《復(fù)變函數(shù)》總結(jié)

PAGEPAGE8/8《復(fù)變函數(shù)》總結(jié)《復(fù)變函數(shù)》總結(jié)復(fù)變小結(jié)1.幅角（不贊成死記，學(xué)會分析）yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.對于P121.11可理解為高中所學(xué)的平面上三點（A,B,C）共線所滿足的公式:(量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.對于P151.14中可直接轉(zhuǎn)換成X和Y的表達(dá)式后判斷正負(fù)號來確定其圖像。d.f(z)DP171.84.解析函數(shù)，數(shù)方程在某個區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)與解析是等價的。但在某一點解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析?？挛骼杪鼦l件，自己牢記:（注意那個加負(fù)那個不加）c.指數(shù)函數(shù):換成三角的定義。d.只需記住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k)e.e時直接運算（一般轉(zhuǎn)換成三角形式）e時，w=za=eaLnz(Lnln)ieeii,,e能夠區(qū)分：,if.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：eizeizeizeizcos22i其他可自己試著去推導(dǎo)一下。eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i21iz5.復(fù)變函數(shù)的積分(arctanz),1z21(9)a.注：只有當(dāng)函數(shù)解析即滿足柯西-公式時求積分才與路徑無關(guān)只與出沒位置有關(guān)。（勿亂用）例如:zdz與路徑無zdz與路徑有關(guān)。ccb.柯西-f(z)CD內(nèi)解析且在閉區(qū)域上連續(xù)時：重要公式f(z)dz0C2πi,n0,dzn1(zz0)0,n0.|zz0|rc.柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用于計算積分：1f(z)dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0!f(f(n)(z)nz)dz(3.20)d.調(diào)和函數(shù)：22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy一般與柯西-黎曼公式一起用:P523.116.級數(shù)(x,y)調(diào)和:2a.P594.2及其推導(dǎo)（1最重要）b.貝爾定理:判斷收斂和發(fā)散區(qū)間。冪級數(shù)的收斂半徑：利用比值法和根值法。（方法同于高數(shù)級數(shù)）泰勒級數(shù)：n0f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.n!五個重要初等函數(shù)展開式：2znez1zz.(4.8)2!n!2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!(4.11)其余可由式：11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推導(dǎo)。（注意各展開式的[z]取值范圍）洛朗展開式:Z（泰勒形式）f.零點，奇點，極點零點:f(z)=0f(z)無意義的點。（P824.18的三條關(guān)于孤立奇點的等價式實為可去奇點的特征）奇點又分為：可Z的負(fù)次數(shù)方冪。本性奇點：即展開式中存在ZZ的有限次負(fù)次數(shù)方冪。極點：即為奇點中除去可去奇點后的所有奇點。極點一定是奇點，但奇點不一定是奇點。（奇點容易判斷，極點可借助P834.19點，對于第五章中求留數(shù)有用）P844.22：極點和零點的關(guān)系。7.留數(shù)a.留數(shù)定理：Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)P93-94三種情形及第五章中判斷極點的階數(shù)求留數(shù)（沒什么特殊方法，希望大家通過多練來掌握）f(z),b.利用留數(shù)定理求積分：z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n用留數(shù)和定理：Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解11特殊轉(zhuǎn)換：Res[f(z),]Resfzz2,0c.2π0R(cos,sin)dz=ei使用條件：R(x,y)x，yR(x)dx的積分R(x)x的有理函數(shù),而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次,并且R(x)在實軸上沒有孤立奇點時,積分是存在的.形如：eixf(x)dx的積分使用條件:f(z)Imz≥0內(nèi)除可能有有限各孤立奇點外處處解析，并且zImz≥0P1045.3中（本中的例題）老師所給劃題目：P22-例、P26-例、P33-3P26-P46-P47P79-802、相關(guān)例子P97P113-6（1-5）P114-8、相關(guān)例子以上基本上是理論的東西。有些東西僅為個人理解，如有問題可提出來。例（如果找不到的可找我要擴(kuò)展閱讀：《復(fù)變函數(shù)》總結(jié)復(fù)變小結(jié)1.幅角（不贊成死記，學(xué)會分析）yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.對于P12例題1.11可理解為高中所學(xué)的平面上三點（A,B,C）共線所滿足的公式:(量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.對于P151.14中可直接轉(zhuǎn)換成X和Y的表達(dá)式后判斷正負(fù)號來確定其圖像。d.f(z)DP171.84.解析函數(shù)，數(shù)方程在某個區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)與解析是等價的。但在某一點解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析?？挛骼杪鼦l件，自己牢記:（注意那個加負(fù)那個不加）c.指數(shù)函數(shù):換成三角的定義。d.只需記?。篖nz=ln[z]+i(argz+2k)e.e時直接運算（一般轉(zhuǎn)換成三角形式）e時，w=za=eaLnz(Lnln)ieeii,,e能夠區(qū)分：,if.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：eizeizeizeizcos22i其他可自己試著去推導(dǎo)一下。eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i21iz5.復(fù)變函數(shù)的積分(arctanz),1z21(9)a.注：只有當(dāng)函數(shù)解析即滿足柯西-公式時求積分才與路徑無關(guān)只與出沒位置有關(guān)。（勿亂用）例如:zdz與路徑無zdz與路徑有關(guān)。ccb.柯西-f(z)CD內(nèi)解析且在閉區(qū)域上連續(xù)時：重要公式f(z)dz0C2πi,n0,dzn10,n0.(zz)|z0z|r0c.柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用于計算積分：1f(z)dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0f(n)(z)n!f(z)dz(3.20)d.調(diào)和函數(shù)：22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy一般與柯西-黎曼公式一起用:P523.116.級數(shù)(x,y)調(diào)和:2a.P594.2及其推導(dǎo)（1最重要）b.貝爾定理:判斷收斂和發(fā)散區(qū)間。冪級數(shù)的收斂半徑：利用比值法和根值法。（方法同于高數(shù)級數(shù)）泰勒級數(shù)：n0f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.n!五個重要初等函數(shù)展開式：2nez1zzz.8).(42!n!2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!(4.11)其余可由式：11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推導(dǎo)。（注意各展開式的[z]取值范圍）洛朗展開式:Z（泰勒形式）f.零點，奇點，極點零點:f(z)=0f(z)無意義的點。（P824.18的三條關(guān)于孤立奇點的等價式實為可去奇點的特征）奇點又分為：可Z的負(fù)次數(shù)方冪。本性奇點：即展開式中存在ZZ的有限次負(fù)次數(shù)方冪。極點：即為奇點中除去可去奇點后的所有奇點。極點一定是奇點，但奇點不一定是奇點。（奇點容易判斷，極點可借助P834.19點，對于第五章中求留數(shù)有用）P844.22：極點和零點的關(guān)系。7.留數(shù)a.留數(shù)定理：Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)P93-94三種情形及第五章中判斷極點的階數(shù)求留數(shù)（沒什么特殊方法，希望大家通過多練來掌握）f(z),b.利用留數(shù)定理求積分：z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n用留數(shù)和定理：Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解11特殊轉(zhuǎn)換：Res[f(z),]Resfzz2,0c.2π0R(cos,sin)dz=ei使用條件：R(x,y)x，yR(x)dx的積分R(x)x的有理函數(shù),而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次R(x)在實軸上沒有孤立奇點時,積分是存在的.形如：eixf(x)dx的積分