空間向量練習題

空間向量在立體幾何中的應用【知識梳理】1、已知直線i,i的方向向量分別為丁,丁，平面a,p的法向量分別為n,n，則(1)I//：o(3)(1)I//：o(3)若直線l],l2的夾角為0，則cos0=(4)(6)若直線(6)若直線l1與面a的成角為?，則如吁(7)(9)若(7)(9)若面a與面P成二面角的平面角為。，則；(8)面。工面。今2、(1)三余弦定理：；(2)三垂線定理(及逆定理)： (3)二面角的平面角定義(范圍)：【小試牛刀】1、A(1,1,-2)、B(1,1,1),則線段AB的長度是()A.1B.2C.3D.4A.1B.2C.3D.42、向量2、向量a=(12,-2),b=(-2,-4,4),則a與b(人相交B.垂直C.平行D.人相交B.垂直C.平行D.以上都不對3.如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點.若AB=a,11AD=b,AA=c，則下列向量中與BMAD=b,AA=c，則下列向量中與BM相等的向量是(——a+—b+c2 21 1~a+—b+c2 21 1—a——b+c2 21 1——a——b+c2 2)/L4.下列等式中，使點M與點A、B、C一定共面的是OMOM=3OA—2OB—OCOM=1OA+1OB+1OCOMOM+OA+OB+OC=0MA+MB+MC=05.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,點E、F分別是AB、AD的中點，則斯?DC等于

3v3C. 46.若a=(1,九,2)b=（2,-1,1）,a與6.若a=(1,九,2)A.17或-1B.-17或1C.-1D.17.設OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段AB的中點A.17或-1B.-17或1C.-1D.17.設OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段AB的中點P到點C的距離為B.至2C. 4D-538.如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結論錯誤的是A.BD〃平面CB1D1 B.AC1±BDC.A],平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA產1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為A區(qū)B2.5C<15A. B. C.3 5 5.力ABC的三個頂點分別是4（1,-1,2）B(5,-6,2),C(1,3,-1)，則AC邊上的高BD長A.5B.J41C.4D.2V15.設a=(x,4,3),b=(3,-2,y)，且a//b，則xy=.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),九a+b[=<29且九〉0，貝U九二.在直角坐標系xOy中，設A（-2,3），B（3,-2），沿x軸把直角坐標平面折成大小為0的二面角后，這時4B|=2<11，則0的大小為.如圖，P—ABCD是正四棱錐，ABCD-ABCD是正方體，1111其中AB=2,PA=屈，則B]到平面PAD的距離為.15、已知a=（2,4,x）,b=（2,y,2），若a=6且a1b，求x+y值.16如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1c1中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；(2)求cos<BA，CB>的值1 1(3)求證：A1B±C1M..如圖，在四面體ABCD中，CB=CD,AD±BD,點E,F分別是AB,BD的中點.求證：(1)直線EF//面ACD；(2)平面EFC±面BCD..(本小題滿分14分)如圖，已知點P在正方體ABCD-A'B'C'D'的對角線BD，上，ZPDA=60°.(1)求DP與CC,所成角的大?。?2)求DP與平面AA'D'D所成角的大小..(本小題滿分14分)已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點.(1)求四棱錐P-ABCD的體積；(2)是否不論點E在何位置，都有BDLAE?證明你的結論;(3)若點E為PC的中點，求二面角D-AE-B的大小.

TOC\o"1-5"\h\z參考答案1、C 2、C____i_ 1 . 11. “、心.BM=BB+BM=AA+-(BA+BC)=c+-(-a+b)=—-a+-b+c，故選A.ii i2 2 2 2由于M、A、B、C四點共而0OM=xOA+yOB+zOC(x,y,zgR)且x+y+z=1.??選項(A)、(B)、(C)都不正確由于mA+MB+MC=0=MA=—mB—MC所以存位=-1,y=i,使MA=xMB+yMC：.MA,MB,MC共面由于M為公共點M、A、B、C四點共面，故選D.丁E,F分別是AB,AD的中點八EF//BD且EF=1BD,AEF=1BD2 21X1X1Xcos1200=-1故選B.1X1X1Xcos1200=-1故選B.2 4EF?DC=—BD?DC=—BD?DCcos<BDEF?DC=26.B 7.B 8.D9.D10.由于|ad|10.由于|ad|=|ab|.[os<AB,AC〉IAB.aC\441ac1一4,所以|bd|=\\bb2-aD2故選ATOC\o"1-5"\h\z11.9 12.313.作AC，x軸于C,BD，x軸于D,貝UAB=AC+CD+dB■.二■ ■ ■ ■ n B H-AC=3,CD=5,DB=2,AC-CD=0,CD-DB=0,AC-DB=AC-DBcos(1800-0)=-6cos0R2 2LL2=(AC+CD+DB)2=B^CF+C^D\+D^B\2+2(AC-CD+CD-DB+DB-AC)/.(2V11)2=32+52+22+2(0-0-6cos0),「.cos0=-1.由于00<0<1800,/.0=1200214.以A1B1為x軸，A1D]為y軸，A為z軸建立空間直角坐標系設平面PAD的法向量是m=(x,y,z)，bAD=(0,2,0),AP=(1,1,2),Ay=0,x+y+2z=0，取z=1得m=(-2,0,1),BA?m6l?.?BA=(-2,0,2),???B到平面PAD的距離d= =一后.1 m515、解：由a=6n22+42+x2=36，又a±bna?b=0即4+4y+2x=0由①②有：x=4,y=-3或x=-4,y=1/.x+y=1或—3

16、如圖，建立空間直角坐標系0—xyz.(1)依題意得B(0，1，0)、N(1，16、如圖，建立空間直角坐標系0—xyz.(1)依題意得B(0，1，0)、N(1，0，1)??.|BN|=、(1—0)2+(0—1)2+(1—0)2:3(2)依題意得A1(1，0，2)、B(0，/.BA1={-1，—1，2)，CB={0，2，)，ICB；|=在1,0)、C(0,0,0)、,1BA.CB=3/.cos<BA1CB>=1一一二1./30IBAI-ICBI10 .(3)證明:依題意，得C1(02),A1B={—1，1，2)，cM=J」,1 122，110).??AB-CM=——+—+0=0，1 1 2 2.證明：(1).:E,F分別是AB，BD的中點，?EF是4ABD的中位線，,EF〃AD，VADu而ACD，EF亡面ACD，,直線EF〃面ACD；(2)VAD±BD，EF〃AD，?EF，BD，VCB=CD，F(xiàn)是BD的中點，,CF，BD又EFnCF=F, 工BD，面EFC，VBDu面BCD，???面EFC1面BCD..解：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系D—xyz.則Da=(1,0,0)，CC7=(0,0，1).連結BD，B'D'.在平面BBD'D中，延長DP交B'D'于H.設DH=(m,m,1)(m>0),由已知<DH,DA>=60°,由DA*DH=|da||dHIcos<DA,DH>，可得2m=<2m2+1.解得m二半，所以DHJ與，號;豆,2，乙 1NN豆,2，—x0+x0+1x1(1)因為(1)因為cos<DH,CC>=1xv2所以<DH,CC>=45。，即DP與CC所成的角為45。.(2)平面AAfD'D的一個法向量是DC=(0,1,0).

, .. -^-x0+^-X1+1x01因為cos＜加皮＞=---，所以<DHDC>=60°,可得DP與平面AA’DfD所成的角為30。..解：(1)由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正1 2方形，側棱PC，底面ABCD,<PC=2.?V =-S -PC=-P-ABCD3口ABCD 3(2)不論點E在何位置，都有BD±AE證明如下：連結AC,VABCD是正方形，.\BD，AC〈PC，底面ABCD且BDu平面ABCDABD1PC又ACC]PC=C.\BD，平面PAC;不論點E在何位置，都有AEu平面PAC???不論點E在何位置，都有BDXAE⑶解法1：在平面DAE內過點D作DGXAE于G,連結BGVCD=CB,EC=EC,ARtAECD義RtNECB,?ED=EBVAD=AB,AAEDA^AEBA,ABG±EA?ZDGB為二面角D-EA-B的平面角VBCXDE,AD#BC,AAD±DE在RtAADE中DG=AD-dE二三二bGAE＜3在ADGB中，由余弦定理得cosZDGB-DG2+BG2-BD2--12DG-BG 2?ZDGB二生，??二面角D-AE-B的大小為二.33解法2：以點C為坐標原點，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示:PEC則D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),二(0,0,1)，從而PEC設平面ADE和平面ABE的法向量分別為DE=(-1,0,1),DA=(0,1,0),BA