一道中考二次函數(shù)壓軸題的解題啟示錄

一道中考二次函數(shù)壓軸題的解題啟示錄一道中考二次函數(shù)壓軸題的解題啟示錄一道中考二次函數(shù)壓軸題的解題啟示錄一道中考二次函數(shù)壓軸題的解題啟示錄編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:一道中考二次函數(shù)壓軸題的解題啟示錄山東沂源縣徐家莊中心學(xué)校256116孟令剛左效平考題在線：（2017年菏澤）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a+bx+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B(4,0)，與過A點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)D(3,)，過點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點(diǎn)N，連接CM，求△PCM面積的最大值；（3）若P是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP的長(zhǎng)為t，是否存在t，使以點(diǎn)M、C、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2-1-c-n-2-1-cnjy育圖SEQ圖\*ARABIC11思路探尋：第一問是一個(gè)基本問題，解答起來應(yīng)該沒有問題.確定二次函數(shù)解析式的基本方法有三種：一般式型：設(shè)解析式為y=a+bx+c,需要知道圖像上任意三點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入后轉(zhuǎn)化為a,b,c的三元一次方程組，借助消元法，分別求得a,b,c的值，回代即可得函數(shù)解析式；頂點(diǎn)式型：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)及其圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)解析式為y=a+k,代入任意點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為a的一元一次方程，求得a的值，回代即可得函數(shù)解析式；交點(diǎn)式型：已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），（，0）及其圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)解析式為y=a（x-）（x-）,代入任意點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為a的一元一次方程，求得a的值，回代即可得函數(shù)解析式.這里的二次函數(shù)表達(dá)式是一般式，但是常數(shù)c是已知的，所以只需將點(diǎn)B,D的坐標(biāo)分別代入，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b的二元一次方程組即可，解二元一次方程組是同學(xué)們必須熟練，準(zhǔn)確，敏捷完成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性問題.第二問求三角形PCM面積的最大值，需要按照如下思路去定尋：首先確定三角形PCM是直角三角形，這樣就順利確定了這個(gè)三角形的面積應(yīng)該是PMPC，這是解題的切入點(diǎn)；接下來就是確定PM，PC的長(zhǎng)度，為解決此環(huán)節(jié)問題，需要一個(gè)小技巧，這就是設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),這樣PC=3-m,PM等于當(dāng)x=m時(shí)，直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，只需提前確定好直線AD的解析式即可，這樣就把三角形PCM的面積轉(zhuǎn)化為m的二次函數(shù)，其最值可定；第三問主要是滲透平行四邊形的判定，仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)已經(jīng)具備的條件是MN∥CD，根據(jù)判定方法，只需加上MN=CD即可，這樣確定MN的長(zhǎng)度即成為了解題的關(guān)鍵，為了防止漏解，在表示MN的距離時(shí)最好借助絕對(duì)值來完成，這樣即防止了漏解，又能不陷入分類思想的漩渦中，大大提高了解題的準(zhǔn)確率.解答直播：（1）把點(diǎn)B(4,0)，點(diǎn)D(3,)分別代入y=a+bx+1中，得，解得，所以拋物線的解析式為y=-+x+1；（2）因?yàn)辄c(diǎn)A(0,1),點(diǎn)D(3,),設(shè)直線AD的解析式為y=kx+n，所以，解得，所以直線AD的解析式為y=x+1.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),所以PC=3-m,當(dāng)x=m時(shí)，y=m+1,所以M（m,m+1）,所以PM=m+1，所以直角三角形PCM的面積S=PMPC=（3-m）(m+1)=-+,因?yàn)?≤m≤3,-＜0,所以S有最大值，且當(dāng)m=時(shí)，S最大值為；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),所以M（t,t+1）,N（t,-+t+1）,所以MN=|-+t+1-t-1|=|-+t|,因?yàn)镈C=，且MN∥CD，所以當(dāng)MN=DC時(shí)，四邊形DCMN是平行四邊形，所以|-+t|=，所以-+t=或-+t=-，當(dāng)-+t=時(shí)，整理，得3-9t+10=0,此時(shí)△=81-120＜0，故方程無解，此時(shí)不存在滿足條件的點(diǎn)P；當(dāng)-+t=-時(shí)，整理，得3-9t-10=0,此時(shí)△=81+120=201＞0，故方程有解，所以=，=，因?yàn)閠＞0，所以=舍去.綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使得以D,C,M,N為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，此時(shí)P(,O).解后反思：通過解題，我們深深體會(huì)到如下幾點(diǎn)：1.確定二次函數(shù)的解析式需要熟練運(yùn)用好方程的思想，根據(jù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)，分別運(yùn)用三元一次方程組，二元一次方程組，一元一次方程，只要熟練掌握解方程或解方程組的基本要領(lǐng)，確定解析式可謂水到渠成；2.學(xué)會(huì)根據(jù)題意把最值問題科學(xué)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的二次函數(shù)的最值問題，而確定二次函數(shù)的最值是同學(xué)們的必須課，是二次函數(shù)學(xué)習(xí)的最重要知識(shí)點(diǎn)之一，要在常態(tài)學(xué)習(xí)中不斷強(qiáng)化，提高解題的熟練度和準(zhǔn)確度；3.學(xué)會(huì)把坐標(biāo)系背景下平行y軸直線上兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值，從而使得問題求解更全面，更縝密，謹(jǐn)防漏解致錯(cuò)而痛失不應(yīng)該丟的分值而遺憾；4.學(xué)會(huì)靈活處理二次函數(shù)與其他知識(shí)的綜合，并能靈活，科學(xué)的選擇解題方法，使得綜合問題求解不綜合，巧妙將綜合化歸為單一，專項(xiàng)知識(shí)加以求解，這是數(shù)學(xué)解題的實(shí)質(zhì)，要在學(xué)習(xí)過程中不斷強(qiáng)化和鍛煉.除了上述的反思，我們還在題目的引申變式上進(jìn)行反思，于是就生成了如下兩個(gè)最值問題：引申1：若P是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP的長(zhǎng)為t，是否存在t，使三角形PAD的周長(zhǎng)最小若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2-1分析：三角形PAD周長(zhǎng)最小問題，實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題的模型加以解決，充分利用對(duì)稱的思想，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)解析式確定，最后借助直線與x軸相交問題得以破解.2-1解：因?yàn)辄c(diǎn)A（0,1），所以其對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1），因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)(0,-1),點(diǎn)D(3,),設(shè)直線解析式為y=kx+n，所以，解得，所以直線的解析式為y=x-1，令y=0，得x-1=0,解得x=,所以存在這樣的點(diǎn)P，使得三角形PAD的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,0）.引申2：如圖2，若P是直線AD上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P的橫坐標(biāo)為t，求三角形PAD面積的最值.2-1圖SEQ圖\*ARABIC2分析：將三角形PAD的面積適當(dāng)分割，把三角形的面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量t的二次函數(shù)，從而求得其最值解：過P作PC∥y軸交AD于G，過A作AH⊥PC，垂足為H，過D作AD⊥DE，二線交于點(diǎn)E，過D作DF⊥PC，垂足為F，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，且拋物線解析式為y=-+x+1，直線AD的解析式為y=x+1，所以點(diǎn)P（t,-+t+1），