曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識課件

1顯式、隱式和參數(shù)表示

在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實驗、觀測或數(shù)值計算獲得的數(shù)據(jù)來繪制出一條光滑的曲線，以描述事物的各種規(guī)律。在汽車、飛機、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計中，要用到大量的曲線和曲面來描述其幾何形狀。表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參數(shù)法。（1）非參數(shù)法

y=f(x)顯函數(shù)(不能表示封閉或多值的曲線）

f(x，y)=0隱函數(shù)（方程的根很難求）（2）參數(shù)法

x=f(t)y=g(t)求導(dǎo)很方便，不會出現(xiàn)計算上的困難1顯式、隱式和參數(shù)表示1

對于非參數(shù)表示形式方式（無論是顯式還是隱式）存在下述問題：與坐標(biāo)軸相關(guān)；會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）；對于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；不便于計算機編程。

值得一提的是,隱式方程的優(yōu)點也很明顯.通過將某一點的坐標(biāo)代入隱式方程,計算其值是否大于、等于、小于零，能夠容易判斷出該點是落在隱式方程所表示的曲線（曲面）上還是某一側(cè)。利用這個性質(zhì)，在曲線曲面求交時將會帶來莫大的方便。對于非參數(shù)表示形式方式（無論是顯式還是隱式2在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即曲線上任一點的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點P可表示為：

P(t)=[x(t),y(t)]；

空間曲線上任一三維點P可表示為：

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]；在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即曲線上3

最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：

P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];

圓在計算機圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為：其參數(shù)形式可表示為：最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為P1、P24

在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：

（1）可以滿足幾何不變性的要求。（2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為：只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達式為：有8個系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。

在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、5

（3）對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換，必須對曲線、曲面上的每個型值點進行幾何變換；而對參數(shù)表示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換。（4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計算。（5）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1]，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。（3）對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換，6有一空間點A，從原點O到A點的連線表示一個矢量，此矢量稱為位置矢量。空間一點的位置矢量有三個坐標(biāo)分量，而空間曲線是空間動點運動的軌跡，也就是空間矢量端點運動形成的矢端曲線，其矢量方程為：2參數(shù)曲線的定義及其位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率

有一空間點A，從原點O到A點的連線表示一個矢量，此矢量稱為位7此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為：此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為：8規(guī)范化區(qū)間若t的區(qū)間：[a,b]，如果把它轉(zhuǎn)換為[0,1]，如何做？方法（相似性，比例不變）：

t’=(t-a)/(b-a),則t’[0,1]規(guī)范化區(qū)間若t的區(qū)間：[a,b]，如果把它轉(zhuǎn)換為[0,1]9型值點——指通過測量或計算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點?？刂泣c——指用來控制或調(diào)整曲線曲面形狀的特殊點，曲線曲面本身不一定通過控制點。3擬合、逼近、插值和光順

型值點——指通過測量或計算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形10

曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。

曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀11曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點列曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的12求給定型值點之間曲線上的點稱為曲線的插值。將連接有一定次序控制點的直線序列稱為控制多邊形或特征多邊形求給定型值點之間曲線上的點稱為曲線的插值。134連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進行描述：參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性4連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進行描述：參數(shù)連141.參數(shù)連續(xù)性0階參數(shù)連續(xù)性，記作C0連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即1.參數(shù)連續(xù)性151階參數(shù)連續(xù)性記作C1連續(xù)性，指代表兩個相鄰曲線段的方程在相交點處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：1階參數(shù)連續(xù)性162階參數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)性，指兩個相鄰曲線段的方程在相交點處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

2階參數(shù)連續(xù)性，172.幾何連續(xù)性0階幾何連續(xù)性，記作G0連續(xù)性，與0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿足：1階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點處成比例2階幾何連續(xù)性，記作G2連續(xù)性，指相鄰曲線段在交點處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。2.幾何連續(xù)性1階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)在相181顯式、隱式和參數(shù)表示

在工程上，曲線曲面的應(yīng)用十分廣泛。如根據(jù)實驗、觀測或數(shù)值計算獲得的數(shù)據(jù)來繪制出一條光滑的曲線，以描述事物的各種規(guī)律。在汽車、飛機、船舶的等產(chǎn)品的外形設(shè)計中，要用到大量的曲線和曲面來描述其幾何形狀。表示曲線和曲面的基本方法有兩種：參數(shù)法和非參數(shù)法。（1）非參數(shù)法

y=f(x)顯函數(shù)(不能表示封閉或多值的曲線）

f(x，y)=0隱函數(shù)（方程的根很難求）（2）參數(shù)法

x=f(t)y=g(t)求導(dǎo)很方便，不會出現(xiàn)計算上的困難1顯式、隱式和參數(shù)表示19

對于非參數(shù)表示形式方式（無論是顯式還是隱式）存在下述問題：與坐標(biāo)軸相關(guān)；會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）；對于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；不便于計算機編程。

值得一提的是,隱式方程的優(yōu)點也很明顯.通過將某一點的坐標(biāo)代入隱式方程,計算其值是否大于、等于、小于零，能夠容易判斷出該點是落在隱式方程所表示的曲線（曲面）上還是某一側(cè)。利用這個性質(zhì)，在曲線曲面求交時將會帶來莫大的方便。對于非參數(shù)表示形式方式（無論是顯式還是隱式20在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即曲線上任一點的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點P可表示為：

P(t)=[x(t),y(t)]；

空間曲線上任一三維點P可表示為：

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]；在幾何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即曲線上21

最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為P1、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：

P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];

圓在計算機圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為：其參數(shù)形式可表示為：最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點為P1、P222

在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：

（1）可以滿足幾何不變性的要求。（2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為：只有四個系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達式為：有8個系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。

在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、23

（3）對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換，必須對曲線、曲面上的每個型值點進行幾何變換；而對參數(shù)表示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進行幾何變換。（4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計算。（5）參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴展到高維空間去。這種變量分離的特點使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1]，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計算。（3）對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進行變換，24有一空間點A，從原點O到A點的連線表示一個矢量，此矢量稱為位置矢量。空間一點的位置矢量有三個坐標(biāo)分量，而空間曲線是空間動點運動的軌跡，也就是空間矢量端點運動形成的矢端曲線，其矢量方程為：2參數(shù)曲線的定義及其位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率

有一空間點A，從原點O到A點的連線表示一個矢量，此矢量稱為位25此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為：此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為：26規(guī)范化區(qū)間若t的區(qū)間：[a,b]，如果把它轉(zhuǎn)換為[0,1]，如何做？方法（相似性，比例不變）：

t’=(t-a)/(b-a),則t’[0,1]規(guī)范化區(qū)間若t的區(qū)間：[a,b]，如果把它轉(zhuǎn)換為[0,1]27型值點——指通過測量或計算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點?？刂泣c——指用來控制或調(diào)整曲線曲面形狀的特殊點，曲線曲面本身不一定通過控制點。3擬合、逼近、插值和光順

型值點——指通過測量或計算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形28

曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。

曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀29曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點列曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的30求給定型值點之間曲線上的點稱為曲線的插值。將連接有一定次序控制點的直線序列稱為控制多邊形或特征多邊形求給定型值點之間曲線上的點稱為曲線的插值。314連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進行描述：參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性4連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進行描述：參數(shù)連321.參數(shù)連續(xù)性0階參數(shù)連續(xù)性，記作C0連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即1.參數(shù)連續(xù)性331階參數(shù)連續(xù)性記作C1連續(xù)性，指代表兩個