高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用32導(dǎo)數(shù)的計算學(xué)案(含解析)1-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2導(dǎo)數(shù)的計算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[提出問題］已知函數(shù):y＝f（x)＝c,(2)y＝f(x)＝x,3）y＝f（x）＝x2，（4）y＝f(x)＝錯誤!，5）y＝f（x)＝錯誤!。問題1：函數(shù)y＝f(x）＝c的導(dǎo)數(shù)是什么？提示：∵錯誤!＝錯誤!＝錯誤!＝0,∴y′＝錯誤!錯誤!＝0。問題2：函數(shù)(2）（3)（4）(5)的導(dǎo)數(shù)分別是什么?2提示：由導(dǎo)數(shù)的定義得：（x）′＝1，（x)′＝2x，問題3：函數(shù)（2)（3)(5）均可表示為y＝xα（α∈Q*）的形式，其導(dǎo)數(shù)有何規(guī)律？11-1提示:∵(x）′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，(錯誤!)′＝（x2）′＝錯誤!x2＝錯誤!,αα－1∴(x）′＝αx。[導(dǎo)入新知]基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)①f（x）＝cf′(x）＝0②f(x）＝xα＊）α－1（α∈Qf′(x)＝αx③f（x)＝sinxf′（x）＝cos_x④f（x)＝cosxf′（x)＝－sin_x⑤f（x)＝axf′(x)＝axln__a(a＞0）xx⑥f(x)＝ef′(x）＝e⑦f（x)＝logaxf′(x）＝錯誤!(a＞0，且a≠1）⑧f(x）＝lnxf′（x)＝錯誤!1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精[化解疑難]理解公式時要注意的五點(diǎn)：(1）對于冪函數(shù)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，x為自變量，α為常數(shù)，可實(shí)行到α∈R也成立;對于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要點(diǎn)是符號，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦函數(shù)前加一負(fù)號，而正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù);(3)注意指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式中字母a的范圍;公式⑥是公式⑤的特例,公式⑧是公式⑦的特例；（5）要重視公式⑤和⑦，對指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算要正確．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法規(guī)［提出問題］已知f（x）＝x，g(x)＝錯誤!.問題1:f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)分別是什么？提示：f′（x）＝1，g′（x)＝－錯誤!。問題2：試求Q(x)＝x＋錯誤!,H（x）＝x－錯誤!的導(dǎo)數(shù)．提示：∵Δy＝（x＋x）＋錯誤!－錯誤!x＋錯誤!，∴錯誤!＝1－錯誤!，∴Q′(x）＝錯誤!錯誤!＝錯誤!錯誤!＝1－錯誤!。同理H′（x)＝1＋錯誤!。問題3:Q(x),H(x）的導(dǎo)數(shù)與f（x)，g（x）的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？提示：Q(x）的導(dǎo)數(shù)等于f(x),g(x)導(dǎo)數(shù)的和，H（x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x），g(x)導(dǎo)數(shù)的差．問題4：[f（x)·g（x)]′＝f′(x）·g′（x)對嗎？提示：不對，因?yàn)閒(x)g(x）＝1，［f(x)g（x)］′＝0，而f′（x）·g′（x)＝1×錯誤!＝－錯誤!。[導(dǎo)入新知］導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法規(guī)(1)[f(x）±g（x）]′＝f′（x)±g′(x)；2)［f(x)·g(x)]′＝f′（x）g（x）＋f（x)g′(x）；3)錯誤!′＝錯誤!（g（x)≠0）；4）[cf(x）]′＝cf′(x)．［化解疑難］導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法規(guī)的認(rèn)識2學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．在兩個函數(shù)積與商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中，不能夠認(rèn)為［f(x)·g（x）］′＝f′（x)·g′（x）以及錯誤!′＝錯誤!.2．注意區(qū)分兩個函數(shù)積與商的求導(dǎo)公式中符號的異同,積的導(dǎo)數(shù)公式中是“＋"，而商的導(dǎo)數(shù)公式中分子上是“－”．3．（1)[f1(x）＋f2（x)＋＋fn（x）］′＝f1′（x)＋f2′(x）＋＋fn′（x);（2)[cf（x）]′＝cf′(x），也就是說,常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)［例1］求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y＝x20；(2)y＝錯誤!；(3)y＝sin錯誤!；(4)y＝log6x;（5)y＝錯誤!.[解］(1）y′＝（x20)′＝20x20－1＝20x19.y′＝(x－4）′＝－4x－4－1＝－4x－5.(3）y′＝錯誤!′＝錯誤!′＝0.y′＝（log6x)′＝錯誤!.227（5）y′＝錯誤!′＝（x5）′＝－錯誤!x5-1。＝－錯誤!x5[類題通法］求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有兩種基本方法(1）用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，運(yùn)算比較繁瑣．2）用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，能夠簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度．解題時依照所給函數(shù)的特點(diǎn)，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式．[活學(xué)活用]求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1）y＝x6；(2）y＝log7x；(3）y＝x2x.解：(1）y′＝（x6）′＝6x5.(2)y′＝(log7x）′＝錯誤!。153y′＝(x2錯誤!)′＝(x2·x2）′＝（x2）′＝錯誤!x2。求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法規(guī)［例2］求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1）y＝x5－3x3－5x2＋6;(2)y＝(2x2＋3）（3x－2）;3)y＝錯誤!;3x(4）y＝x·e；(5）y＝x2＋log3x。［解](1)y′＝（x5－3x3－5x2＋6)′(x5)′－(3x3）′－(5x2）′＋6′5x4－9x2－10x.法一：y′＝(2x2＋3）′（3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2）′＝4x（3x－2)＋（2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.法二:∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，y′＝18x2－8x＋9。（3）法一：y′＝錯誤!′＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!.法二:∵y＝錯誤!＝錯誤!＝1－錯誤!,∴y′＝錯誤!′＝錯誤!′2′x＋1－2x＋1′＝錯誤!.＝－x＋12(4）y′＝（x3）′ex＋x3(ex）′＝3x2ex＋x3ex＝x2x。(3＋x）e5）y′＝(x2＋log3x)′＝（x2）′＋（log3x）′＝2x＋錯誤!。[類題通法]解決函數(shù)的求導(dǎo)問題，應(yīng)先解析所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇正確的公式和法規(guī)，對較為復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算，一般綜合了和、差、積、商幾種運(yùn)算，在求導(dǎo)從前應(yīng)先將函數(shù)化簡，爾后求導(dǎo)，以減少運(yùn)算量．[活學(xué)活用］求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1）y＝x錯誤!；（2）y＝錯誤!；(3）y＝3xex－2x＋e.解:(1)因?yàn)閥＝x錯誤!＝x3＋1＋錯誤!，因此y′＝3x2－錯誤!。4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2)y′＝錯誤!′＝錯誤!＝錯誤!＝－錯誤!。（3）y′＝（3xex）′－(2x)′＋(e)′xxxx）′－（2x)′＝（3)′e＋3(exxxxx＝3ln3·e＋3e－2ln2＝（ln3＋1)·（3e)x－2xln2。求曲線的切線方程[例3](1）曲線y＝sinxx＋e在點(diǎn)（0，1)處的切線方程是________．（2）若曲線f（x)＝xsinx＋1在x＝錯誤!處的切線與直線ax＋2y＋1＝0相互垂直，則實(shí)數(shù)a＝________.[解](1)∵y＝sinx＋ex，y′＝cosx＋ex，y′錯誤!＝cos0＋e0＝2,∴曲線y＝sinx＋ex在點(diǎn)（0，1)處的切線方程為y－1＝2(x－0），即2－＋1＝0。xy（2）因?yàn)閒′（x）＝sinx＋xcosx，因此f′錯誤!＝sin錯誤!＋錯誤!cos錯誤!＝1.又直線ax＋2y＋1＝0的斜率為－錯誤!，因此依照題意得1×錯誤!＝－1，解得a＝2.答案：（1)2x－y＋1＝0(2)2[類題通法］依照導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可直接獲取曲線上一點(diǎn)處的切線的斜率．需注意直線與曲線公共點(diǎn)的個數(shù)不是切線的實(shí)質(zhì)特點(diǎn)．當(dāng)問題中涉及相切但未出現(xiàn)切點(diǎn)坐標(biāo)時要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),然后依照已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)．［活學(xué)活用]求曲線y＝錯誤!在點(diǎn)錯誤!處的切線方程．解：∵y＝錯誤!，∴y′＝2x2＋1－2x·2x＝2－2x22，1＋x221＋x2∴y′｜x＝2＝錯誤!＝－錯誤!.因此曲線y＝錯誤!在點(diǎn)錯誤!處的切線方程為y－錯誤!＝－錯誤!（x－2)，即6x＋25y－32＝0.5學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精錯誤!［典例］(12分)已知函數(shù)f（x）＝x3＋x－16，直線l為曲線y＝f（x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．[解題流程］［隨堂即時演練]1．曲線f（x）＝xlnx在點(diǎn)x＝1處的切線方程為(）A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1解析：選C∵y＝xlnx,∴y′＝lnx＋1，故切線斜率為k＝y(tǒng)′｜x＝1＝1.∴切線方程為y＝x－1。2．函數(shù)y＝錯誤!的導(dǎo)數(shù)是（)A.錯誤!B。錯誤!C。錯誤!D。錯誤!解析：選Ay′＝錯誤!′6學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精x2′x＋3－x2·x＋3′＝x＋32＝錯誤!＝錯誤!。3．曲線y＝x(3lnx＋1)在點(diǎn)（1,1)處的切線方程為________．解析：y′＝3lnx＋4，則曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率為4，故切線方程為y－1＝4x－1)，即y＝4x－3.答案：y＝4x－34．已知函數(shù)f（x）＝錯誤!，則f′錯誤!＝________。解析：f′(x)＝錯誤!sinx－x＋1cosx＝sin2x，則f′錯誤!＝錯誤!＝1.答案：15．已知拋物線f（)＝ax2＋bx－7經(jīng)過點(diǎn)（1,1），且在點(diǎn)(1，1）處的切線方程為4xx－y－3＝0,求a，b的值．2解:因?yàn)閽佄锞€f(x)＝ax＋bx－7經(jīng)過點(diǎn)(1,1),又在點(diǎn)(1,1）處的拋物線的切線方程為4x－y－3＝0,其斜率為4,f′（x）＝2ax＋b，因此f′（1)＝4,即2a＋b－4＝0。解方程組｛a＋b－8＝0，，2a＋b－4＝0，得錯誤!［課時達(dá)標(biāo)檢測]一、選擇題1．給出以下結(jié)論：①（cosx）′＝sinx；②錯誤!′＝cos錯誤!；③若y＝錯誤!，則y′＝－錯誤!；④錯誤!′＝錯誤!。其中正確的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3解析:選B(cosx）′＝－sinx，因此①錯誤;sin錯誤!＝錯誤!，而錯誤!′＝0，因此②錯誤；7學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精錯誤!′＝錯誤!＝錯誤!＝－2x－3，因此③錯誤；錯誤!′＝－錯誤!＝錯誤!＝錯誤!x－錯誤!＝錯誤!，因此④正確．2．已知曲線y＝錯誤!－3lnx的一條切線的斜率為錯誤!，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）1A．3B．2C．1D.2解析:選A因?yàn)閥′＝錯誤!－錯誤!，因此由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，錯誤!－錯誤!＝錯誤!,解得x＝3（x＝－2不合題意,舍去）．3．對任意的x，有f′（x）＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式為(）A．f（x）＝x3B．f（x)＝x4－2C．f(x）＝x3＋1D．f(x）＝x4－1解析：選B由f′(x)＝4x3知，f(x）中含有x4項(xiàng)，爾后將x＝1代入選項(xiàng)中考據(jù)可得．4．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝ax3＋3相切，則a的值為(）A．1B．±1C．－1D．－2解析:選A設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則y0＝3x0＋1，且y0＝ax錯誤!＋3,因此3x0＋1＝ax錯誤!3.①對y＝ax3＋3求導(dǎo)得y′＝3ax2，則3ax錯誤!＝3，ax錯誤!＝1.②由①②可得x0＝1，因此a＝1.5．若f0（x)＝sinx，f1（）＝f0′（x），2（）＝f1′( )，,n＋1(x）＝fn′( )，xfxxfxn∈N，則f2015(x）＝（）A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：選D因?yàn)閒1(x）＝（sinx)′＝cosx，f2(x)＝（cosx）′＝－sinx，f(x)＝（－sinx)′＝－cosx，3f（x)＝（－cosx）′＝sinx,4f5(x)＝(sinx)′＝cos，因此循環(huán)周期為4，x因此f2015(x)＝f3(x）＝－cosx。二、填空題6．若f（)＝e－x(cosx＋sinx)，則f′( )＝________.xx解析：f′（x）＝錯誤!′＝cosx－sinxex－excosx＋sinxe2x＝錯誤!＝－2e－xsinx.8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精－x答案：－2esinx7．（陜西高考）設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1）處的切線與曲線y＝錯誤!（x＞0）上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為________．解析:y′＝ex，曲線y＝ex在點(diǎn)（0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1，設(shè)P(m，n）,y＝錯誤!11(x＞0）的導(dǎo)數(shù)為y′＝－x2（x＞0),曲線y＝x(x＞0）在點(diǎn)P處的切線斜率k2＝－錯誤!（m＞0），因?yàn)閮汕芯€垂直，因此k1k2＝－1,因此m＝1，n＝1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1)．答案：(1,1)8．已知f（x）＝x2＋2f′錯誤!x，則f′錯誤!＝________.解析：f′（x）＝2x＋2f′錯誤!,令x＝－錯誤!,則f′錯誤!＝－錯誤!＋2f′錯誤!，∴f′錯誤!＝錯誤!.答案：錯誤!三、解答題9．求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1)y＝(x＋1)2（x－1)；（2)＝2sinx；yx(3）y＝錯誤!。解:(1）法一:y′＝［（x＋1）2］′(x－1）＋（x＋1)2（x－1）′＝2(x＋1）(x－1）＋(x＋1）2＝3x2＋2x－1.法二：y＝（x2＋2x＋1）(x－1)＝x3＋x2－x－1，y′＝(x3＋x2－x－1）′＝3x2＋2x－1.2）y′＝(x2sinx）′＝（x2）′sinx＋x2(sinx）′＝2xsinx＋x2cosx。(3）y′＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!。10．設(shè)f（x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f′(x）滿足f′(1)＝2a，f′(2）＝－b，其中常數(shù)a，b∈R。求曲線y＝f(x）在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線方程．解：因?yàn)閒（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，因此f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b。又f′(1)＝2a，因此