1986年高考數(shù)學(xué)試題及其參考答案

/6兀兀(B)2(cos——+isin——).兀.7T(JD)_2(占兀兀(B)2(cos——+isin——).兀.7T(JD)_2(占1n—-icos【】【】(A)一條平行于x軸的直線(C)一個圓(D)一條拋物線(5)給出20個數(shù)879194889391909288909186它們的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)189989898792928695881986年高考數(shù)學(xué)試題及其參考答案(理工農(nóng)醫(yī)類)一、本題每一個小題都給出代號為A,B,C,D的四個結(jié)論,其中只有一個結(jié)論是正確的,把正確結(jié)論的代號寫在題后的括號內(nèi).(1)在下列各數(shù)中,已表示成三角形式的復(fù)數(shù)是%%(A)2(cosism——)兀兀(C)2(sin—+icos—)(2)函數(shù)y=(0.2)-x+1的反函數(shù)是(A)y=log5x+1(B)y=logx5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1⑶極坐標(biāo)方程PcosQ二右表示(B)一條垂直于x軸的直線【(6)設(shè)甲是乙的充分條件,乙是丙的充要條件,丙是丁的必要條件,那么丁是甲的(A)充分條件(B)必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要的條件】(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲線關(guān)于直線y=x對稱,那么必有(A)D=E(B)D=F(C)E=F(D)D=E=F【】(8)在正方形SG1G2G3中E、F分別是G1G2及G2G3的中點,D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使Gi、G2、G3三點重合，重合后的點記為G.那么，在四面體S—EFG中必有(A)SGEFG所在平面(B)SDEFG所在平面(C)GF丄ASEF所在平面(D)GD丄ASEF所在平面【】⑼在下列各圖中,y=ax2+bx與y=ax+b(abMO)的圖象只可能是(10)當(dāng)x￡[-1,0]時，在下面關(guān)系式中正確的是(A)兀-arccos(-K)=arcsin-^,TT-arc=arcc0s-/1-(D)-arcsinn=arccosjl-x2【】二、只要求直接寫出結(jié)果.⑴求方程沖％S二仍的解.⑵已知心=丄羋，求oP+①+1的值(3)在xoy平面上，四邊形ABCD的四個頂點坐標(biāo)依次為(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求這個四邊形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積.㈢求(2/-士尸展開式中的常數(shù)項.的己知giiiB-cos9=丄「求-cos30的值.三、如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓周上不同于A、B的任意一點.求證:平面PAC垂直于平面PBC.四、當(dāng)sin2x>0時，求不等式logo.5(X2-2x-15)>logo.5(x+13)的解集.五、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,在y軸的正半軸(坐標(biāo)原點除外)上給定兩點A、B.試在x軸的正半軸(坐標(biāo)原點除外)上求點C,使ZACB取得最大值.六、已知集合A和集合B各含有12個元素,AnB含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數(shù)：(I)CcAuB,且C中含有3個元素，(II)Cn4豐表不空集).七、過點M(-1,O)的直線11與拋物線y2=4x交于Pi、P2兩點?記:線段P1P2的中點為P;過點P和這個拋物線的焦點F的直線為12；11的斜率為k.試把直線12的斜率與直線11的斜率之比表示為k的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間,同時說明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù).八、己知迪工0円工1「且％=二冬;J?=12…)?試證=數(shù)列僅J或者對任意自然數(shù)n都滿足濁V%,或?qū)θ我庾匀粩?shù)n都滿足％九、(附加題不計入總分)求y=xarctgx2的導(dǎo)數(shù).求過點〔-1?并與曲線嚇臭相切的直線方程.1986年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)答案一、本題考查基本概念和基本運算.(1)B;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B;(6)D;(7)A;(8)A;(9)D;(10)C.二、本題考查基礎(chǔ)知識和基本運算,只需直接寫出結(jié)果.⑴筈嚴(yán)卜嚴(yán)弓;⑵0；⑶字兀(4)*(5)-40,($)￡三、本題考査空間直線和平面的位置關(guān)系及推證能力.證明:設(shè)圓O所在平面為a.由已知條件,PA丄平面a,又BC在平面a內(nèi)，因此PAIBC.因此ZBCA是直角，因此BC丄AC.而PA與AC是厶PAC所在平面內(nèi)的相交直線，因此BC丄APAC所在平面.從而證得厶PBC所在平面與APAC所在平面垂直.四、本題主要考査對數(shù)和不等式知識及運算推導(dǎo)能力.解:滿足sin2x>0的x取值范圍是TOC\o"1-5"\h\z疋兀c袈v上兀+扌左C厶①而由logo.5(X2-2x-15)>logo.5(x+13)以及對數(shù)函數(shù)的定義域及性質(zhì)得到

x2-2x-15<x+13,②x2-2x-15>0,③x+13>0,④解不等式②得:-4<x<7,⑤解不等式③及④得-13vxv-3或x>5.⑥綜合①、⑤及⑥，可知所求的解集為(-n,-3)U(2n,7).五、本題主要考查三角函數(shù)、函數(shù)最大(小)值知識及分析問題的能力.解:設(shè)點A的坐標(biāo)為(0,a)、點B的坐標(biāo)為(O,b),Ovbva,又設(shè)所求點C的坐標(biāo)為(x，0)，x>0.記ZBCA=a,ZOCB=B，則ZOCA=a+B.現(xiàn)在有tgO-=tg[(Cl+P)-P]_tg(Cl+P)-tgP_l+tg(Cl+P)tgPaba-b—a-b那么當(dāng)鬣f區(qū)時，諏得最小值2因此各"時窗取得最大值總,因為在。斗)地口是增函數(shù)，所以當(dāng)蓋=后時,ZACB取得最大值故所求點C的坐標(biāo)為(7ab;0).注不要求考生說明楓淀是最大值的理由.六、本題考查排列組合、集合等知識與分析問題的能力.解法一:因為A、B各含12個元素,AQB含4個元素，因此,

AUB元素的個數(shù)是12+12-4=20.滿足題目條件(I)的集合的個數(shù)是C和在上面集合中，還滿足A門C=0的集合C的個數(shù)是①，

因此，所求集合C的個數(shù)是C^-C^1084.解法二:由題目條件可知，屬于B而不屬于A的元素個數(shù)是12-4=8.因此在AUB中只含査中1個元素的所要求的集合C的個數(shù)為W含直中2個元素的集合C的個數(shù)是含A中?個元素的集合C的個數(shù)是,所以，所求集合C的個數(shù)是七、本題考查直線、拋物線和函數(shù)的基本知識及綜合推導(dǎo)能力.解:由已知條件可知，直線11的方程是y=k(x+1)，①TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"把①代入拋物線方程y2=4x，整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0，②因此，直線厶與該拋物線有兩個交點的充要條件是：(2k2-4)2-4k2?k2>0,③\o"CurrentDocument"及kM0.④解出③與④得到kw(-1,0)U(0,1)二_現(xiàn)在設(shè)點P的坐標(biāo)為(爲(wèi)y),則直鎖］的斜率"土，而直線1］的斜率k2二』〒記逆)二￥貝庇(叮二斗一今記11與拋物線的兩個交點P1與P2的橫坐標(biāo)分別為X1和X2,由韋達(dá)定理及②得冏+衍二4(-l?0)U(0?l))因此由此得到f(k>因此由此得到f(k>rp定義域是(-1,0)u(0,1).顯餒,1-疋‘在(-1,0)內(nèi)遞增，在(0,1)內(nèi)遞減.所以=在(0,1)內(nèi)為増函數(shù)，在(JQ)內(nèi)為減函數(shù).

注:可先解出k的取值范圍作為定義域，后給出函數(shù)f(k)的表達(dá)式，也可先給出函數(shù)表達(dá)式，后解出k的取值范圍作為定義域.八、本題主要考查數(shù)列的概念及運用數(shù)學(xué)歸納法解題的能力.證明:首先,由于X1>0,由數(shù)列｛xn｝的定義可知Xn>0,(n=1,2…)所以,％+廠耳與的符號相