直線與平面平行的判定和性質(zhì)經(jīng)典練習(xí)及詳細(xì)答案

直線與平面平行的判定和性質(zhì)經(jīng)典練習(xí)及詳細(xì)答案直線與平面平行的判定和性質(zhì)經(jīng)典練習(xí)及詳細(xì)答案直線與平面平行的判定和性質(zhì)經(jīng)典練習(xí)及詳細(xì)答案直線與平面平行的判定和性質(zhì)經(jīng)典練習(xí)及詳細(xì)答案編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:直線、平面平行的判定及其性質(zhì)下列命題中，正確命題的是④.①若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l∥;②若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；③如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行；④若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).下列條件中，不能判斷兩個(gè)平面平行的是（填序號）.①一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面②一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面③一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面④一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面答案①②③對于平面和共面的直線m、n，下列命題中假命題是（填序號）.①若m⊥，m⊥n，則n∥②若m∥，n∥，則m∥n③若m，n∥，則m∥n④若m、n與所成的角相等，則m∥n答案①②④已知直線a,b,平面，則以下三個(gè)命題：①若a∥b,b,則a∥;②若a∥b,a∥,則b∥;③若a∥,b∥,則a∥b.其中真命題的個(gè)數(shù)是.答案0直線aA.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.不充分也不必要能保證直線a與平面平行的條件是A.B.C.D.且如果直線a平行于平面,則A.平面內(nèi)有且只有一直線與a平行B.平面內(nèi)無數(shù)條直線與a平行C.平面內(nèi)不存在與a平行的直線D.平面內(nèi)的任意直線與直線a都平行如果兩直線a∥b,且a∥平面,則b與的位置關(guān)系A(chǔ).相交B.C.D.或下列命題正確的個(gè)數(shù)是（1）若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α（2）若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一直線平行（3）兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行（4）若一直線a和平面α內(nèi)一直線b平行,則a∥α個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)b是平面α外的一條直線，下列條件中可得出b∥α是與α內(nèi)的一條直線不相交與α內(nèi)的兩條直線不相交與α內(nèi)的無數(shù)條直線不相交與α內(nèi)的所有直線不相交已知兩條相交直線a、b，a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系∥α與α相交α∥α或b與α相交如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SA=SB=SC，SG為△SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并給予證明.解SG∥平面DEF，證明如下：方法一：三角形中位線連接CG交DE于點(diǎn)H，如圖所示.∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中點(diǎn)，且DH∥AG.∴H為CG的中點(diǎn).∴FH是△SCG的中位線，∴FH∥SG.又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，∴SG∥平面DEF.方法二：平面平行的性質(zhì)∵EF為△SBC的中位線，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可證，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點(diǎn).求證：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.證明平行四邊形的性質(zhì)，平行線的傳遞性（1）如圖所示，取BB1的中點(diǎn)M，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，∴HD1∥MC1.又∵M(jìn)C1∥BF，∴BF∥HD1.（2）取BD的中點(diǎn)O，連接EO，D1O，則OEDC，又D1GDC，∴OED1G，∴四邊形OEGD1是平行四邊形，∴GE∥D1O.又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1，DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H.如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點(diǎn).求證：MN∥平面AA1C1C.證明方法一：平行四邊形的性質(zhì)設(shè)A1C1中點(diǎn)為F，連接NF，F(xiàn)C，∵N為A1B1中點(diǎn)，∴NF∥B1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性質(zhì)知B1C1BC，又M是BC的中點(diǎn)，∴NFMC，∴四邊形NFCM為平行四邊形.∴MN∥CF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.方法二：三角形中位線的性質(zhì)連接AM交C1C于點(diǎn)P，連接A1P，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，且MC∥B1C1，∴M是B1P的中點(diǎn)，又∵N為A1B1中點(diǎn)，∴MN∥A1P，又A1P平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.方法三：平面平行的性質(zhì)設(shè)B1C1中點(diǎn)為Q，連接NQ，MQ，∵M(jìn)、Q是BC、B1C1的中點(diǎn)，∴MQCC1，又CC1平面AA1C1C，MQ平面AA1C1C，∴MQ∥平面AA1C1C.∵N、Q是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，∴NQA1C1，又A1C1平面AA1C1C，NQ平面AA1C1C，∴NQ∥平面AA1C1C.又∵M(jìn)Q∩NQ=B，∴平面MNQ∥平面AA1C1C，又MN平面MNQ∴MN∥平面AA1C1C.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E=C1F.求證：EF∥平面ABCD.方法一：平行四邊形的性質(zhì)過E作ES∥BB1交AB于S，過F作FT∥BB1交BC于T，連接ST，則，且∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴AE=BF∴，∴ES=FT又∵ES∥B1B∥FT，∴四邊形EFTS為平行四邊形.∴EF∥ST，又ST平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.方法二：相似三角形的性質(zhì)連接B1F交BC于點(diǎn)Q，連接AQ，∵B1C1∥BC，∴∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴∴EF∥AQ，又AQ平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.方法三：平面平行的性質(zhì)過E作EG∥AB交BB1于G，連接GF，則，∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG=G，AB∩BC=B，∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO解面面平行的判定當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，∴QB∥PA.∵P、O為DD1、DB的中點(diǎn)，∴D1B∥PO.又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.直線與平面平行的性質(zhì)定理如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.（1）求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.（2）若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.（1）證明∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.(2)解設(shè)EF=x（0＜x＜4），由于四邊形EFGH為平行四邊形，∴.則===1-.從而FG=6-.∴四邊形EFGH的周長l=2(x+6-)=12-x.又0＜x＜4,則有8＜l＜12,∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）.如圖所示，平面∥平面，點(diǎn)A∈，C∈，點(diǎn)B∈，D∈,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.（1）求證：EF∥;（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長.（1）證明兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則交線平行；平行線分線段成比例方法①當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由∥，平面∩平面ABDC=AC，平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD， ∵AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，又EF,BD,∴EF∥. 方法②當(dāng)AB與CD異面時(shí)，設(shè)平面ACD∩=DH，且DH=AC.∵∥，∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形， 在AH上取一點(diǎn)G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.∵EF平面EFG，∴EF∥.綜上，EF∥. （2）解三角形中位線如圖所示，連接AD，取AD的中點(diǎn)M，連接ME，MF.∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴ME∥BD，MF∥AC，且ME=BD=3，MF=AC=2，∴∠EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角），∴∠EMF=60°或120°， ∴在△EFM中由余弦定理得，EF===，即EF=或EF=. 正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP=DQ.求證：PQ∥平面BCE.證明方法一：平行四邊形的性質(zhì)如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，∴AE=BD.又∵AP=DQ，∴PE=QB，又∵PM∥AB∥QN，∴，，，∴PMQN，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴PQ∥MN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二：相似三角形的性質(zhì)如圖所示，連接AQ，并延長交BC于K，連接EK，∵AE=BD，AP=DQ，∴PE=BQ，∴= ①又∵AD∥BK，∴= ②由①②得=，∴PQ∥EK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三：平面平行的性質(zhì)如圖所示，在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)P作PM∥BE，交AB于點(diǎn)M，連接QM.∵PM∥BE，PM平面BCE，即PM∥平面BCE，∴= ①又∵AP=DQ，∴PE=BQ，∴= ②由①②得=，∴MQ∥AD，∴MQ∥BC，又∵M(jìn)Q平面BCE，∴MQ∥平面BCE.又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.如圖所示，正四棱錐P—ABCD的各棱長均為13，M，N分別為PA，BD上的點(diǎn)，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求證：直線MN∥平面PBC；（2）求線段MN的長.（1）證明：方法一：相似三角形的性質(zhì)連接AN并延長交BC于Q，連接PQ，如圖所示.∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，∴===，又∵==，∴==，∴MN∥PQ，又∵PQ平面PBC，MN平面PBC，∴MN∥平面PBC.方法二：平行四邊形的性質(zhì)如圖所示，作MQ∥AB交PB于Q，作NR∥AB交BC于R，連接QR.∵M(jìn)Q∥AB∥NR，∴，，又∵，∴MQNR，∴四邊形MNRQ為平行四邊形，∴MN∥QR.又QR平面PBC，MN平面PBC，∴MN∥平面PBC.方法三：平面平行的性質(zhì)如圖所示，在平面ABP內(nèi)，過點(diǎn)M作MN∥PB，交AB于點(diǎn)O，連接