現(xiàn)代控制理論：第二章 狀態(tài)空間描述2講

第二章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（續(xù)）ModernControlTheory

Page:12.5系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣1、傳遞函數(shù)矩陣的定義初始條件為零時(shí)，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換之間的傳遞關(guān)系————傳遞函數(shù)矩陣（簡(jiǎn)稱傳遞矩陣）2、由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)矩陣設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：令初始條件為零，將上兩式進(jìn)行拉氏變換可得：則系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為：為(sI-A)的伴隨矩陣為(sI-A)的行列式系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特征方程:系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特征根或特征值:

的根其中其展開式為

傳遞函數(shù)矩陣注意：

對(duì)同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達(dá)式是非唯一的，但它的傳遞函數(shù)矩陣是不變的。

多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣?yán)撼跏紬l件為零表示多個(gè)輸入與多個(gè)輸出之間的傳遞關(guān)系用矩陣方程表示：輸入向量的拉普拉斯變換輸出向量的拉普拉斯變換系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣整體反映了雙輸入與雙輸出之間的傳遞關(guān)系

例2.7

已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其中是輸入，是輸出。解：根據(jù)求傳遞函數(shù)的公式所以 由已知狀態(tài)空間模型知，所以：補(bǔ)充：3、由傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式

1）傳遞函數(shù)的分子為常數(shù)時(shí)考慮一個(gè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為假設(shè)初始條件為零，對(duì)上式取拉式反變換，得微分方程形式為：因此，選取輸出及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量，即兩邊分別求導(dǎo)，并代入微分方程，可得狀態(tài)方程為：另，輸出方程為：所以，狀態(tài)空間表達(dá)式寫成矩陣形式為A陣為友矩陣?yán)?.8

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

試將其轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型。解：設(shè)初始條件為零，通過反拉氏變換將系統(tǒng)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為微分方程形式：(1)選擇狀態(tài)變量(2)對(duì)(1)中各式兩邊求導(dǎo)，并代入微分方程，有輸出方程為(3)寫成矩陣形式有：

2）傳遞函數(shù)的分子不為常數(shù)項(xiàng)時(shí)設(shè)n階單入單出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

應(yīng)用長除法有：

式中，為直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)

1）當(dāng)G(s)的分母次數(shù)大于分子次數(shù)時(shí)，

是嚴(yán)格有理真分式，其分子各次項(xiàng)的系數(shù)用長除法得到：

可將串聯(lián)分解成兩部分，如圖所示，其中，

z為中間變量。拉氏反變換同理選取狀態(tài)變量拉氏反變換則有狀態(tài)方程

輸出方程為則寫成向量-矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程

式中注意：A陣仍為友矩陣；若狀態(tài)方程中的A，b具有這種形式，則稱為能控標(biāo)準(zhǔn)型。2）當(dāng)

有A，b不變，只是系統(tǒng){A，b，C，D}稱為G（s）的能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。例2.9設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為試由傳遞函數(shù)法列出其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：首先寫出該系統(tǒng)傳遞函數(shù)：_

狀態(tài)變量圖：2.6系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性變換

前面已指出一個(gè)給定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取有許多不同方法（如前面的RLC電路），因此一個(gè)系統(tǒng)有許多不同的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述。針對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)，不同的狀態(tài)變量間必定存在某種關(guān)系。狀態(tài)變量的不同選取狀態(tài)向量的一種線性變換（或坐標(biāo)變換）2.6系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性變換

一、系統(tǒng)狀態(tài)的非奇異線性變換

目的：便于揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算且不會(huì)改變系統(tǒng)的性質(zhì)若選取兩組不同的狀態(tài)變量來描述同一個(gè)系統(tǒng)，則，在與之間存在如下的非奇異線性變換關(guān)系：或其中是非奇異變換矩陣：于是有：雖然狀態(tài)變量和狀態(tài)表達(dá)式不同，但和都是同一系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的描述。線性組合表示，唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

狀態(tài)向量非奇異變換矩陣新狀態(tài)向量2.6系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性變換

若含有D陣的話，易知有：例2.10

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：若取變換矩陣則

新的狀態(tài)方程：若取變換矩陣則新的輸出方程：

系統(tǒng)矩陣對(duì)角化！狀態(tài)變量之間解耦！二、系統(tǒng)特征值和特征向量1、定義：1）特征值：

設(shè)是一個(gè)的矩陣，則稱為的特征值。

2）特征向量：

任何滿足的n維非零向量P稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。注意：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換，其特征值是不變的。2、相關(guān)計(jì)算1）特征值的計(jì)算例2.11

求下列矩陣的特征值。

解：

特征值為：2）特征向量的計(jì)算例2.12

求矩陣的特征向量解：1)、其特征值在例2.11中已求出:2)、計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量解得：

3)、同理可算出和對(duì)應(yīng)的特征向量所以有：

三、狀態(tài)方程的幾種標(biāo)準(zhǔn)型1、對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型

對(duì)于線性系統(tǒng)若A的特征值是互異的，則必存在非奇異變換矩陣P，經(jīng)過變換，使原狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型式中，，。

的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，即變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型。

例2.13

試將狀態(tài)方程：解：Ⅰ.求特征值：

Ⅱ.求特征向量和變換矩陣P

求λ1=-1對(duì)應(yīng)的P1：同理可得：例2.14

試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。解：（1）求系統(tǒng)的特征值和特征向量

（2）構(gòu)造變換矩陣P，并求?！逜為友矩陣，并且有互異實(shí)特征值，

∴變換矩陣可直接寫為范德蒙特矩陣形式：

（4）變換后的動(dòng)態(tài)方程為:（3）計(jì)算，，

1)、約當(dāng)矩陣：形如的矩陣約當(dāng)塊約當(dāng)塊的個(gè)數(shù)每個(gè)約當(dāng)塊的階數(shù)2)、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型2、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型mi×mimi重特征值λi當(dāng)A陣具有重實(shí)特征值時(shí):

①A陣雖有重特征值，但仍然有n個(gè)獨(dú)立的特征向量。②矩陣A不但具有重特征值，而且其獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)也少于n。約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型(不能化為對(duì)角型)如果A陣具有m重實(shí)特征值，且只有一個(gè)獨(dú)立

的特征向量與之對(duì)應(yīng)，則只能使A化為約當(dāng)陣J:

當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式中的系統(tǒng)矩陣A為約當(dāng)矩陣時(shí)，則稱該狀態(tài)空間表達(dá)式為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。同無重特征值一樣，能化為對(duì)角型變換矩陣重根的非獨(dú)立特征向量，也稱廣義特征向量

互異特征值對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量，也稱實(shí)特征向量變換矩陣

的非獨(dú)立特征向量，也稱廣義特征向量

互異特征值對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量，也稱實(shí)特征向量特征向量的求?。簃重根的m-1個(gè)非獨(dú)立特征向量例2.15

試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。解：（1）系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為

解出特征值為（2）對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，有，

即亦即

解得，。

由于，故對(duì)應(yīng)特征值的獨(dú)立特征向量只有一個(gè)(因?yàn)?，

即

求解可得，

另一個(gè)為廣義特征向量，設(shè)為根據(jù)

最后確定的特征向量。由得解出，。（3）構(gòu)造變換陣：（4）計(jì)算：（5）變換后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：若為友矩陣，具有m重實(shí)特征值，且只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量與之對(duì)應(yīng)，則A可化為約當(dāng)陣J:

且其變換陣為：其中：

的廣義特征向量

互異特征值對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量解：（1）系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為例2.16試將下列狀態(tài)方程變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

解出特征值為（2）構(gòu)造變換陣

由于A為友矩陣，故因此（3）計(jì)算：推而廣之：如果A具有多個(gè)重特征值，即式中各分量可由如下公式確定：則使A化為約當(dāng)陣的變換陣P為：本章總結(jié)1、介紹了有關(guān)狀態(tài)空間描述的基本概念（狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)矢量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程、輸出方程、狀態(tài)空間表達(dá)式、狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖）2、介紹了狀態(tài)空間表達(dá)式建立的多種方法

ⅰ、由系統(tǒng)的物理機(jī)理出發(fā)推導(dǎo)狀態(tài)空間表達(dá)式

ⅱ、由控制系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系求出狀態(tài)空間表達(dá)式

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