精設(shè)單元作業(yè)助力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

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王春東

作業(yè)的設(shè)計(jì)是學(xué)校教學(xué)工作的重要組成部分，高品質(zhì)的作業(yè)具有穩(wěn)定、整段、應(yīng)用、改進(jìn)等功能。教育部相關(guān)文件中屢屢強(qiáng)調(diào)“嚴(yán)控書面作業(yè)總量、創(chuàng)新作業(yè)類型方式、提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量〞，優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)是每位教師必需直面的一個(gè)重要問題。數(shù)學(xué)學(xué)科具有十分強(qiáng)的系統(tǒng)性，以單元進(jìn)行作業(yè)設(shè)計(jì)能改變作業(yè)類型方式，提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量。

對(duì)“單元〞的劃分，可以從內(nèi)容的視角認(rèn)識(shí)單元，即傾向于“教材單元〞的界定，也可以適當(dāng)補(bǔ)充部分內(nèi)容，構(gòu)成一個(gè)新的單元。單元作業(yè)目標(biāo)依據(jù)單元教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)既關(guān)注課時(shí)作業(yè)，也關(guān)注跨課時(shí)作業(yè)；

既能檢測(cè)學(xué)生課時(shí)知識(shí)把握程度，也能通過單元作業(yè)逐步梳理知識(shí)間的聯(lián)系，提升學(xué)生能力；

可以在穩(wěn)定單元知識(shí)同時(shí)側(cè)重生活實(shí)際的聯(lián)系，進(jìn)行課外拓展和延伸，重視實(shí)踐應(yīng)用，提煉數(shù)學(xué)學(xué)科思維方式，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

下面以滬教版九年級(jí)其次學(xué)期其次十七章第一節(jié)《圓的基本性質(zhì)》為例，摸索單元作業(yè)設(shè)計(jì)，助力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、把握單元學(xué)習(xí)目標(biāo)，制定作業(yè)目標(biāo)

單元學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)定要符合數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)以及教學(xué)基本要求的規(guī)定，本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)有：

1.通過圓的相關(guān)知識(shí)的回想，進(jìn)一步摸索圓的性質(zhì)，把握?qǐng)A心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系及垂徑定理；

2.會(huì)運(yùn)用垂徑定理及其推論解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題；

3.利用圓的基本性質(zhì)的探究，熟悉圓中不同量之間的轉(zhuǎn)化，初步把握?qǐng)A中常見輔助線的添法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究、思維和解決問題的能力。

圍繞單元目標(biāo)，以兩個(gè)定理為主線設(shè)計(jì)單元作業(yè)目標(biāo)。

二、分析內(nèi)容學(xué)習(xí)水平，設(shè)計(jì)框架圖表

在確立單元學(xué)習(xí)目標(biāo)后，就可以有條不紊地對(duì)單元作業(yè)目標(biāo)進(jìn)行梳理，根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)確定學(xué)習(xí)水平、題目類型與題目難度，部分單元目標(biāo)如表1：

三、結(jié)合知識(shí)學(xué)習(xí)要點(diǎn)，設(shè)計(jì)單元作業(yè)

作業(yè)內(nèi)容的設(shè)計(jì)要保證結(jié)構(gòu)的合理性，也要保持匹配已經(jīng)設(shè)定的作業(yè)目標(biāo)，讓作業(yè)設(shè)計(jì)適應(yīng)每個(gè)學(xué)生的發(fā)展需求。通過單元作業(yè)，滲透數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，助力學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（一）章節(jié)梳理，構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)

單元作業(yè)設(shè)計(jì)中，可以通過設(shè)計(jì)一兩個(gè)典型且能包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的問題，讓學(xué)生在問題解決中梳理知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)框架圖，還可以通過問題導(dǎo)學(xué)優(yōu)化解題策略，形成思維導(dǎo)圖完善知識(shí)系統(tǒng)性。

例1：如圖1，在圓O中，直徑CD⊥弦AB，垂足為F，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)E，假如BC=3，（1）求證：AB=BC；

（2）聯(lián)結(jié)OB，試求∠BAE的大小，并求圓O的半徑。

通過問題（1）的解決可以讓學(xué)生穩(wěn)定垂徑定理與圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系兩個(gè)定理，把握兩個(gè)定理的用法；

通過問題（2）的解決，可以幫助學(xué)生梳理圓中相關(guān)角度、線段大小計(jì)算的解題策略。

章節(jié)知識(shí)的系統(tǒng)梳理可以在完成單元新課教學(xué)后進(jìn)行作業(yè)布置，也可以通過起始課的長(zhǎng)作業(yè)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生架構(gòu)單元內(nèi)容的知識(shí)體系。在學(xué)習(xí)《圓的基本性質(zhì)》這一單元前，學(xué)生已經(jīng)直觀地認(rèn)識(shí)了圓，知道弧、弦、圓心角等概念，根據(jù)所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)作業(yè)：（1）摸索弧、弦、弦心距、圓心角之間的聯(lián)系；

（2）圓中半徑、弦等線段組成的圖形與哪些所學(xué)圖形有聯(lián)系？你是否可以得到其他結(jié)論？

通過起始課和復(fù)習(xí)課的作業(yè)設(shè)計(jì)，前后呼應(yīng)，有效幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)。

（二）知識(shí)透析，滲透思想方法

作業(yè)設(shè)計(jì)中，除了幫助學(xué)生梳理章節(jié)知識(shí)和把握解題技能，還需要讓學(xué)生深入分析所學(xué)知識(shí)，清楚其本質(zhì)，在解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法。

例2：已知圓O的半徑為13，弦AB∥弦CD，且AB=20，CD=24，那么AB與CD的距離是_________

例3：已知圓O的直徑AB長(zhǎng)5，C、D在圓O上，且CD⊥AB，垂足為E，假如CD=3，那么AE=___________

圓是軸對(duì)稱圖形，在作圖時(shí)，假設(shè)AB的位置固定，根據(jù)圓的軸對(duì)稱性，在例2中，CD可以與AB在圓心O的同側(cè)，也可以在圓心O的兩側(cè)，產(chǎn)生分類探討；

在例3中，運(yùn)用一致方法可以得到兩個(gè)答案。在遇到類似問題時(shí)，了解圖形特征，先畫出一種狀況，然后根據(jù)對(duì)稱性畫出同側(cè)、兩側(cè)兩種類型進(jìn)行分類探討，。

在求點(diǎn)與圓的位置關(guān)系相關(guān)問題時(shí)，通過厘清對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系就能分析出位置關(guān)系，表達(dá)數(shù)形結(jié)合思想的滲透。在應(yīng)用垂徑定理及其推論求解半徑、弦心距、弦長(zhǎng)時(shí)也經(jīng)常應(yīng)用方程的思想求解問題。

深入挖掘單元中的數(shù)學(xué)思想，作業(yè)設(shè)計(jì)中重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生對(duì)本章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)系就有更清楚的認(rèn)識(shí)，學(xué)得更活，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（三）應(yīng)用拓展，加強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)

《上海中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“應(yīng)重視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，一方面要選擇具有廣泛性應(yīng)用性的數(shù)學(xué)知識(shí)充實(shí)課程內(nèi)容；

另一方面要開發(fā)數(shù)學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)，加強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)只是分析問題和解決問題的過程。〞

垂徑定理及其推論的應(yīng)用是教學(xué)中的重點(diǎn)，在實(shí)際生活中也有廣泛應(yīng)用，如《九章算術(shù)》中的提出“圓材埋壁〞問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺。問徑幾何？〞在實(shí)際生活中求圓形管內(nèi)水面寬度、卡車能否通過隧道等等，通過實(shí)際問題的分析與解決，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的意識(shí)。

在學(xué)習(xí)圓形物體的半徑、圓環(huán)的半徑等內(nèi)容時(shí)，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。如圖2，在求圓形物體半徑時(shí)，將圓形物體放置在直角處，通過測(cè)量AC的高與直角頂點(diǎn)到圓形物體與直角邊接觸點(diǎn)AB的長(zhǎng)，再應(yīng)用垂徑定理可以求得圓形物體的半徑。

單元作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)通過尋覓生活中與圓有關(guān)的問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)問題，用數(shù)學(xué)的思想方法分析問題、解決問題，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用意識(shí)。

（四）專題整合，提升數(shù)學(xué)能力

單元作業(yè)的設(shè)計(jì)，既要協(xié)助學(xué)生穩(wěn)定、整理單元知識(shí)，也要協(xié)助學(xué)生拓展、提升知識(shí)的綜合運(yùn)用，通過單元專題的整合，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

例4.如圖3，已知半圓O的直徑AB=4，點(diǎn)C、D在半圓O上（點(diǎn)C與點(diǎn)D：不重合），弦BC與半徑OD相交于點(diǎn)E。

（1）假如弧AC=弧CD=弧DB，求DE的長(zhǎng)。

（2）聯(lián)結(jié)AD交BC于F，OD⊥BC

①如圖4，假如AD=BC，求弦AD的長(zhǎng)；

②如圖5，假如點(diǎn)F是弦AD的中點(diǎn)，求∠BAD的余切值。

（3）如圖6，過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，DH交BC于點(diǎn)F，∠DOB=∠CBO

此題中第（1）問通過簡(jiǎn)單應(yīng)用同圓中圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系及垂徑定理解決問題；

第（2）問需要結(jié)合中位線、全等三角形、銳角三角比等知識(shí)解決問題；

第（3）問結(jié)合三角形一邊的平行線、勾股定理等知識(shí)解決問題。作業(yè)設(shè)計(jì)中專題的整合有較強(qiáng)的綜合性，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，需要學(xué)生從多角度去分析問題，多方法解決問題，以提升學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。

單元作業(yè)設(shè)計(jì)要幫助學(xué)生梳理知識(shí)框架