新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案基本不等式授課方案案例教材人教版《一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（A版）》必修5課題基本不等式授課種類新授課授課目的1、知識與技術(shù)認(rèn)識基本不等式的推導(dǎo)過程，掌握基本不等式取等號的條件；能夠初步運(yùn)用基本不等式及其取等條件解決一些簡單的函數(shù)的最值問題，并能解決一些實(shí)責(zé)問題。2、過程與方法經(jīng)過公式推導(dǎo)過程的授課，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、歸納的思想能力，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，并引導(dǎo)學(xué)生從不相同角度講解基本不等式。3、感神態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)過基本不等式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)實(shí)的邏輯推理能力，經(jīng)過運(yùn)用基本不等式，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。授課重、難點(diǎn)重點(diǎn)：基本不等式的推導(dǎo)以及其取等的條件，運(yùn)用基本不不等式解決一些簡單的函數(shù)的最值問題，并能解決一些實(shí)責(zé)問題。1/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案難點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合思想理解不等式，并從不相同角度講解基本不等式。課前準(zhǔn)備多媒體課件的制作授課過程設(shè)計(jì)一、課題導(dǎo)入觀察圖片，找關(guān)系師：同學(xué)們，現(xiàn)在開始上課，第一我想請大家欣賞一張圖片。（稍有逗留）請問有誰見過這張圖片嗎？生：師：圖1是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色明暗使它看起來像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。（稍作逗留）觀察圖片，能從中找出一些相等也許不相等的關(guān)系嗎？生：圖片中四個(gè)直角三角形的面積之和小于大正方形的面積。2/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案師：特別好，那么可否存在其他的狀況，比方說等于呢？生：師：讓我們帶著問題一起進(jìn)入今天的新課學(xué)習(xí)—基本不等式（設(shè)計(jì)妄圖：讓學(xué)生觀察圖形，從圖形中抽象出不等關(guān)系，并提出問題，激發(fā)學(xué)生的習(xí)興趣，引入學(xué)習(xí)課題。）二、基本不等式推導(dǎo)過程及其理解1、公式推導(dǎo)師：將圖1的“風(fēng)車”抽象成如圖2的正方形中有四個(gè)全等的直角三角形。師：若是我們設(shè)直角三角形的邊長分別為a，b，那么正方形的邊長為a2b2，于是正方形的面積為a2b2，四個(gè)直角三角形的面積之和為a2b2依照前面的談?wù)?，我們有a2b2>a2b2。那么這個(gè)關(guān)系是否恒成立的呢？生：還能夠夠取等。3/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案師：那么在什么狀況下取等呢？生：師：觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)H是在以AB為直徑的半圓周上運(yùn)動的，那么在點(diǎn)H運(yùn)動的過程中可否是就像同學(xué)們所說的相同能夠取等呢？接下來就讓我們一起來看一下。（顯現(xiàn)動畫過程）師：以下列圖，a=AH，b=BH，我們分別求出大正方形四以及個(gè)直角三角形的面積之和，為了方便比較大小，我們將二者作差。現(xiàn)在我們就讓點(diǎn)H動起來。師：同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生：當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動到正方形的中心時(shí)，能夠取等。師：也就是說當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切螘r(shí)，也即a=b時(shí)，等號是成立的。進(jìn)而我們得出這樣的關(guān)系a2b22ab。師：那么這個(gè)關(guān)系對于任意的實(shí)數(shù)也都成立嗎？生：成立。師：你能證明你的結(jié)論嗎？生：師：我們一起來解析一下，要證明a2b22ab，我們需要證明a2b22ab0，依照完好平方公式，這個(gè)關(guān)系顯然是成立的。4/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案（設(shè)計(jì)妄圖：對圖形進(jìn)行進(jìn)一步解析，并經(jīng)過動畫顯現(xiàn)，使學(xué)生直觀感覺變化過程，將前面的不等關(guān)系完滿，引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)關(guān)系推廣到實(shí)數(shù)中去，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的同時(shí)向?qū)W生浸透數(shù)形結(jié)合的思想方法。）2、對公式的理解師：依照前面的談?wù)?，我們得出以下結(jié)論：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a2b22ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立。特別地，若是a>0，b>0，我們用a，b分別代替a、b，可得ab2ab平時(shí)我們把上式寫作abab2師：我們常把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、2的算術(shù)平均數(shù)。于是我們能夠這樣理解我們的基本不等式：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)。（稍有逗留）前面所學(xué)的知識，你還能夠怎樣理解基本不等式？生：5/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案ab師：我們發(fā)現(xiàn)ab恰好是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，而恰好是正2數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，進(jìn)而我們還能夠夠這樣理解：兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)不小于它們的等差中項(xiàng)。（設(shè)計(jì)妄圖：總結(jié)前面談?wù)撍玫慕Y(jié)論，并對結(jié)論進(jìn)行拓展，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，注意從不相同的角度講解基本不等式，加深對公式的記憶。）三，基本不等式的運(yùn)用師：經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，相信大家對基本不等式已經(jīng)有了必然的認(rèn)識，現(xiàn)在我們就一起來運(yùn)用基本不等式解決一些簡單的問題。例1、x>0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x1的值最??？最小值是多少？（展x示PPT）師：請同學(xué)們先自己思慮一下第一題。（逗留一分鐘）師：有沒有同學(xué)得出答案？生：最小值為2.師：特別好，現(xiàn)在我們一起來解析一下這道題，x，則1x

是大于0的，依照基本不等式就有1212，取等條件為x1xx，即x=1，xxx吻合題意，因此最小值為2。請同學(xué)們看詳細(xì)的解答過程（顯現(xiàn)PPT）6/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案解答過程：解：x>0則1>0，依照基本不等式有xx12x12xx1當(dāng)且僅當(dāng)xx

，即x=1時(shí)，等號成立。因此當(dāng)x=1時(shí)，最大值為2。（設(shè)計(jì)妄圖：運(yùn)用基本不等式解決簡單函數(shù)的最值問題，加深學(xué)生對基本不等式取等條件的記憶，同時(shí)讓學(xué)生領(lǐng)悟基本不等式的運(yùn)用價(jià)值）例2、用籬笆圍住一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短？最短籬笆是多少？（顯現(xiàn)PPT）師：請同學(xué)們先自己做一下。（逗留一分鐘）師：有沒有同學(xué)做出來？生：最短籬笆為40m。師：特別好，我們一起來解析一下，若是我們設(shè)矩形菜園的長為x，寬為y，那么依照題意就有xy=100，我們需要求的是2（x+y）。根xy據(jù)今天我們所學(xué)的基本不等式就有xy10010，也就是2xy20，進(jìn)而2(xy)40，當(dāng)xy10時(shí)取等。請同學(xué)們看詳細(xì)7/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案的解答過程（顯現(xiàn)PPT）。解答過程：解：設(shè)矩形菜園的長為x，寬為y，則xy=100，籬笆的長為2（x+y），由基本不等式可得xyxy10010，即2(xy)402當(dāng)且僅當(dāng)xy10時(shí)，等號成立。因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短籬笆為40m。例3、一段長為36m的籬笆圍成宇哥矩形菜園，這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積為多少？（顯現(xiàn)PPT）師：請同學(xué)們先自己做一下。（逗留一分鐘）師：請***同學(xué)起來回答一下你的答案。生：最大面積是81m2。師：特別好，請坐下。我們一起來解析一下。設(shè)矩形菜園的長為x，寬為y，那么依照題意就有2（x+y）=36，即（x+y）=18，我們需要求的是xy的最大值，依照基本不等式就有xyxy189，22即xy81，當(dāng)xy9時(shí)取等，請同學(xué)們看詳細(xì)的解答過程（顯現(xiàn)PPT）。解答過程：8/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案解：設(shè)矩形菜園的長為x，寬為y，則2（x+y）=36，矩形菜園的面積為xy，由基本不等式可得xyxy189，即xy8122當(dāng)且僅當(dāng)xy10時(shí)，等號成立。因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81m2。師：做了第2、3題你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生：師：對于第2題，xy的值是必然的，而我們求得（x+y）有最小值，對于第3題，（x+y）的值是必然的，我們求得xy有最大值。再觀察我們的基本不等式，能夠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積一準(zhǔn)時(shí)，和有最小值；和一準(zhǔn)時(shí)，積有最大值。于是我們得出這樣一個(gè)結(jié)論：任意兩個(gè)正數(shù)，積必然，和有最小值；和必然，積有最大值。（設(shè)計(jì)妄圖：運(yùn)用基本不等式解決實(shí)責(zé)問題，加深學(xué)生對基本不等式的理解，實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思想；同時(shí)使學(xué)生領(lǐng)悟到基本不等式在實(shí)質(zhì)生活中運(yùn)用價(jià)值。）四：課堂小結(jié)師：現(xiàn)在我們來總結(jié)一下本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識是：第一我們依照第屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)得出一個(gè)不等關(guān)系，進(jìn)而將其實(shí)行到任9/11新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第三章第四節(jié)《基本不等式》授課方案意實(shí)數(shù)，獲取不等式a2b22ab，對a、b的特別狀況進(jìn)行談?wù)摰胊b到基本不等式ab，爾后從兩個(gè)不相同的角度理解基本不等2式，最后經(jīng)過例題進(jìn)一步理解基本不等式得出結(jié)論：任意兩個(gè)正數(shù)，積必然，和有最小值；和必然，積有最大值。（顯現(xiàn)PPT）。（設(shè)計(jì)妄圖：對本節(jié)課整個(gè)過程進(jìn)行梳理，幫助學(xué)生理解記憶的同時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法）五、課后練習(xí)師：請同學(xué)們下課后復(fù)習(xí)今天所學(xué)的新知識，并完成習(xí)題的1、2、題，本節(jié)課到此結(jié)束。（設(shè)計(jì)妄圖：對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行牢固，在學(xué)生獨(dú)自完成作業(yè)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力）六、板書設(shè)計(jì)主板書：