三角函數(shù)知識點(diǎn)歸納

10/10三角函數(shù)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1．任意角(1)角的概念的推廣①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．角的頂點(diǎn)和原點(diǎn)重合，角的始邊和軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為(2)終邊和角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．終邊和角相同的角的集合為(3)弧度制①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②弧度和角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是④若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．2．任意角的三角函數(shù)定義設(shè)α是一個任意角，角α的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，它和原點(diǎn)的距離為，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：α＝\f()，α＝\f()，α＝\f()．（三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函數(shù)值角度函數(shù)030456090120135150180270360角a的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22π01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-101√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-1010√3/31√3-√3-1-√3/300二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式A.基礎(chǔ)梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：2α＋2α＝1；（在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號）(2)商數(shù)關(guān)系：\f(αα)＝α.（3）倒數(shù)關(guān)系：2．誘導(dǎo)公式公式一：(α＋2kπ)＝α，(α＋2kπ)＝α，其中k∈Z.公式二：(π＋α)＝－α，(π＋α)＝－α，(π＋α)＝α.公式三：(π－α)＝α，(π－α)＝－α，．公式四：(－α)＝－α，(－α)＝α，.公式五：\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)－α))＝α，\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)－α))＝α.公式六：\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)＋α))＝α，\b\\(\\)(\a\4\\1(\f(π,2)＋α))＝－α.誘導(dǎo)公式可概括為k·\f(π,2)±α的各三角函數(shù)值的化簡公式．口訣：奇變偶不變，符號看象限．其中的奇、偶是指\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變和不變是指函數(shù)名稱的變化．若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱要變(正弦變余弦，余弦變正弦)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號看象限是指：把α看成銳角時，根據(jù)k·\f(π,2)±α在哪個象限判斷原三角函數(shù)值的符號，最后作為結(jié)果符號．B.方法和要點(diǎn)一個口訣1、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限．2、四種方法在求值和化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式α＝\f(αα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(θ±θ)2＝1±2θθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．（、、三個式子知一可求二）(3)巧用“1”的變換：1＝2θ＋2θ=＝\f(π,4)（4）齊次式化切法：已知，則三、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1會求三角函數(shù)的定義域、值域2會求三角函數(shù)的周期：定義法，公式法，圖像法（如和的周期是）。3會判斷三角函數(shù)奇偶性4會求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間5知道三角函數(shù)圖像的對稱中心，對稱軸6知道，，的簡單性質(zhì)知識要點(diǎn)梳理1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0，的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象。2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R。（2）值域：都是，對，當(dāng)時，取最大值1；當(dāng)時，取最小值－1；對，當(dāng)時，取最大值1，當(dāng)時，取最小值－1。（3）周期性：，的最小正周期都是2；（4）奇偶性和對稱性：①正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；②余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；（正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象和軸的交點(diǎn)）。（5）單調(diào)性：上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。特別提醒，別忘了！3、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）定義域：。（2）值域是R，無最大值也無最小值；（3）奇偶性和對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象和軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線和軸的交點(diǎn)，但無對稱軸，這是和正弦、余弦函數(shù)的不同之處。（4）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性。4、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)函函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸5、研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的。函數(shù)y＝（x＋）（A＞0，＞0）的性質(zhì)。（1）定義域：R（2）值域：[,A]（3）周期性：①和的最小正周期都是。②的最小正周期都是。（4）單調(diào)性：函數(shù)y＝（x＋）（A＞0，＞0）的單調(diào)增區(qū)間可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得；單調(diào)減區(qū)間可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。在求的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導(dǎo)公式先將化正。如函數(shù)的遞減區(qū)間是（答：解析：，所以求y的遞減區(qū)間即是求的遞增區(qū)間，由得，所以y的遞減區(qū)間是四、函數(shù)的圖像和三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用知識要點(diǎn)幾個物理量：=1\*3①振幅：；=2\*3②周期：；=3\*3③頻率：；=4\*3④相位：；=5\*3⑤初相：．函數(shù)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定.函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為；當(dāng)時，取得最大值為，則，，．3、函數(shù)圖象的畫法：①“五點(diǎn)法”――設(shè)，令＝0，求出相應(yīng)的值，計算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。4、函數(shù)y＝的圖象經(jīng)變換可得到的圖象橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)伸（縮）倍左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A倍左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A倍橫坐標(biāo)伸（縮）倍左（右）平移橫坐標(biāo)伸（縮）倍橫坐標(biāo)伸（縮）倍縱坐標(biāo)伸（縮）A倍橫坐標(biāo)伸(縮)倍縱坐標(biāo)伸（縮）A倍左（右）平移左（右）平移縱坐標(biāo)伸（縮）A倍5、函數(shù)的圖象和圖象間的關(guān)系：①函數(shù)的圖象向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；②函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)的圖象；③函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)的圖象；④函數(shù)圖象向上（）或向下（）平移個單位，得到的圖象。要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個單位，如要得到函數(shù)y＝(2x－\f(π,3))的圖象，只需將函數(shù)y＝2x的圖象()(A)向左平移\f(π,3)個單位(B)向右平移\f(π,3)個單位(C)向左平移\f(π,6)個單位(D)向右平移\f(π,6)個單位6、函數(shù)y＝（x＋）和（x＋）的性質(zhì)和圖象的變換和y＝（x＋）類似。三角恒等變換1、兩角和和差的正弦、余弦和正切公式：=1\*2⑴；=2\*2⑵；=3\*2⑶；=4\*2⑷；=5\*2⑸（）；=6\*2⑹（）．如；（答案：）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*2⑴．如2\f(5π,12)＋2\f(π,12)＋\f(5π,12)\f(π,12)的值等于；（答案：\f(5,4)）=2\*2⑵升冪公式降冪公式，．=3\*2⑶．3、二弦歸一把兩個三角函數(shù)的和或差化為一個三角函數(shù)：，其中．4、三角變換時運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算化簡的方法．常用的方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的異角，可根據(jù)角和角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，尋找條件和結(jié)論中角的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，使問題獲解，對角的變形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；②；問：；；③；④；⑤；等等.如[1].（答案：）[2]若(α＋β)＝\f(4,5)，(α－β)＝－\f(4,5)，且\f(π,2)＜α－β＜π，\f(3π,2)＜α＋β＜2π，則2α＝，2β＝.（答案：－\f(7,25)，－1）[3]已知則；（答案：）（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄?，變異名為同名（二弦歸一）。如；（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：（4）冪的變換：