人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第一冊 《拋物線課時2》教學設(shè)計

15/15《拋物線》教學設(shè)計課時2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)必備知識學科能力學科素養(yǎng)高考考向拋物線及其標準方程學習理解能力觀察記憶概括理解說明論證應用實踐能力分析計算推測解釋簡單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學運算【考查內(nèi)容】1.根據(jù)幾何條件求出拋物線的方程.2.進一步掌握拋物線的方程及其性質(zhì)的應用.3.會判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.【考查題型】填空題、選擇題、解答題拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模一、本節(jié)內(nèi)容分析從本章來講,這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后,一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要,拋物線是離心率e=1的特例;另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次強化.本節(jié)對拋物線定義和性質(zhì)的研究,與初中階段二次函數(shù)的圖像遙相呼應,體現(xiàn)了數(shù)學的和諧之美.教材的這種安排,是為了分散難點,符合認知的漸進性原則.這是繼橢圓、雙曲線之后的又一重要內(nèi)容,它有著廣泛的應用,能使學生進一步感受坐標法及數(shù)形結(jié)合的思想,坐標法的教學貫穿了整個“圓錐曲線方程”一章,是學生應重點掌握的基本數(shù)學方法.運動變化和對立統(tǒng)一的思想觀點在這節(jié)知識中得到了突出體現(xiàn),我們必須充分利用好這部分教材進行教學.本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.拋物線及其標準方程2.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)3.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學運算數(shù)學建模核心素養(yǎng)二、學情整體分析從知識上看,學生已掌握了一些拋物線圖形的實物與實例,對曲線和方程的概念有了一些了解,對用坐標法研究幾何問題有了初步的認識.從學生現(xiàn)有的學習能力看,通過一年多的學習,學生已具備了一定的觀察事物的能力,積累了一些研究問題的經(jīng)驗,在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力.從學生的學習心理上看,學生頭腦中雖有一些拋物線的實物實例,但并沒有上升為“概念”的水平,如何給拋物線以數(shù)學描述?如何“定性”“定量”地描述拋物線是學生關(guān)注的問題,也是學習的重點問題.他們渴望將感性認識理性化,渴望通過自己動手作圖、觀察來辨析和完善概念,通過對比產(chǎn)生頓悟,渴望獲得這種學習的積極心理是學生學好本節(jié)課的情感基礎(chǔ).學情補充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學活動準備【任務專題設(shè)計】1.拋物線及其標準方程2.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)3.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)【教學目標設(shè)計】1.理解拋物線的定義,掌握拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì).2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求拋物線的標準方程.3.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)及其應用.【教學策略設(shè)計】本節(jié)課是在學生學習了橢圓、雙曲線之后,因此在教學中,要時時注意與前兩種曲線進行對比,求曲線方程的步驟、建系方法都是學生已經(jīng)理解和掌握了的,充分調(diào)動學生已有的知識,引導學生把新舊知識有機融合,掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu).在教學過程中,教師需要不斷為學生提供思考及合作的探究性活動,讓學生充分發(fā)揮他們的聰明才智,通過恰當?shù)膯栴}設(shè)置,啟發(fā)學生參與到問題中進行思考探究,學生在輕松、愉悅的氣氛中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力.【教學方法建議】情境教學法、問題教學法,還有__________________________________________________【教學重點難點】重點:1.拋物線的定義及其標準方程.2.拋物線的簡單幾何性質(zhì)的應用.3.直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應用.難點:1.運用標準方程解決相關(guān)問題.2.解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的應用問題.【教學材料準備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、_________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學活動設(shè)計教學導入師:上節(jié)課我們學習了拋物線及其標準方程,通過拋物線的定義研究了它的標準方程.首先來回顧一下拋物線的定義及其標準方程.【學生回答、填表,教師展示多媒體】生:平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點叫做拋物線的焦點.定直線叫做拋物線的準線.此拋物線的方程為【要點知識】拋物線及其標準方程根據(jù)選定的坐標系的不同,拋物線的方程也不同:方程圖像焦點準線師:類比橢圓、雙曲線的研究過程,這節(jié)課應該來研究“拋物線的幾何性質(zhì)”.問題:以開口向右的拋物線為例,如何對范圍、對稱性、頂點、離心率進行逐一研究?【學生分組實踐探究,討論、交流,教師點撥】【設(shè)情境巧引入】通過圖表的方式把前面學習的內(nèi)容復習一遍,這樣不但讓學生溫習了舊知識,而且將對新知識的掌握起到承上啟下的作用.【以學定教】教師提出問題,學生回憶拋物線的定義和標準方程,并請每個同學都寫出一個具體的拋物線方程.類比對前一節(jié)內(nèi)容的橢圓、雙曲線的研究過程.從方程的角度,通過坐標法研究拋物線的性質(zhì)是本節(jié)課的重點內(nèi)容.教學精講1.范圍師:觀察直角坐標系中的拋物線,它的范圍是什么?生:拋物線開口向右,除原點以外,曲線上其他的點都在軸右側(cè),向右上方和右下方無限延伸.師:你能用的方程給出證明嗎?生:從方程可知,因為,等號左邊是完全平方,所以對于拋物線上的點,都有;當?shù)闹翟龃髸r,的值也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延展.2.對稱性師:觀察方程的曲線,開口向右的拋物線有對稱軸、對稱中心嗎?生:由圖像可知,方程的曲線關(guān)于軸對稱,沒有對稱中心.師:類比橢圓、雙曲線對稱性的證明,你能從拋物線的方程入手,給出證明嗎?生:以代替,我們發(fā)現(xiàn)方程不變,所以拋物線關(guān)于軸對稱.我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.【要點知識】拋物線的軸拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.拋物線只有一條對稱軸.【活動學習】使學生從對稱性的本質(zhì)上得到研究對稱性的方法,觀察拋物線的對稱性,使學生體會拋物線的對稱美.【設(shè)活動深探究】教師的適時引導,培養(yǎng)了學生的問題意識,調(diào)動學生參與范圍和對稱性問題討論的積極性,培養(yǎng)邏輯推理、理性思維的素養(yǎng).突出重點,化解難點.3.頂點師:橢圓、雙曲線的頂點是如何定義的?生:曲線與對稱軸的交點叫做曲線的頂點,所以橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點.師:拋物線有幾個頂點?為什么?生:拋物線與對稱軸交于原點,從方程來看,當時,,因此,拋物線只有一個頂點,就是原點.師:回答正確.【要點知識】拋物線的頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點.拋物線的頂點坐標是.4.離心率師:拋物線的離心率如何得到?生:由拋物線定義可知,離心率.【要點知識】拋物線的離心率拋物線上的點與焦點的距離和點到準線的距離的比,叫做拋物線的離心率,用表示.師:如果拋物線的標準方程是0),那么拋物線的范圍(開口方向)、對稱性、頂點、離心率中,哪些與所表示的拋物線是相同的?哪些是有區(qū)別的?【活動學習】教師引導學生探究拋物線的離心率的得到方式與概念,體現(xiàn)活動學習.【學生分組實踐探究,教師出示表格,師生合作,教師點撥】【要點知識】拋物線四種形式的標準方程及其性質(zhì)標準方程圖形范圍對稱軸軸軸軸軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率【概括理解能力】引導學生總結(jié)拋物線的范圍、對稱性、頂點這幾個概念.逐步形成拋物線四種形式的標準方程及其性質(zhì),鍛煉學生思考幾何問題的解析幾何思維模式,深化數(shù)形結(jié)合思想.由此及彼,本表格由學生獨立完成,鍛煉學生類比,概括理解的能力.師:對以上四種位置不同的拋物線和它們的標準方程進行對比、分析,找出共同點和不同點.【學生分組討論,教師點撥,師生共同總結(jié),教師展示多媒體】【要點知識】不同位置的拋物線的共同點與不同點1.共同點:(1)頂點都為原點.(2)對稱軸為坐標軸.(3)準線與對稱軸垂直,垂足與焦點分別關(guān)于原點對稱,它們與原點的距離都等于一次項系數(shù)的絕對值的.(4)焦點到準線的距離均為.2.不同點:(1)對稱軸為軸時,方程的右端為,左端為;對稱軸為軸時,方程的右端為,左端為.(2)開口方向與軸(或軸)的正半軸相同,焦點在軸(或軸)的正半軸上,方程的右端取正號;開口方向與軸(或軸)的負半軸相同,焦點在軸(或軸)的負半軸上,方程的右端取負號.【概括理解能力】通過觀察和比較不同位置的拋物線的性質(zhì),總結(jié)拋物線性質(zhì)的共同點與不同點,強化學習重點,鍛煉學生的自主學習能力.有利于學生理清知識脈絡(luò).深化學生對性質(zhì)的理解,提升概括理解能力.師:下面我們根據(jù)拋物線的簡單幾何性質(zhì)加強練習.【典型例題】利用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程例1已知拋物線關(guān)于軸對稱,它的頂點在原點,并且經(jīng)過點,求它的標準方程.師:根據(jù)給定的條件,怎么求拋物線的標準方程?生:根據(jù)待定系數(shù)法,設(shè)拋物線的方程,代入經(jīng)過的點的坐標就可以確定系數(shù)的值.師:此題選擇哪種拋物線的標準方程呢?如何求解呢?生:由于拋物線關(guān)于軸對稱,頂點在原點,經(jīng)過的點在第四象限,所以可以判定拋物線開口向右,焦點在軸的正半軸上,所以設(shè)它的標準方程為.因為點在拋物線上,所以代入坐標,得,解得.因此,所求拋物線的標準方程是.師:如果把條件“關(guān)于軸對稱”改為“對稱軸是坐標軸”,那么結(jié)果有變化嗎?生:點在第四象限,那么拋物線除了關(guān)于軸對稱,還可以關(guān)于軸對稱,即開口向下.此時,設(shè)標準方程為,同樣采用待定系數(shù)法,代入點的坐標,得,解得.因此,所求拋物線的標準方程是.因此,如果條件“關(guān)于軸對稱”改為“對稱軸是坐標軸”,那么結(jié)果有兩個,分別是.師:選擇拋物線的標準方程是解題的關(guān)鍵點,所以在設(shè)方程之前,先確定拋物線的開口方向,而后,拋物線方程中只有一個待定系數(shù),所以只要一個條件就可以代入求值了.【發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力】通過拋物線的幾何特征,運用方程與函數(shù)的思想,獲得拋物線的標準方程,進而推廣到一般.幫助學生進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.發(fā)展學生的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力,提升數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).【深度學習】對于變式題,目的是鞏固學生對拋物線幾何性質(zhì)的靈活運用,提升審題和解題能力.幫助各種水平不同的學生掌握.師:我們再來做一道利用拋物線的簡單幾何性質(zhì)求其標準方程的題目.【典型例題】利用拋物線的簡單幾何性質(zhì)求其標準方程例2設(shè)拋物線的準線與直線的距離為3,求拋物線的標準方程.【學生分組討論,教師點撥,師生共同總結(jié),教師板書】師解:可化為,其準線方程為.由題意知2或,解得或,故所求拋物線的標準方程為或.師:本題在解答過程中容易出現(xiàn)兩個錯誤:一是不能正確理解拋物線標準方程的形式,錯誤地將所給方程看成是拋物線的標準方程,得到準線方程為.二是得到準線方程后,只分析其中的一種情況,而忽略了另一種情況,只得到了一個解.【簡單問題解決能力】通過例題強化本節(jié)拋物線幾何性質(zhì)的靈活運用,通過學生動手實踐和分析比較,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.【整體學習】使學生深刻理解本節(jié)課的拋物線的幾何性質(zhì)的重點知識,強化記憶,提高自我獲取知識的能力,鞏固運用坐標法研究幾何問題的思維模式.師:同學們,今天我們學習到了什么知識?請大家思考、交流一下.【學生討論、交流、教師補充】【課堂小結(jié)】拋物線的簡單幾何性質(zhì)1.拋物線的幾何性質(zhì)有哪些?2.這些性質(zhì)通過什么方法得到?直觀猜想,方程驗證.【設(shè)計意圖】通過拋物線幾何性質(zhì)的推導過程和本節(jié)所學知識練習鞏固,利用問題教學的教學策略和師生配合共同解決問題的學習方式,發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng).教學評價通過本節(jié)課的學習,學生理解拋物線的定義和標準方程,知道拋物線的標準方程取決于值的大小和焦點的位置,重視拋物線定義在解題中的應用.類比研究橢圓和拋物線的幾何性質(zhì)的方法學習拋物線的幾何性質(zhì),在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時,聯(lián)想直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系.【設(shè)計意圖】在解決與拋物線方程有關(guān)的問題時,學生要充分利用拋物線的簡單幾何性質(zhì),通過觀察、討論、歸納概括使問題簡單化.利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決與拋物線的有關(guān)問題時經(jīng)常運用,培養(yǎng)了學生抽象思維、歸納概括的能力.應用所學知識,完成下面各題:1.根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程:(1)準線方程為;(2)焦點在軸上,焦點到準線的距離為5.思路:若已知拋物線的焦點坐標或準線方程,則可設(shè)出拋物線的標準方程,求出的值,若焦點位置無法確定,則需分類討論,已知拋物線上一點的坐標,一般能求出兩個標準方程.解析:(1)因為拋物線的準線交軸于正半軸,且,則,所以所求拋物線的標準方程為.(2)已知拋物線的焦點在軸上,可設(shè)方程為,由焦點到準線的距離為5,知,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標準方程分別為和.【分析計算能力】從基礎(chǔ)入手,通過練習,使學生更好地理解拋物線標準方程的四種形式、各個量之間的關(guān)系,掌握求拋物線標準方程的基本方法.提升分析計算能力.2.位于軸右側(cè)的動點到的距離比它到軸的距離大.求點的軌跡方程.思路:根據(jù)動點滿足的條件轉(zhuǎn)化為滿足拋物線的定義的條件.解析:由于位于軸右側(cè)的動點到的距離比它到軸的距離大,所以動點到的距離與它到直線的距離相等.由拋物線的定義知動點的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線(不包含原點),其方程應為的形式,而,所以,故點的軌跡方程為.3.若拋物線上有一點,其橫坐標為-9,它到焦點的距離為10,求點的坐標.思路:根據(jù)拋物線的定義,拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離.解析:由拋物線方程,得其焦點坐標為,準線方程為.設(shè)點到準線的距離為,則,即,得,故拋物線方程為.由點在拋物線上,得,故點的坐標為或.【概括理解能力】理解拋物線的定義的條件,將定義與動點的軌跡聯(lián)系起來解決問題,培養(yǎng)了學生的概括理解能力.【簡單問題解決能力】通過拋物線的定義和幾何性質(zhì)設(shè)計習題,鞏固學習效果,同時回顧了學生已有相關(guān)知識和方法,連接了本章的重點和難點,符合學生學習上的認知規(guī)律,提升簡單問題解決能力.4.設(shè)直線與拋物線交于、兩點,已知弦的長為,求的值.思路:根據(jù)直線與圓錐曲線相交的弦長公式列方程.解析:由消去,得.由,得.設(shè).則.∴.∴,即.5.過拋物線的頂點作兩條互相垂直的弦交拋物線于、兩點.(1)求證:、兩點的橫坐標之積、縱坐標之積分別為定值;(2)證明:直線過定點.思路:(1)利用垂直關(guān)系可得,將兩式相乘即可求出定值;(2)利用點差法表示出直線斜率,再利用(1)中結(jié)論可得,即可得出定點.證明:設(shè)的中點.(1),∵,∴.∵,∴.∵,∴.(2)∵,兩式相減得,∴,∴直線,∴,∴.∵,∴,∴過定點.【分析計算能力】分析題意,根據(jù)直線與圓錐曲線相交的弦長公式列方程進行計算,求參數(shù)的值,培養(yǎng)了學生的分析計算能力.【說明論證能力】通過例題及時進行綜合訓練,同時檢查學生本節(jié)課的深入