概率論-區(qū)間估計(jì)課件

概率與統(tǒng)計(jì)

第十九講區(qū)間估計(jì)主講教師:于紅香e-mail:fishr2001@163.com對(duì)于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用“理解”、“了解”、“知道”三級(jí)來(lái)表述；對(duì)于方法，運(yùn)算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會(huì)”）三級(jí)來(lái)表述。學(xué)習(xí)要求理解區(qū)間估計(jì)的概念會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間第四節(jié)區(qū)間估計(jì)第四節(jié)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間定義置信區(qū)間的求法單側(cè)置信區(qū)間

引言前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含參數(shù)真值.湖中魚數(shù)的真值[

]這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的，稱為置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作，這里是一個(gè)很小的正數(shù).可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.~N(0,1)選的點(diǎn)估計(jì)為,求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.例1設(shè)X1,…Xn是取自的樣本，尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).解尋找一個(gè)含待估參數(shù)的隨機(jī)變量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.二、置信區(qū)間的求法從中解得對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得使也可簡(jiǎn)記為于是所求的置信區(qū)間為從例1解題的過(guò)程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.尋找參數(shù)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T(X1,X2,…Xn)

2.尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)U(T,),且其分布為已知.3.對(duì)于給定的置信水平

，根據(jù)U(T,)的分布，確定常數(shù)a,b（一般為分位數(shù)），使得P(a<U(T,)<b)=

4.對(duì)“a<U(T,)<b”作等價(jià)變形,得到如下形式:即于是就是的100(

)％的置信區(qū)間.可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)U(T,),且U(T,)的分布為已知,不依賴于任何未知參數(shù).而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要.在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a=-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來(lái)計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度越長(zhǎng).三、單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了.這時(shí),可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是

的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.定義稱為的置信水平為的單側(cè)置信下限.對(duì)于任意,滿足若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是

的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為的置信水平為的單側(cè)置信上限.對(duì)于任意,設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.

例2

從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280方差未知解的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值,對(duì)給定的置信水平

，確定分位點(diǎn)使即于是得到的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間為

將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置信水平為的單側(cè)置信下限為即

正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)單個(gè)總體的情況兩個(gè)總體的情況課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)一、單個(gè)總體的情況并設(shè)為來(lái)自總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差.均值的置信區(qū)間為已知可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為或?yàn)槲粗傻玫?/p>

的置信水平為的置信區(qū)間為此分布不依賴于任何未知參數(shù)由或

例1有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量(以克計(jì))如下:506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體均值的置信水平0.95為的置信區(qū)間.解這里于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為即方差的置信區(qū)間由可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為由可得到標(biāo)準(zhǔn)差

的置信水平為的置信區(qū)間為例2有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量(以克計(jì))如下:506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平0.95為的置信區(qū)間.解這里于是得到的置信水平為的置信區(qū)間為即二、兩個(gè)總體的情況設(shè)已給定置信水平為,并設(shè)是來(lái)自第一個(gè)總體的樣本,是來(lái)自第二個(gè)總體的樣本,這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立.且設(shè)分別為第一、二個(gè)總體的樣本均值,為第一、二個(gè)總體的樣本方差.兩個(gè)總體均值差的置信區(qū)間為已知因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以相互獨(dú)立.故或于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為為未知其中于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為其中例3

為比較I,Ⅱ兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取I型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)地?、蛐妥訌?0發(fā),得到槍口速度的平均值為標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布.且生產(chǎn)過(guò)程可認(rèn)為方差相等.求兩總體均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解依題意,可認(rèn)為分別來(lái)自兩總體的樣本是相互獨(dú)立的.又因?yàn)橛杉僭O(shè)兩總體的方差相等,但數(shù)值未知,故兩總體均值差的置信水平為的置信區(qū)間為其中這里故兩總體均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間為即(3.07,4.93).兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間(為已知)由即可得到的置信水平為的置信區(qū)間為

例4

研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑,隨機(jī)地抽取機(jī)器A生產(chǎn)的鋼管18只,測(cè)得樣本方差隨機(jī)地取機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管13只,測(cè)得樣本方差設(shè)兩樣本相互獨(dú)立,且設(shè)由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布這里(i=1,2)均未知.試求方差比的置信水平為0.90的置信區(qū)間.這里即(0.45,2.79).解故兩總體方差比的置信水平為0.90的置信區(qū)間為1。某單位要估計(jì)平均每天職工的總醫(yī)療費(fèi)，觀察了30天,其總金額的平均值是170元,標(biāo)準(zhǔn)差為30元，試決定職工每天總醫(yī)療費(fèi)用