直觀模型具有直觀化、結構化的特點，能幫助學生認識數和理解算理。本套教科書重新梳理了小方塊、計數器、豎線等直觀模型在認識計數單位、數位、數序等內容的價值和作用，如，小方塊有助于學生形象地計數單位間的十進關系、建立每個計算單位的直觀表象已經從具體的數量中抽象出數；計數器有助于學生具象地理解位值概念和感知“滿是進1”的計數原則；豎線有助于學生理解數序和大小關系?；诖?，本套教科書在數認識的不同階段，對直觀模型的分布和使用進行了系統(tǒng)地設計，并各有側重。本冊“認識更大的數”是小學階段對自然數的最后一次認識，充分借助上述的直觀模型，增強對大數的感性認識，更好地感受十進位值制是認識大數的核心。首先，第1課時以認識十萬為例，通過數小方塊的計數過程，讓學生形象地感知計數單位“十萬”與“萬”之間的十進關系，初步認識一個新的大數；在此基礎上，利用計數器進行四次的撥數與數數（如下表），比較直觀地感受位值概念。如，第一次一個一個地數，體會大數的個位與十位的十進關系；第二次一千一千地數，體會大數的千位與萬位的十進關系；第三次又是一個一個數，主要體會大數10萬是99999的后續(xù)數，同時感受大數“10萬”與計數單位“十萬”意義上的區(qū)別；第四次一萬一萬地數，體會大數的萬位與十萬位的十進關系。這樣的撥數、數數，每一數位“滿十”都要向前一位“進1”，體會新計數單位的產生和數位變化的同時，感受始終不變的是十進位值制計數法。在此基礎上，第2節(jié)課時繼續(xù)借助計數器進行數數推理，遷移十萬以內相鄰計數單位間“滿十進1”這個知識，比較具象地認識更大的萬級和億級的計數單位和數位，梳理出整數數位順序表；最后還使用豎線，直觀地體會大數的順序和大小關系，以及幫助認識近似數，提升學生對數認識的抽象思維能力。二、“從結繩計數說起”為什么單獨成一節(jié)課？教材是如何將內容學習與數學歷史有機結合在一起的？，數學史料記錄了重大的數學理論和思想方法的產生、發(fā)展過程，其中蘊含著豐富的數學文化。本套教科書精心選取數學史料，設計三種呈現方式使之成為兒童學習的一部分。一是在練習中設置“你知道嗎”欄目，通過“讀一讀”“做一做”的方式，了解與本節(jié)課相關的數學史實；二是結合正文中的一個問題介紹某個知識的來歷；三是把數學史單獨編排為一節(jié)課，讓學生感知重要的數學知識產生的漫長歷程。可見，數學史的呈現已不再局限于簡單的閱讀，更加重視與所學知識緊密結合起來。把“從結繩計數說起”單獨編排為一節(jié)課，意在讓學生“做”一些數學史，了解數的產生與發(fā)展的歷程就是十進位值制計數法的產生與發(fā)展的歷程，水到渠成地揭示自然數概念，完成對數認識的總結性學習。教材把3組古人計數的史料圖文并茂地與進一步認識自然數有機結合在一起。首先呈現的石子計數、結繩計數和刻痕計數，都是用“算具”進行逐一計數，體現了一一對應的抽象思想；然后呈現的古埃及象形數字、瑪雅數字和中國算籌數碼，在介紹符號表示數的發(fā)展歷程中蘊含了進位制與位值制思想；最后直接介紹了現在通用的10個數字符號，叫做“印度-阿拉伯數字”。這樣的編排，讓學生在讀一讀、說一說和寫一寫的過程中，了解了人類發(fā)明進位制和位值制后，才使符號表示所有的自然數才成為可能，也就是說從計數方法和計數符號兩個層面了解自然數的抽象歷程，體會到十進位值制的重大價值，感受豐富的數學文化，增進熱愛數學的情感。二、從“平行與平移”“旋轉與角”，看教材是如何將圖形的認識與圖形的運動有機結合的？現實世界中有大量的圖形運動現象，史寧中教授在《數學思想概率》（圖形與幾何的抽象關系）中指出：“圖形運動能很好地體現幾何直觀的教育價值”；《數學課程標準解讀》（2011版）中也提到：圖形的許多性質可且以通過圖形的運動直觀得到，圖形運動為我們探索并確認圖形性質提供了方法與途徑。本冊在線與角單元中，編排了“平移與平行”“旋轉與角”，重視把圖形的認識與圖形運動有機結合，意圖通過用圖形運動來探尋和猜測圖形特征，發(fā)展學生的幾何直觀和空間觀念，還有助于提高學生認識圖形的興趣，感受認識圖形可以有不同方法。本冊在“平移與平行”中，編排了日常生活中“推拉窗”“升國旗”兩個生活實例，通過激活生活經驗、在方格紙上平移鉛筆以及畫出平行線圖形的活動，親身體會一條直線是另一條直線通過平移得到的，這兩條直線間距離處處相等，很好地認識平行線的特征。同樣，在“旋轉與角”中創(chuàng)設了操作“活動角”的問題情境，意圖讓學生在旋轉中體會角的形成，進一步認識角的大小與邊的長短無關，與張口有關的特征；進而又結合“體操表演”“推磨”圖，讓學生在操作和聯想中，感知平角和周角的概念，突破認識上的難點。這樣編排，將生活中動態(tài)的生活現象與數學中的抽象概念建立聯系，讓學生由具體到抽象體會圖形的特征，積累認識幾何圖形的活動經驗，發(fā)展空間觀念。四、運算律的編排，如何培養(yǎng)學生發(fā)現、提出、分析和解決問題的？過去曾過分強調用運算律進行簡便計算，這不是學習運算律價值的全部。運算律自身的數學價值，遠遠高于簡便運算，在小學階段不宜過于強調運算律的簡便運算的價值，學習簡便運算是通過簡算再次感受規(guī)律的應用。運算律本身既是算理，也體現了運算的本質（算式的等值變形）。所以本冊教材對學習運算律的價值重新定位：一是應用運算律能進行一些簡便計算，且都是基本問題，意在培養(yǎng)簡便運算意識的同時，突出對運算意義本身的理解；其二，把運算律作為探究的素材，利用學生的生活經驗和知識基礎，讓學生去觀察與猜想，用數據去驗證、歸納規(guī)律并應用，經歷通過對算式的研究，培養(yǎng)學生發(fā)現與提出、分析與解決問題的能力。為突出對學生發(fā)現與提出、分析與解決問題的培養(yǎng)，內容在編排上具有如下特點。首先，由于兩個交換律和兩個結合律分別具有相通與相似的地方，放在一起或連著進行編排，更容易發(fā)現規(guī)律；其次，基本上都是以數學問題引入，直接聚焦對多個算式本身所具有特點的研究，更有助于對規(guī)律的歸納與概括；重要的是精心設計問題串，使5個運算律內容的結構基本一致，形成了觀察仿寫算式——解釋規(guī)律——表述規(guī)律——應用規(guī)律的呈現特點（如下圖）。觀察與仿寫算式，就是引導學生初步發(fā)現問題與提出問題；解釋規(guī)律，就是結合事例，通過圖示（方塊圖、線段圖、點子圖等）體現數形結合，直觀地解釋初步的發(fā)現，再次確認發(fā)現的問題，為歸納一般性的規(guī)律（提出問題）奠定基礎；用字母表述規(guī)律，就是一個由具體數值計算到符號表達的過程，完成了由幾個特例的共性特點歸納概括出一般性的結論，從而簡練清晰地提出問題；應用規(guī)律，就是運用規(guī)律具體分析算式特點，把算式進行等值變形使運算簡潔合理，即分析與解決問題。所以說，內容的編排與問題的設計，讓學生很好地經歷“發(fā)現和提出、分析和解決問題“的全過程，為培養(yǎng)創(chuàng)新能力而積累推理的數學活動經驗。五、以“滴水實驗”為例，綜合與實踐領域是如何注重讓學生“從頭至尾”思考問題，積累數學活動經驗的？“滴水實驗”活動，按照本套教材第二學段綜合與實踐領域總體的編寫思路，更重視解決問題方案的設計和經歷解決問題的過程。提出任務—設計方案—動手實驗—交流反思—自我評價，5個活動環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，讓學生經歷從提出問題到解決問題的探究的全過程，積累“從頭至尾“思考問題的思維和實踐的活動經驗。重視在提出問題的基礎上對解決問題方案的設計?！暗嗡畬嶒灐钡幕顒右皇怯^察滴水現象、提出數學問題、明確活動任務，即引導學生提出數學問題：“設計滴水試驗，推算出一個沒有擰緊的水龍頭一年大約會浪費多少水？活動二是討論實驗思路、確定實驗步驟、形成實驗方案，此環(huán)節(jié)是本套教科書在第二學段“綜合與實踐”的突出特點。由于“一年大約浪費多少水”這個問題比較開放，很有挑戰(zhàn)性，內容設計上意在提示教師組織學生討論，積極主動思考，想出多種可行的辦法，明確解決問題的思路。如笑笑的辦法是先實驗收集1分鐘的滴水量，再推算出1小時、1天、1年的，這種從簡單問題入手，把大化小的策略，蘊含著轉化和類比的數學思想，而用乘法進行以小見大的推算，又體現了數學的度量思想，學生經歷此活動能幫助積累思維的活動經驗。重視在學生想明白、寫清楚再做出來并反思的過程設計。三是小組分工合作、經歷實驗過程