廣東省深圳市福田區(qū)八校2022年中考聯(lián)考數(shù)學試題含解析及點睛

2021-2022中考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．已知關于的方程，下列說法正確的是A．當時，方程無解B．當時，方程有一個實數(shù)解C．當時，方程有兩個相等的實數(shù)解D．當時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解2．實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（）A．a(chǎn)+c＞0 B．b+c＞0 C．a(chǎn)c＞bc D．a(chǎn)﹣c＞b﹣c3．中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學問題，其中《孫子算經(jīng)》中有個問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每三人乘一車，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果我們設有輛車，則可列方程（）A． B．C． D．4．下列圖形中，哪一個是圓錐的側面展開圖？A． B． C． D．5．正比例函數(shù)y=（k+1）x，若y隨x增大而減小，則k的取值范圍是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣16．如圖，在中，面積是16，的垂直平分線分別交邊于點，若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．127．計算結果是()A．0 B．1 C．﹣1 D．x8．如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關系式y(tǒng)＝a（x﹣k）2+h．已知球與D點的水平距離為6m時，達到最高2.6m，球網(wǎng)與D點的水平距離為9m．高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m，則下列判斷正確的是（）A．球不會過網(wǎng) B．球會過球網(wǎng)但不會出界C．球會過球網(wǎng)并會出界 D．無法確定9．如圖是由7個同樣大小的正方體擺成的幾何體．將正方體①移走后，所得幾何體（）A．主視圖不變，左視圖不變B．左視圖改變，俯視圖改變C．主視圖改變，俯視圖改變D．俯視圖不變，左視圖改變10．如圖，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于點E，已知CE?ED=3，BE=1，則⊙O的直徑是（）A．2 B． C．2 D．5二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，在中，,,為邊的高，點在軸上，點在軸上，點在第一象限，若從原點出發(fā)，沿軸向右以每秒1個單位長的速度運動，則點隨之沿軸下滑，并帶動在平面內(nèi)滑動，設運動時間為秒，當?shù)竭_原點時停止運動連接，線段的長隨的變化而變化，當最大時，______.當?shù)倪吪c坐標軸平行時，______.12．如圖所示，一個寬為2cm的刻度尺在圓形光盤上移動，當刻度尺的一邊與光盤相切時，另一邊與光盤邊緣兩個交點處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”（單位：cm），那么該光盤的半徑是____cm.13．關于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是__________．14．分解因式：x2y﹣y＝_____．15．方程的解為．16．如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等．若等腰直角三角形ABC的直角頂點C在l1上，另兩個頂點A、B分別在l3、l2上，則tanα的值是______．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．（1）求證：△ABD是等邊三角形；（2）若BD=3，求⊙O的半徑．18．（8分）如圖1，在等邊三角形中，為中線，點在線段上運動，將線段繞點順時針旋轉，使得點的對應點落在射線上，連接，設（且）．（1）當時，①在圖1中依題意畫出圖形，并求（用含的式子表示）；②探究線段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明；（2）當時，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系．19．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點D，且BD∥OC，連接AC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AB=OC=4，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）20．（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O與BC相切于點D，與AB交于點E，連接ED并延長交AC的延長線于點F．（1）求證：AE=AF；（2）若DE=3，sin∠BDE=，求AC的長．21．（8分）我省有關部門要求各中小學要把“陽光體育”寫入課表，為了響應這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動項目是什么？（只寫一項）”的問題，對在校學生進行了隨機抽樣調(diào)查，從而得到一組數(shù)據(jù)，如圖1是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的條形統(tǒng)計圖，請結合統(tǒng)計圖回答下列問題：該校對多少名學生進行了抽樣調(diào)查？本次抽樣調(diào)查中，最喜歡足球活動的有多少人？占被調(diào)查人數(shù)的百分比是多少？若該校九年級共有400名學生，圖2是根據(jù)各年級學生人數(shù)占全校學生總人數(shù)的百分比繪制的扇形統(tǒng)計圖，請你估計全校學生中最喜歡籃球活動的人數(shù)約為多少？22．（10分）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0）．繞點A旋轉的直線l：y＝kx+b1交拋物線于另一點D，交y軸于點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當點D在第二象限且滿足CD＝5AC時，求直線l的解析式；（3）在（2）的條件下，點E為直線l下方拋物線上的一點，直接寫出△ACE面積的最大值；（4）如圖2，在拋物線的對稱軸上有一點P，其縱坐標為4，點Q在拋物線上，當直線l與y軸的交點C位于y軸負半軸時，是否存在以點A，D，P，Q為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．23．（12分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x的值從不等式組的整數(shù)解中選?。?4．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D，E分別為AB，AC的中點，延長DE到點F，使EF=2DE．（1）求證：四邊形BCFE是平行四邊形；（2）當∠ACB=60°時，求證：四邊形BCFE是菱形．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、C【解析】當時，方程為一元一次方程有唯一解．當時，方程為一元二次方程，的情況由根的判別式確定：∵，∴當時，方程有兩個相等的實數(shù)解，當且時，方程有兩個不相等的實數(shù)解．綜上所述，說法C正確．故選C．2、D【解析】分析：根據(jù)圖示，可得：c<b<0<a,,據(jù)此逐項判定即可.詳解：∵c＜0＜a，|c|＞|a|，∴a+c＜0，∴選項A不符合題意；∵c＜b＜0，∴b+c＜0，∴選項B不符合題意；∵c＜b＜0＜a，c＜0，∴ac＜0，bc＞0，∴ac＜bc，∴選項C不符合題意；∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，∴選項D符合題意．故選D．點睛：此題考查了數(shù)軸，考查了有理數(shù)的大小比較關系，考查了不等關系與不等式.熟記有理數(shù)大小比較法則，即正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負數(shù).3、A【解析】

根據(jù)每三人乘一車，最終剩余2輛車，每2人共乘一車，最終剩余1個人無車可乘，進而表示出總人數(shù)得出等式即可．【詳解】設有x輛車，則可列方程：

3（x-2）=2x+1．

故選：A．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示總人數(shù)是解題關鍵．4、B【解析】

根據(jù)圓錐的側面展開圖的特點作答．【詳解】A選項：是長方體展開圖．B選項：是圓錐展開圖.C選項：是棱錐展開圖.D選項：是正方體展開圖.故選B.【點睛】考查了幾何體的展開圖，注意圓錐的側面展開圖是扇形．5、D【解析】

根據(jù)正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關系列出關于k的不等式k+1＜0，然后解不等式即可．【詳解】解：∵正比例函數(shù)y=（k+1）x中，y的值隨自變量x的值增大而減小，∴k+1＜0，解得，k＜-1；故選D．【點睛】本題主要考查正比例函數(shù)圖象在坐標平面內(nèi)的位置與k的關系．解答本題注意理解：直線y=kx所在的位置與k的符號有直接的關系．k＞0時，直線必經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；k＜0時，直線必經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。?、C【解析】

連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC的中點，故，在根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點A關于直線EF的對稱點為點C，，推出，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結論．【詳解】連接AD，MA∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊上的中點∴∴解得∵EF是線段AC的垂直平分線∴點A關于直線EF的對稱點為點C∴∵∴AD的長為BM+MD的最小值∴△CDM的周長最短故選：C．【點睛】本題考查了三角形線段長度的問題，掌握等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．7、C【解析】試題解析：.故選C.考點：分式的加減法.8、C【解析】分析：（1）將點A(0,2)代入求出a的值；分別求出x=9和x=18時的函數(shù)值，再分別與2.43、0比較大小可得．詳解：根據(jù)題意,將點A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y與x的關系式為當x=9時,∴球能過球網(wǎng)，當x=18時,∴球會出界.故選C.點睛：考查二次函數(shù)的應用題，求范圍的問題，可以利用臨界點法求出自變量的值，根據(jù)題意確定范圍.9、A【解析】

分別得到將正方體①移走前后的三視圖，依此即可作出判斷．【詳解】將正方體①移走前的主視圖為：第一層有一個正方形，第二層有四個正方形，正方體①移走后的主視圖為：第一層有一個正方形，第二層有四個正方形，沒有改變。將正方體①移走前的左視圖為：第一層有一個正方形，第二層有兩個正方形，正方體①移走后的左視圖為：第一層有一個正方形，第二層有兩個正方形，沒有發(fā)生改變。將正方體①移走前的俯視圖為：第一層有四個正方形，第二層有兩個正方形，正方體①移走后的俯視圖為：第一層有四個正方形，第二層有兩個正方形，發(fā)生改變。故選A.【點睛】考查了三視圖，從幾何體的正面，左面，上面看到的平面圖形中正方形的列數(shù)以及每列正方形的個數(shù)是解決本題的關鍵.10、C【解析】

作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，連接OA，根據(jù)相交弦定理求出EA，根據(jù)題意求出CD，根據(jù)垂徑定理、勾股定理計算即可．【詳解】解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，連接OA，由相交弦定理得，CE?ED=EA?BE，即EA×1=3，解得，AE=3，∴AB=4，∵OH⊥AB，∴AH=HB=2，∵AB=CD，CE?ED=3，∴CD=4，∵OG⊥CD，∴EG=1，由題意得，四邊形HEGO是矩形，∴OH=EG=1，由勾股定理得，OA=，∴⊙O的直徑為，故選C．【點睛】此題考查了相交弦定理、垂徑定理、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)；根據(jù)圖形作出相應的輔助線是解本題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、4【解析】

（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD=BD，從而可求出OD=4，然后根據(jù)當O，D，C共線時，OC取最大值求解即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CD，分AC∥y軸、BC∥x軸兩種情況，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理列式計算即可．【詳解】（1），，當O，D，C共線時，OC取最大值，此時OD⊥AB.∵，∴△AOB為等腰直角三角形，∴；（2）∵BC=AC，CD為AB邊的高，∴∠ADC=90°，BD=DA=AB=4，∴CD==3，當AC∥y軸時，∠ABO=∠CAB，∴Rt△ABO∽Rt△CAD，∴，即，解得，t=，當BC∥x軸時，∠BAO=∠CBD，∴Rt△ABO∽Rt△BCD，∴，即，解得，t=，

則當t=或時，△ABC的邊與坐標軸平行．

故答案為t=或．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．12、5【解析】

本題先根據(jù)垂徑定理構造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦長和弓形高，根據(jù)勾股定理求出半徑，從而得解．【詳解】解：如圖，設圓心為O，弦為AB，切點為C．如圖所示．則AB=8cm，CD=2cm．

連接OC，交AB于D點．連接OA．

∵尺的對邊平行，光盤與外邊緣相切，

∴OC⊥AB．

∴AD=4cm．

設半徑為Rcm，則R2=42+（R-2）2，

解得R=5，

∴該光盤的半徑是5cm．

故答案為5【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)及垂徑定理，建立數(shù)學模型是關鍵．13、k≥﹣1【解析】分析：根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△≥0，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出結論．詳解：∵關于x的一元二次方程x2+1x-k=0有實數(shù)根，∴△=12-1×1×（-k）=16+1k≥0，解得：k≥-1．故答案為k≥-1．點睛：本題考查了根的判別式，牢記“當△≥0時，方程有實數(shù)根”是解題的關鍵．14、y（x+1）（x﹣1）【解析】

觀察原式x2y﹣y，找到公因式y(tǒng)后，提出公因式后發(fā)現(xiàn)x2-1符合平方差公式，利用平方差公式繼續(xù)分解可得.【詳解】解：x2y﹣y＝y(tǒng)（x2﹣1）＝y(tǒng)（x+1）（x﹣1）．故答案為：y（x+1）（x﹣1）．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．15、．【解析】試題分析：首先去掉分母，觀察可得最簡公分母是，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解，然后解一元一次方程，最后檢驗即可求解：，經(jīng)檢驗，是原方程的根．16、【解析】如圖，分別過點A，B作AE⊥，BF⊥，BD⊥,垂足分別為E，F(xiàn)，D.∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°.∵AE⊥，BF⊥∴∠CAE+∠ACE=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴∠CAE=∠BCF，∠ACE=∠CBF.∵∠CAE=∠BCF，AC=BC，∠ACE=∠CBF，∴△ACE≌△CBF，∴CE=BF，AE=CF.設平行線間距離為d=l，則CE=BF=BD=1，AE=CF=2，AD=EF=CE+CF=3，∴tanα=tan∠BAD==.點睛：分別過點A，B作AE⊥，BF⊥，BD⊥，垂足分別為E，F(xiàn)，D，可根據(jù)ASA證明△ACE≌△CBF，設平行線間距離為d=1，進而求出AD、BD的值；本題考查了全等三角形的判定和銳角三角函數(shù)，解題的關鍵是合理添加輔助線構造全等三角形；三、解答題（共8題，共72分）17、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）因為AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，根據(jù)角平分線的定義得：∠ACD＝∠ACB＝60°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得∠ACD＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，∠ABD＝∠ADB＝60°.根據(jù)三個角是60°的三角形是等邊三角形得△ABD是等邊三角形.（2）作直徑DE，連結BE，由于△ABD是等邊三角形，則∠BAD＝60°，由同弧所對的圓周角相等，得∠BED＝∠BAD＝60°.根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得，∠EBD＝90°，則∠EDB＝30°，進而得到DE＝2BE.設EB＝x，則ED＝2x，根據(jù)勾股定理列方程求解即可.【詳解】解：（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB=60°，由圓周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°，∴△ABD是等邊三角形；（2）連接OB、OD，作OH⊥BD于H，則DH=BD=，∠BOD=2∠BAD=120°，∴∠DOH=60°，在Rt△ODH中，OD==，∴⊙O的半徑為．【點睛】本題是一道圓的簡單證明題，以圓的內(nèi)接四邊形為背景，圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，在圓中往往通過連結直徑構造直角三角形，再通過三角函數(shù)或勾股定理來求解線段的長度.18、（1）①；②；（2）【解析】

（1）①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)的，進而得出，最后用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結論；②先判斷出，得出，再判斷出是底角為30度的等腰三角形，再構造出直角三角形即可得出結論；（2）同②的方法即可得出結論．【詳解】（1）當時，①畫出的圖形如圖1所示，∵為等邊三角形，∴．∵為等邊三角形的中線∴是的垂直平分線，∵為線段上的點，∴．∵，∴，．∵線段為線段繞點順時針旋轉所得，∴．∴．∴，∴；②；如圖2，延長到點，使得，連接，作于點．∵，點在上，∴．∵點在的延長線上，，∴．∴．又∵，，∴．∴．∵于點，∴，．∵在等邊三角形中，為中線，點在上，∴，即為底角為的等腰三角形．∴．∴．（2）如圖3，當時，在上取一點使，∵為等邊三角形，∴．∵為等邊三角形的中線，∵為線段上的點，∴是的垂直平分線，∴．∵，∴，．∵線段為線段繞點順時針旋轉所得，∴．∴．∴，又∵，，∴．∴．∵于點，∴，．∵在等邊三角形中，為中線，點在上，∴，∴．∴．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，作出輔助線構造出全等三角形是解本題的關鍵．19、（1）證明見解析；（2）；【解析】

（1）連接OD，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CDO=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，又因為OB=OD，所以∠OBD=∠ODB，即∠AOC=∠COD，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到∠CAO=∠CDO=90°，根據(jù)切線的判定即可得證；（2）因為AB=OC=4，OB=OD，Rt△ODC與Rt△OAC是含30°的直角三角形，從而得到∠DOB=60°，即△BOD為等邊三角形，再用扇形的面積減去△BOD的面積即可.【詳解】（1）證明：連接OD，∵CD與圓O相切，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，∵BD∥OC，∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠AOC=∠COD，在△AOC和△DOC中，，∴△AOC≌△EOC（SAS），∴∠CAO=∠CDO=90°，則AC與圓O相切；（2）∵AB=OC=4，OB=OD，∴Rt△ODC與Rt△OAC是含30°的直角三角形，∴∠DOC=∠COA=60°，∴∠DOB=60°，∴△BOD為等邊三角形，圖中陰影部分的面積=扇形DOB的面積﹣△DOB的面積,=．【點睛】本題主要考查切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式等，難度中等，屬于綜合題，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.20、（1）證明見解析；（2）1．【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可．【詳解】（1）連接OD，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED．∵直線BC為⊙O的切線，∴OD⊥BC．∴∠ODB=90°．∵∠ACB=90°，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠F．∴∠OED=∠F．∴AE=AF；（2）連接AD，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°，∵AE=AF，∴DF=DE=3，∵∠ACB=90°，∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，∴∠DAF=∠CDF=∠BDE，在Rt△ADF中，=sin∠DAF=sin∠BDE=，∴AF=3DF=9，在Rt△CDF中，=sin∠CDF=sin∠BDE=，∴CF=DF=1，∴AC=AF﹣CF=1．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形的應用，等腰三角形的判定等，綜合性較強，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.21、（1）該校對50名學生進行了抽樣調(diào)查；（2）最喜歡足球活動的人占被調(diào)查人數(shù)的20%；（3）全校學生中最喜歡籃球活動的人數(shù)約為720人．【解析】

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，求個部分數(shù)量的和即可；（2）根據(jù)部分除以總體求得百分比；（3）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中各部分占總體的百分比之和為1，求出百分比即可求解.【詳解】（1）4+8+10+18+10=50（名）答：該校對50名學生進行了抽樣調(diào)查．（2）最喜歡足球活動的有10人，，∴最喜歡足球活動的人占被調(diào)查人數(shù)的20%．（3）全校學生人數(shù)：400÷（1﹣30%﹣24%﹣26%）=400÷20%=2000（人）則全校學生中最喜歡籃球活動的人數(shù)約為2000×=720（人）．【點睛】此題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚的表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖中各部分占總體的百分比之和為1，直接反應部分占全體的百分比的大小.22、（1）y＝x2+x﹣；（2）y＝﹣x+1；（3）當x＝﹣2時，最大值為；（4）存在，點D的橫坐標為﹣3或或﹣．【解析】

（1）設二次函數(shù)的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3