拉格朗日插值法分析報(bào)告

拉格朗日插值法分析報(bào)告一、拉格朗日插值法介紹1、插值概念簡介已知f(x)在區(qū)間［a,b］上n+1個(gè)不同點(diǎn)x。/］,…x處的函數(shù)值Ji=f(i)(i=0,1,…,n)，求一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式中(x)=a+axdFaxn使其在給定點(diǎn)處與f3)同值，既滿足插值條件中n(x^)=f(x^)=約(i=0,1,...,n)中n(x)稱為插值多項(xiàng)式，x.(i=0,1,.,n)稱為插值節(jié)點(diǎn)，［a,b］稱為插值區(qū)間。從幾何上看，n次的多項(xiàng)式插值就是過n+1個(gè)點(diǎn)(x,f(x))(i=0,1,.,n)，作ii圖1多項(xiàng)式曲線以及近似曲線2、拉格朗日插值法原理在求滿足插值條件n次插值多項(xiàng)式p(x)之前，先考慮一個(gè)簡單的插值問題：對(duì)節(jié)點(diǎn)x(i=0,1,…,n)中任一點(diǎn)x(0<k<n)，作一n次多項(xiàng)式l(x)，ikk使它在該點(diǎn)上取值為1，而在其余點(diǎn)x.(i=0,1,k-1,k+1,...,n)上取值為零，上式表明n個(gè)點(diǎn)x,x,.,x,x01k-1k+1…,xn都是n次多項(xiàng)式lk(x)的零點(diǎn)，故可設(shè)l(x)=A(x-x)(x-x)…(x-x)(x-x)…(x-x)kk01k-1k+1n其中，Ak為待定系數(shù)。由條件lk(x「=1立即可得k(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)k0kk-1kk+1kn士后7/、(x—x)???(x—x)(x—x)???(x—x)故l(x)=0k-1k+1nk(x-x上式表明n個(gè)點(diǎn)x,x,.,x,x01k-1k+1…,xn都是n次多項(xiàng)式lk(x)的零點(diǎn)，故可設(shè)由上式可以寫出n+1個(gè)n次插值多項(xiàng)式l0(x),l](x),...,l(x)。我們稱它們?yōu)樵趎+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x,x，…,x上的n次基本插值多項(xiàng)式或n次插值基函數(shù)。01n利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式y(tǒng)l(x)+yl(x)+…+yl(x)0011nn1i=k根據(jù)條件lk(xi)="5，容易驗(yàn)證上面多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)xi處的值為yi(i=0,1,…,n)，因此，它就是待求的n次插值多項(xiàng)式P(x)。形如yl(x)+yl(x)+…+yl(x)的插值多項(xiàng)式就是拉格朗日插值多項(xiàng)式，0011nn記為L(x)，即L(x)=yl(x)+yl(x)+…+yl(x)n1122nn(x—x),…(x—x)(x—x),…(x—x)=0k-1k+1n(x-x)?..(x-x)(x-x)?..(x-x)k0kk—1kk+1kn作為常用的特例，令n=1，由上式即得兩點(diǎn)插值公式L(x)=y+(x-x)，這是一個(gè)線性函數(shù)，故又名線性插值。TOC\o"1-5"\h\z0氣-x00若令n=1，則又可得到常用的三點(diǎn)插值公式T/、(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)L(x)=y12+y02+y010(x-x)(x-x)1(x-x)(x-x)2(x-x)(x-x)010210122021這是一個(gè)二次函數(shù)，故又名二次插值或拋物線插值。二、算法設(shè)計(jì)1、算法描述輸入已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)；分別輸入已知點(diǎn)X的坐標(biāo)；分別輸入已知點(diǎn)Y的坐標(biāo)；調(diào)用拉格朗日插值函數(shù)，求得某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。2、算法流程圖yy3、程序源代碼#include<stdio.h>#include<malloc.h>floatlagrange(float*x,float*y,floatxx,intk){inti,j;floatl,yy=0.0;for(i=0;i<=k-1;i++){l=1.0;for(j=0;j<=k-1;j++)if(j!=i)l=l*(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);yy=yy+y[i]*l;}returnyy;}intmain(){inti,n,k;floatx[50],y[50],xx,yy;printf("插值次數(shù)k:〃)；scanf("%d",&k);printf("輸入差值點(diǎn)個(gè)數(shù)n:〃)；scanf("%d",&n);for(i=0;i<=n-1;i++){printf("x[%d]:",i);scanf("%f",&x[i]);}printf("\n");for(i=0;i<=n-1;i++){printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]);}printf(