高中數(shù)學(xué)必修四任意角與弧度制知識(shí)點(diǎn)匯總

隨意角與弧度制知識(shí)梳理:一、隨意角和弧度制1、角的觀點(diǎn)的推行定義：一條射線OA由本來的地點(diǎn)，繞著它的端點(diǎn)O按必定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角，記作：角或能夠簡記成。注意：1）“旋轉(zhuǎn)”形成角，突出“旋轉(zhuǎn)”2）“極點(diǎn)”“始邊”“終邊”“始邊”常常合于x軸正半軸3）“正角”與“負(fù)角”——這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。例1、若90135，求和的范圍。（0,45）（180,270）2、角的分類：因?yàn)橛谩靶D(zhuǎn)”定義角以后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了。能夠?qū)⒔欠譃檎?、零角和?fù)角。正角：依據(jù)逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)定的角。零角：沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角。負(fù)角：依據(jù)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角。例2、（1）時(shí)針走過2小時(shí)40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是-960（2）將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是3．3、“象限角”為了研究方便，我們常常在平面直角坐標(biāo)系中來議論角，角的極點(diǎn)合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊合于x軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角角的終邊落在座標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限，稱為軸線角。例1、30?；390?；?330?是第象限角300?；?60?是第象限角585?；1180?是第象限角?2000?是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，則A∩B=④（填序號(hào)）.①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③{第一象限的角}④以上都不對(duì)2）已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是（B）A．B=A∩CB．B∪C=CC．ACD．A=B=C例3、寫出各個(gè)象限角的會(huì)合：例4、假如第二象限的角，試分別確立2,的終邊所在地點(diǎn).2解∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.（2）∵k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），2當(dāng)k=2n（n∈Z）時(shí)，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；2當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時(shí)，n·360°+225°＜＜n·360°+270°.2∴是第一或第三象限的角.2拓展：已知是第三象限角，問是哪個(gè)象限的角3∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），60°+k·120°＜＜90°+k·120°.3①當(dāng)k=3m(m∈Z)時(shí)，可得60°+m·360°＜＜90°+m·360°（m∈Z）.3故的終邊在第一象限.3②當(dāng)k=3m+1(m∈Z)時(shí)，可得180°+m·360°＜＜210°+m·360°（m∈Z).3故的終邊在第三象限.3③當(dāng)k=3m+2（m∈Z）時(shí)，可得300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）.3故的終邊在第四象限.3綜上可知，是第一、第三或第四象限的角.34、常用的角的會(huì)合表示方法1、終邊相同的角：1）終邊相同的角都能夠表示成一個(gè)0?到360?的角與k(kZ)個(gè)周角的和。2）全部與?終邊相同的角連同?在內(nèi)能夠組成一個(gè)會(huì)合S

|

k360,k

Z即：任何一個(gè)與角

?終邊相同的角，都能夠表示成角

?與整數(shù)個(gè)周角的和注意：1、k

Z2、是隨意角3、終邊相同的角不必定相等，但相等的角的終邊必定相同。終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍。4、一般的，終邊相同的角的表達(dá)形式不獨(dú)一。例1、（1）若角的終邊與8角的終邊相同，則在0,2上終邊與的角終邊相5

4同的角為

。若θ角的終邊與8π/5的終邊相同則有：θ=2kπ+8π/5(k為整數(shù))因此有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5當(dāng)：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0時(shí)，有2π/5與θ/4角的終邊相同的角k=1時(shí)，有9π/10與θ/4角的終邊相同的角（2）若和是終邊相同的角。那么在X軸正半軸上例2、求全部與所給角終邊相同的角的會(huì)合，并求出此中的最小正角，最大負(fù)角：（1）210；（）148437．2例3、求，使與900角的終邊相同，且180，1260．2、終邊在座標(biāo)軸上的點(diǎn)：終邊在x軸上的角的會(huì)合：|k180,kZ終邊在y軸上的角的會(huì)合：|k18090,kZ終邊在座標(biāo)軸上的角的會(huì)合：|k90,kZ3、終邊共線且反向的角：終邊在y=x軸上的角的會(huì)合：|k18045,kZ終邊在yx軸上的角的會(huì)合：|k18045,kZ4、終邊相互對(duì)稱的角：若角與角的終邊對(duì)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊對(duì)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：

360k360k180180k角與角的終邊相互垂直，則角與角的關(guān)系：360k90例1、若k360，m360(k,mZ)則角與角的中變得地點(diǎn)關(guān)系是（）。A.重合B.對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱C.對(duì)于x軸對(duì)稱D.有對(duì)于y軸對(duì)稱例2、將以下各角化成0到2的角加上2k(kZ)的形式（1）19（2）3153例3、設(shè)會(huì)合Ax|k36060xk360300,kZ,Bx|k360210xk360,kZ,求AB,AB.二、弧度與弧度制1、弧度與弧度制：弧度制—另一種胸懷角的單位制，它的單位是rad讀作弧度定義：長度等于的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角。BCl=2rr2rad1radArAoo如圖：?AOB=1rad，?AOC=2rad，周角=2?rad注意：1、正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是02、角?的弧度數(shù)的絕對(duì)值l（l為弧長，r為半徑）r3、用角度制和弧度制來胸懷零角，單位不一樣，但數(shù)目相同（都是0）用角度制和弧度制來胸懷任一非零角，單位不一樣，量數(shù)也不一樣。4、在同一個(gè)式子中角度、弧度不能夠混用。2、角度制與弧度制的換算弧度定義：對(duì)應(yīng)弧長等于半徑所對(duì)應(yīng)的圓心角大小叫一弧度角度與弧度的交換關(guān)系：∵360?=rad180?=rad1?=rad0.01745rad1801rad18057.305718'注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.例1、把6730'化成弧度解：6730'671∴6730'rad6713rad218028例2、把3rad化成度5解：3rad318010855例2、將以下各角從弧度化成角度（1）rad（2）rad?（3）3rad365例3、1?終邊在x軸上的角的會(huì)合2?終邊在y軸上的角的會(huì)合3?用弧度制表示：終邊在座標(biāo)軸上的角的會(huì)合解：1?終邊在x軸上的角的會(huì)合S1|k,kZ2?終邊在y軸上的角的會(huì)合S2|k,kZ23?終邊在座標(biāo)軸上的角的會(huì)合S3|k,kZ2三、弧長公式和扇形面積公式lr；S1lR1r222例1、已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是1或4.例2、若兩個(gè)角的差為1弧度，它們的和為1，求這連個(gè)角的大小分別為。例3、直徑為20cm的圓中，求以下各圓心所對(duì)的弧長⑴4⑵1654403解：r10cm⑴：()lr103cm3⑵：165165(rad11rad∴1155( )18012126例4、（1）一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度是多少度扇形的面積是多少（2）一扇形的周長為

20cm，當(dāng)扇形的圓心角

等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大解（1）設(shè)扇形的圓心角是因此扇形的周長是2r+r.依題意，得2r+r=r,

rad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L是

r

,∴

=

-2=(

-2)

×

180≈×°≈°≈

65°26′,∴扇形的面積為

S=1r2

=1（

-2）r2.22）設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20,即l=20-2r(0＜r＜10)①1扇形的面積S=lr，將①代入，得S=1(20-2r)r=-r

2+10r=-(r-5)

2+25,2因此當(dāng)且僅當(dāng)

r=5

時(shí)，S有最大值

25.此時(shí)l=20-2

×5=10,

=lr

=2.因此當(dāng)

=2rad

時(shí)，扇形的面積取最大值

.例5、（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大最大面積是多少解設(shè)扇形半徑為R，中心角為，所對(duì)的弧長為l.1R24,（1）依題意，得2R2R10,∴22-17+8=0,∴=8或1.28＞2π,舍去,∴=1.2(2)扇形的周長為40,∴R+2R=40，S=1lR=1R=1R·2R≤1R2R2222442當(dāng)且僅當(dāng)R=2R,即R=10,=2時(shí)面積獲得最大值，最大值為100.（七）隨意角的三角函數(shù)（定義）1．設(shè)?是一個(gè)隨意角，在?的終邊上任取（異于原點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y），則P與原點(diǎn)的距離2y2y20rxx22．比值y叫做?的正弦記作：siny；比值x叫做?的余弦記作：cosxrrrr比值y叫做?的正切記作：tany；比值x叫做?的余切記作：xxyxcoty比值r叫做?的正割記作：secr；比值r叫做?的余割記作：xxyrcscy注意突出幾個(gè)問題：①角是“隨意角”，當(dāng)?=2k?+?(k?Z)時(shí)，?與?的同名三角函數(shù)值應(yīng)當(dāng)是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。②實(shí)質(zhì)上，假如終邊在座標(biāo)軸上，上述定義相同合用。③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)r0，而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不一樣，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確立三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：⑤定義域：ysinycotycosysecytanycsc4.是第二象限角，P（x，5）為其終邊上一點(diǎn)，且cos=2x,則sin=10.44.已知角的終邊落在直線sincos2.y=-3x(x＜0)上，則cossin例8、已知?的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,?3)，求?的六個(gè)三角函數(shù)值y解：x2,y3,r22(3)213ox∴sin?=?31313tan?=?3P(2,-3)2

213cos?=132cot?=?313sec?=2例9、求以下各角的六個(gè)三角函數(shù)值0⑵?⑶3⑷

csc?=?

13322解：⑴⑵⑶的解答見P16-17⑷當(dāng)?=時(shí)x0,yr2∴sin=1cos=0