擺鐘問題中的“萬能公式”

擺鐘問題中的“萬能公式”在機械振動中，擺鐘快慢的計算問題往往是同學(xué)們學(xué)習的難點。下面就談?wù)剬@類問題理解和處理。正確理解擺鐘走時原理擺鐘實際上是利用鐘擺的周期性擺動，通過一系列的機械傳動，從而帶動鐘面上的指針轉(zhuǎn)動。鐘擺每擺動一次，指針就轉(zhuǎn)過一個角度，并且這個角度。0是固定的，其大小就表示鐘面走過的時間。對走時準確的擺鐘而言，鐘擺擺一次，實際耗時T0（即擺的振動周期），指針轉(zhuǎn)過的角度。0當然就應(yīng)表示鐘面走時為T。。對走時不準的擺鐘而言，鐘擺擺一次，雖然實際耗時T（即不準擺的振動周期），但由于鐘機械設(shè)計的關(guān)系，鐘擺帶動指針轉(zhuǎn)動的角度依舊是。0,所以鐘面上所顯示的時間（并非真實時間）依舊是T。，正是由于氣。T，從而引起擺鐘走時不準。一條重要的計算公式設(shè)有一段時間，0（比如1天），由前面的分析可知不準鐘擺動的次數(shù)為｝。由于每擺一次，鐘面上所顯示的時間依舊是T0,所以在這段t0時間內(nèi)，不準鐘鐘面所顯示的時間為*-T，因而該鐘比標準鐘快（或慢）：At=-0-T—tT00此即鐘擺快慢的計算公式，此公式容易理解，也便于記憶，更重要的是它方便實用，不妨稱之為鐘擺問題中的“萬能公式”。下面舉例說明：例1.某擺鐘的擺長為l=30cm，一晝夜快10min，則應(yīng)如何調(diào)整擺長，才能使擺鐘走時準確？解答：由題意可知A解答：由題意可知At=10min，設(shè)調(diào)整好后的擺長為10,直接代入t公式At=TT0—10，可解得戶°.418如。即應(yīng)使擺長調(diào)整至W^cm。、~l廠=2兀"g，設(shè)標準擺鐘的擺長為10,則T。=2氣、~l廠=2兀"g，設(shè)標準擺鐘的擺長為10,則T。=2氣g。直接代入解答：由題意易得T=2兀］—1,te公式At=胃-T—10有：(1)(2)At=L-T-1T001t

At=t一-T(1)(2)14ll解得：l4ll解得：l0對于一個確定的擺鐘，其內(nèi)部的機械結(jié)構(gòu)決定了它每擺動一次記錄的時間是一定的。如一個準確的擺鐘，其擺球的擺動周期為1S，則擺球每擺動一次，秒針會走過一格，顯示的時間為1s；擺動N次，秒針將走過N格，顯示的時間為N秒與實際經(jīng)歷的時間是相符的。一般的，準確擺鐘的周期為T0,則每擺動一次，顯示的時間也是T0,擺動N次，顯示的時間為NT0；如果由于某種原因，該鐘的周期變?yōu)門（TNT。），則擺鐘每擺動一次所經(jīng)歷的實際時間為T，而鐘所記錄的時間仍為T0,兩者不符。由此可知顯示時間由擺動的次數(shù)決定，且兩者成正比關(guān)系。假定在一段相同的時間t0內(nèi)，準確擺鐘擺動了N0次，顯示時間為t0,不準擺鐘擺動N次，顯示時間為t，可得到如下的關(guān)系：NtN廠—=——=^0-tN%toN而一就是單位時間內(nèi)擺動的次數(shù)即頻率/■，從而上式可簡化為10_￡_￡廠10也就是說，一定時間內(nèi)，擺鐘的顯示時間之比就等于擺鐘的頻率之比，利用這個關(guān)系式就可以很方便地解決擺鐘的有關(guān)問題，下面通過幾個例題加以說明。二、根據(jù)顯示時間計算實際時間例1:將在地球上校準的擺鐘拿到月球上，若此鐘在月球上記錄的時間為1h，那么實際時間是多少？已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6。解：設(shè)在地球上鐘的頻率為f0，指示時間為t0,在月球上的頻率為f，指示時間為t，則可得tfL1:g又周期T=2兀所以f=———\g2n\L①式可化為!=」g°="

t\g所以實際時間10=^6t=t'6h三、擺鐘的調(diào)節(jié)問題例2：一個擺鐘一晝夜快了5分鐘，應(yīng)如何調(diào)節(jié)擺長使之變準確。解：準確擺鐘的頻率為f0,顯示時間t0=24h=1440min；此擺鐘的頻率為f，擺長為L，顯示時間t=24h+5min=1445min，可得TOC\o"1-5"\h\zft1440==ft1445

由例1得f=工f\'Lo由以上兩式可得L1440=()2Lov14457應(yīng)將擺長增加蚌Lo1445L=[（1440）2T]L=。.。。7L例3.已知北京的重力加速度go=9.801m/s2,南京的重力加速度g=9.796m/s2，若把在北京走時準確的擺鐘移到南京，則一晝夜擺鐘誤差快慢多少?_■/解答：由題意易知T=2兀],—0修0'T由例1得f=工f\'Lo由以上兩式可得L1440=()2Lov14457應(yīng)將擺長增加蚌Lo1445L=[（1440）2T]L=。.。。7L例3.已知北京的重力加速度go=9.801m/s2,南京的重力加速度g=9.796m/s2，若把在北京走時準確的擺鐘移到南京，則一晝夜擺鐘誤差快慢多少?_■/解答：由題意易知T=2兀],—0修0'T,t一.h,to=24h。直接代入公式At=T-T-to，解得At=26.4s。從以上3例可以看出，At=若-T-1確實是解決擺鐘問題的一條非常有用的公式。這是因為它涵概了鐘擺問題往往都要涉及的At、To、T、to四個關(guān)鍵物理量，便于我們直接運用。只要我們對照題目,確定好這四個物理量的表達形式，直接代入公式，問題便可解決。對單擺周期公式中兩個量的理解單擺的周期公式T=2兀」，：g是惠更斯從實驗中總結(jié)出來的。其中擺長指的是懸點到小球質(zhì)心的距離，但在某些振動系統(tǒng)中，由于懸點的特殊性，擺長不一定是繩長。同時由于環(huán)境的變更g也不一定為9.8m/s2，所以就出現(xiàn)了等效擺長和等效重力加速度的問題。一、等效擺長問題例、如圖所示，固定在天花板端拴著質(zhì)量m=0.2kg的小球（小球如果擺角9<10°，則小球如果小球在擺動中到達最低解析①此題首先設(shè)置了一個以等擺長應(yīng)為為T=2兀0；g=1.6s:②通過受思考：如在圖中，三根等長的繩L擺球在紙面內(nèi)作小角度的左右擺動，長為多少？周期是（答案：T2=2"（L]+L2sin0+d2）.gL+Lsin0+d212上等長的兩根細線AO、BO長0.8m，與水平平面夾角都為53°，下大小可忽略），那么使小球在垂直紙面的豎直平面內(nèi)擺動起來。求：的擺動周期。點速度v=0.5m/s，則此時兩細線受到的拉力各為多少？障礙，懸點未知，擺球的擺長是多少？此時雙線擺的懸點為C點，l=CO=l-sin53。=0.64m，所以單擺周O2F-si力分3析可mg=mv2-；1,所以FF.3N。LL3共系住一密度均勻的小球m，球直徑為d，LL與天花板的夾角0<30°0-.一...一若周期是多少？？若擺球做垂直紙面的小角度擺動，則擺動3圓弧的圓心在O處，故等效擺L2O3?OL例、如圖所示，小球m自A點以向AD方向的初速度。逐漸接近固定在D點的小球n。巳知AB=O.8mAB圓弧半徑R=10m，AD=10m，ABCD在同一水平面上，則v為多大時，才能使m恰好碰到小球？（設(shè)g=兀2）解析：小球m運動由兩個運動和在圓弧面AB方向上的往復(fù)種等效單擺，其圓弧半徑只即為等設(shè)小球m恰好能碰到小球解析：小球m運動由兩個運動和在圓弧面AB方向上的往復(fù)種等效單擺，其圓弧半徑只即為等設(shè)小球m恰好能碰到小球n，又因為T=2兀^Rg"解以上方程得：則有AD=vt且滿足t=kT（k=1,2,3…）v=5：k冗m/s二、等效重力加速度問題①由GM?*2=g知，g隨地球表面不同位置、不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此求解時將單擺所環(huán)境的9.8m/s29.8m/s2

等效值；代入公式，即g‘不一定等于。②單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)變化，g也不一定等于如單擺處在向上加速發(fā)射的航天飛機內(nèi)，設(shè)加速度為a，此時擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧切線方向的回復(fù)力變大，擺球質(zhì)量不變，則重力加速度的等效值g‘=g+a，再如，單擺若在軌道上運行的航天飛機內(nèi)，擺球完全失重，回復(fù)力為零，則等效值g‘=0，所以周期為無窮大，即不擺動?？傊街械膅由單擺所在的空間位置和運動狀態(tài)決定。三、綜合應(yīng)用問題例、如圖1所示，是一種記錄角形的頂點A上，它的對邊BC跟時的周期。解析：如圖2所示，過A作L=Lsin60。。擺球在平衡位置時，地震裝置的水平擺，擺球固定在邊長為L、質(zhì)量可忽略不計的等邊三

豎直線成不大的夾角a，例、如圖1所示，是一種記錄角形的頂點A上，它的對邊BC跟時的周期。解析：如圖2所示，過A作L=Lsin60。。擺球在平衡位置時，地震裝置的水平擺，擺球固定在邊長為L、質(zhì)量可忽略不計的等邊三

豎直線成不大的夾角a，擺球可繞固定軸BC擺動，求擺球微小擺動行的分力G1和與BC垂直的分GG=Gsina等效重力加速度為g'=G/m=gsifia2因而，擺球做微小振動的周期為：BC的垂線，交點到A的距離為等效單擺的擺長，其把擺球的重力G分解為與BC平力長度為T=2兀Lg'=2兀i'?3L2gsina點評：本題為地震儀水平擺測周期的實際問題，本質(zhì)上是單擺周期公式圖2的變通應(yīng)用。在求解單擺的周期時，一、則，A其長度為L=Lsin60。sina，因而，擺球做微小振動的周期為T=22"g=2兀，,、3l2gsina.（選自中學(xué)生物理報/吳俊著）應(yīng)用“單擺模型”解決實際問題單擺由一根不可伸長的細線和可視為質(zhì)點的擺球構(gòu)成，它是一種抽象的理想化模型.單擺作為一種典型的簡諧運動，在生活技術(shù)有廣泛的應(yīng)用.利用單擺求重力加速度例、在“用單擺測定重力加速度g”的實驗中，假如實驗時用很長的細線懸掛在一天花板上，由于懸點過高，無法測量擺長，則如何測出重力加速度g的值？解析：因擺長為懸點到質(zhì)心的距離，而本提無法測量到懸點，所以可采用測量部分擺長的方法.具體為：首先，以天花板上的固定點為懸點，懸點到質(zhì)心的距離為擺長，在擺角小于5°的范圍內(nèi)測的周期為T再在手夠的著的地方系一個結(jié)，以達到改變擺長的目的，設(shè)使之減短△L（AL不宜過?。诙螠y得周期，由以上可矢3：{T=2兀寸Lg4兀2ALT=2"（L—AL），g解得&彳一"T點2評：本題以測擺長為拐點，設(shè)置思維迷障，來激活學(xué)生思維的靈活性，避免思維定勢，進而培養(yǎng)學(xué)生在新情景問題中的變通能力。思考：實驗室配有下列器材：鐵架臺（附夾子），長約1.5米的細線，細線下系一質(zhì)量200克的形狀不規(guī)則的小石塊，秒表，米尺，試由提供的器材設(shè)計測量當?shù)刂亓铀俣萭的實驗，寫出原理。利用單擺裝置測面積例、現(xiàn)有一只直徑約6cm的圓柱形小燒杯，現(xiàn)要測量它的外徑，可供選擇的器材如下：一段軟線（足夠長）、一只帶鐵夾的鐵架臺、一只直徑約2cm帶洞眼的小銅球，一只秒表、一架天平、直徑維3cm帶洞眼的小木球。①選擇合適器材測量燒杯外徑的簡要步驟是一②測量燒杯橫截面積的表達形式是S=解析：小燒杯的面積S=14兀D2（其中D表示小燒杯的直徑），因此欲求小燒杯的橫截面積，應(yīng)先求直徑D，但如果把小燒杯的直徑直接作單擺的擺長，測量誤差將會很大。故可考慮用其周長算直徑的方法。相比之下，直徑較小的銅球比直徑較大的木球構(gòu)成單擺的誤差小。①A、將軟線沿燒杯外側(cè)繞上n圈（nM3）測得用線長為L；B、將長L的軟線上端固定于鐵架臺上，下端固定在小銅球球心上，用秒表測出擺動N次全振動的時間t。②直徑d=12g-4nN2兀3（nM3）所以面積S=兀;4d2=g2t4；'64n2N2兀5總結(jié)：以上兩例皆以擺長做“文章”，實際上擺長巳知就相當于有現(xiàn)成的刻度尺，在這種情況下就可以間接測量與長度有關(guān)的物理量。利用單擺裝置測高度例、（2002年廣東高考）有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來確定氣球的高度。巳知該單擺在海平面處的周期為T。求T0=2兀'偵

該氣球此時離海平面的高度h。把地球看作質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體。解析：根據(jù)單擺周期公式T=2兀、，g，其中I是單擺長度，g0和g分別是兩地點的重力加速度。根據(jù)萬有引力公式得g0=GMR2g=GM（R+h）2，其中G是引力常數(shù)，M是地球質(zhì)量。由以上各式解得人=（T：T-1）R利用單擺裝置測密度0例、有一宇航員在某一星球表面測出一擺長為/的單擺的振動周期為T，巳知該星球的半徑為R，那么該星球的平均密度為多少？—解析：測出單擺的周期，便可以算出該星球表面的重力加速度，由T=W：g可得g=4兀IT2,擺球受到的重力可近似看作等于擺球與該星球之間萬有引力，由mg=GMmR2可得m=gR2G，將星球看作球體，則M=p.4兀R3浮，所以，最終可導(dǎo)出p=3兀l.GRT2點評：解決此類綜合題，主要抓住單擺周期公式中的重力加速度指的是單擺所在地的重力加速度，而在地球不同地方和不同高度以及在其他星球表面重力加速度往往是不同的。一、波傳播的方向的不確定引起多解波在介質(zhì)中總是由近及遠地向前傳播，若根據(jù)題中的一直條件不能確定波傳播的方向或質(zhì)點的振動方向，應(yīng)分兩種情況討論。例1：如圖所示，一列簡諧波的波速為0.5m/s，實線為某時刻的波形圖。經(jīng)過△t（△例1：如圖所示，一列簡諧波的波速為0.5m/s，實線為某時刻的波形圖。經(jīng)過△t（△t<0）后波形變?yōu)閳D中虛線所示，那么這段時間可能是（）A、4sB、8sC、12sD、16sy/cmO解析：由圖1知，波長入=8m，但由于題中波的傳播方向不確定，因此，有向右或向左傳播的兩種情況，根據(jù)題中巳知條件At<T和兩個時刻的波形比較，可以得到若波向右傳播，則傳播的距離Ax.=3%/4；A'=3%『'4v=12s若波向右傳播，則傳播的距離Ax=%..4；At=%.4v=4s因此應(yīng)選A、C兩項。本題也可先求出周期：T=%.?.v=16s，若波向右傳播，則傳播了3T4的時間，即△'廣314=12s若波向左傳播，則傳播了T4的時間，即At=T4=4s二、波傳播的周期不確定引起的多解2由于機械波的圖象中顯示出時間的周期性，即在機械波傳播過程中，在時間上相隔周期的整數(shù)倍的兩個時刻的波形是完全相同的。因此，當題中沒有明確給定傳播的時間At與周期T的大小關(guān)系時就會出現(xiàn)多解現(xiàn)象，應(yīng)進行討論求解。例2、如圖所示，過At=0.2s的圖象，解析：題中未知小期性仍會引起多解。由圖知波長入實線表示一列向右傳播的簡諧波在t=0時刻的圖象，虛線表示經(jīng)求這列波的傳播速度。與T的大小關(guān)系，盡管給出了波的傳播方向，但由于波傳播的周v=Ax&=（n%+人4）&=（20n+5）m/s（n=0.1.2.3...）本題也可根據(jù)傳播時間△t與周期T的關(guān)系式At=nT+T.4、，求出周期T=4AtQn+1），再根據(jù)v=%T，同樣可以求得:偵=0.1.2.3-J=4m，又由.于波向右傳播，所對應(yīng)波的傳播距離Ax=n%+%4=4n+1,其傳播速度為：v=（20n+5）m/s三、波長不確定引起的多解問題由于機械波的圖象中顯示出空間的周期性，即在機械波傳播過程中，在空間上相隔波長的整數(shù)倍的質(zhì)點其振動