人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè) 《拋物線課時(shí)1》教學(xué)設(shè)計(jì)

20/20《拋物線》教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測(cè)解釋簡(jiǎn)單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算【考查內(nèi)容】1.根據(jù)幾何條件求出拋物線的方程.2.進(jìn)一步掌握拋物線的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.3.會(huì)判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.【考查題型】填空題、選擇題、解答題拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2)數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模一、本節(jié)內(nèi)容分析從本章來講,這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后,一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要,拋物線是離心率e=1的特例;另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次強(qiáng)化.本節(jié)對(duì)拋物線定義和性質(zhì)的研究,與初中階段二次函數(shù)的圖像遙相呼應(yīng),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美.教材的這種安排,是為了分散難點(diǎn),符合認(rèn)知的漸進(jìn)性原則.這是繼橢圓、雙曲線之后的又一重要內(nèi)容,它有著廣泛的應(yīng)用,能使學(xué)生進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想,坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個(gè)“圓錐曲線方程”一章,是學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握的基本數(shù)學(xué)方法.運(yùn)動(dòng)變化和對(duì)立統(tǒng)一的思想觀點(diǎn)在這節(jié)知識(shí)中得到了突出體現(xiàn),我們必須充分利用好這部分教材進(jìn)行教學(xué).本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)3.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2)數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析從知識(shí)上看,學(xué)生已掌握了一些拋物線圖形的實(shí)物與實(shí)例,對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解,對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步的認(rèn)識(shí).從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看,通過一年多的學(xué)習(xí),學(xué)生已具備了一定的觀察事物的能力,積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn),在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力.從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看,學(xué)生頭腦中雖有一些拋物線的實(shí)物實(shí)例,但并沒有上升為“概念”的水平,如何給拋物線以數(shù)學(xué)描述?如何“定性”“定量”地描述拋物線是學(xué)生關(guān)注的問題,也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問題.他們渴望將感性認(rèn)識(shí)理性化,渴望通過自己動(dòng)手作圖、觀察來辨析和完善概念,通過對(duì)比產(chǎn)生頓悟,渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心理是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ).學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)3.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2)【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.理解拋物線的定義,掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線之后,因此在教學(xué)中,要時(shí)時(shí)注意與前兩種曲線進(jìn)行對(duì)比,求曲線方程的步驟、建系方法都是學(xué)生已經(jīng)理解和掌握了的,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識(shí)有機(jī)融合,掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu).在教學(xué)過程中,教師需要不斷為學(xué)生提供思考及合作的探究性活動(dòng),讓學(xué)生充分發(fā)揮他們的聰明才智,通過恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)置,啟發(fā)學(xué)生參與到問題中進(jìn)行思考探究,學(xué)生在輕松、愉悅的氣氛中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn):1.拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.2.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用.3.直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用.難點(diǎn):1.運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題.2.解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的應(yīng)用問題.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、_________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入師:通過前面的學(xué)習(xí)我們知道,如果動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(不過點(diǎn))的距離之比為,當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為橢圓;當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為雙曲線.當(dāng)時(shí),即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等時(shí),點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么形狀?下面我們就來研究這個(gè)問題.【設(shè)計(jì)意圖】教師提出問題,學(xué)生回憶拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,并請(qǐng)同學(xué)分析不同條件下動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.通過對(duì)前面內(nèi)容的統(tǒng)一歸納復(fù)習(xí),引出課題.通過多媒體演示研究拋物線是本節(jié)課的主線,為后面內(nèi)容的展開埋下伏筆.教學(xué)精講探究1拋物線的定義問題1:研究動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么形狀?【情境設(shè)置】探究拋物線的定義我們?cè)谄矫鎯?nèi)取點(diǎn)是定點(diǎn),是不經(jīng)過點(diǎn)的定直線,如何作定點(diǎn),使它到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等呢?生:連接點(diǎn)和定點(diǎn),線段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到定點(diǎn)的距離,過點(diǎn)向直線作垂線段,垂線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到定直線的距離.滿足:.師:如果讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起來,怎么滿足這個(gè)條件不變?生:我們想起熟悉的圖形中也有類似的特征,“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”,作線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).拖動(dòng)點(diǎn),觀察點(diǎn)的軌跡.師:動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么形狀?生:拖動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng),始終有,即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離,這時(shí)我們看到,點(diǎn)的軌跡形狀與二次函數(shù)的圖象相似.結(jié)合章引言中平面截圓錐的問題,我們想它是拋物線.所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線.師:當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),線段的垂直平分線與過點(diǎn)的定直線的垂線是什么位置關(guān)系?生:當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離就是動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離.【以學(xué)定教】拋物線的形成過程用動(dòng)畫演示,讓學(xué)生觀察到由靜止到運(yùn)動(dòng),從孤立的點(diǎn)變成連續(xù)的曲線,使他們從屏幕中真正看到了“軌跡”,使學(xué)生易于理解,記憶深刻,為學(xué)習(xí)下一節(jié)“拋物線的性質(zhì)”打下了基礎(chǔ).讓學(xué)生經(jīng)歷“從點(diǎn)到線”的過程,從中訓(xùn)練學(xué)生的歸納、直覺思維.同時(shí),突出點(diǎn)的特性也為后面求軌跡方程作了“鋪墊”.師:我們還可以利用直尺和三角板畫出拋物線,動(dòng)手操作一下.如圖,把一根直尺固定在畫圖板內(nèi),直線的位置上,一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣,把一根繩子的一端固定于三角板另一條直角邊點(diǎn)上,截取繩子的長(zhǎng)等于到的距離,并且把繩子另一端固定在圖板上的一點(diǎn);用一支鉛筆扣著繩子,緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊,然后使三角板緊靠著直角尺左右滑動(dòng),這樣鉛筆就畫出了一條曲線,這條曲線就叫做拋物線.【學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,教師點(diǎn)撥】師:你能自己歸納拋物線的定義嗎?【情境學(xué)習(xí)】給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境,一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的機(jī)會(huì),培養(yǎng)學(xué)生自己通過觀察、分析、歸納獲得新知識(shí)的能力,培養(yǎng)學(xué)生組織數(shù)學(xué)語言的能力.【學(xué)生觀察分析、歸納定義,教師補(bǔ)充概括】【要點(diǎn)知識(shí)】拋物線的定義我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線不經(jīng)過點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn),直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.【活動(dòng)學(xué)習(xí)】通過學(xué)生觀察、思考、討論,概括出拋物線的定義,讓學(xué)生全程參與概念的探究過程,加深理解,提高概括能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力.探究2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程問題2:比較橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程,你認(rèn)為如何建立坐標(biāo)系,可能使所求拋物線的方程形式簡(jiǎn)單?師:同橢圓、雙曲線的情形一樣,下面我們用坐標(biāo)法來探討這一問題,并求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.生:利用坐標(biāo)法,建系,設(shè)點(diǎn),列式,化簡(jiǎn),檢驗(yàn).師:推導(dǎo)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,首先要建立平面直角坐標(biāo)系,回顧一下,推導(dǎo)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是如何建系的?生:以橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸所在直線為坐標(biāo)軸,使焦點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,并且焦點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.師:觀察拋物線的幾何特征,我們要如何建系呢?生:它只有一條對(duì)稱軸,并且焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上,所以我們以對(duì)稱軸所在直線為軸.師:軸如何建立?一般來說,同學(xué)們會(huì)選擇以下三種情況中的一種.生:我選擇第二種,我的理由是:設(shè)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,取線段的垂直平分線為軸,這樣點(diǎn)和在軸上的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)左右對(duì)稱.師:另兩種同學(xué)們可以進(jìn)行嘗試,然后比較一下哪個(gè)方程形式更簡(jiǎn)單,想想為什么,這三種不同形式的方程是否有聯(lián)系?【由學(xué)生自主提出建立坐標(biāo)系的不同方法,教師根據(jù)學(xué)生提出的“建系”方式,把學(xué)生分成若干組,分別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程,進(jìn)行比較】師:如何得出拋物線的方程?生:如圖,設(shè)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線間的距離,那么焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,準(zhǔn)線的方程為.根據(jù)定義中的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等,我們把這句話用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行翻譯.設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得 設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離為,由圖可得.所以.將這個(gè)式子兩邊平方去根號(hào),得.展開上式中的平方式,得.整理,得.師:從上面的推導(dǎo)過程可以知道,拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解,反之,以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離相等,即以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在拋物線上.我們把這個(gè)方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在軸正半軸上,焦點(diǎn)是,準(zhǔn)線是的拋物線.【意義學(xué)習(xí)】關(guān)于怎樣取坐標(biāo)系才能得到標(biāo)準(zhǔn)方程的問題,可以做開放的探究學(xué)習(xí),但是不宜花太多時(shí)間,因?yàn)樵讷@得結(jié)果之前難于對(duì)方程形式作預(yù)測(cè),更何況這里的建系方式與一般求軌跡方程時(shí)的建系略有不同.【猜想探究能力】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的導(dǎo)出,先放手給學(xué)生嘗試,教師跟蹤指導(dǎo),再展示學(xué)生結(jié)果;教師對(duì)照?qǐng)D形,加以引導(dǎo),讓學(xué)生明白方程中字母的幾何意義,對(duì)方程的理解有很大的作用,提升學(xué)生的猜想探究能力.【先學(xué)后教】通過師生、生生合作,可以增強(qiáng)學(xué)生的合作能力與群體創(chuàng)造意識(shí).上述設(shè)計(jì)在探究拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),通過師生的對(duì)話交流、密切合作和信息的互動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)合作交流探究的學(xué)習(xí)過程,并自覺地建構(gòu)起拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)系統(tǒng).問題3:選擇不同的坐標(biāo)系時(shí),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程又有哪些不同的形式呢?師:我們建系的時(shí)候讓拋物線的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,但是焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的位置可以有哪些相應(yīng)的變化呢?結(jié)合剛才我們推導(dǎo)開口向右的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程,你能否推出開口向左、向上、向下的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程呢?【教師事先制作好表格,讓學(xué)生通過分組實(shí)踐探究、合作交流填出表格內(nèi)容,教師補(bǔ)充后展示多媒體】【要點(diǎn)知識(shí)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程【自主學(xué)習(xí)】師生合作學(xué)習(xí)、學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上獨(dú)立探究,然后交流學(xué)習(xí)成果,在老師的指導(dǎo)下自然地構(gòu)建了焦點(diǎn)在其他位置的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的架構(gòu),符合知識(shí)形成過程的科學(xué)性,培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力,又強(qiáng)化了知識(shí)的記憶與歸納.師:根據(jù)表格內(nèi)容的填寫,我們找找開口向左、向上、向下的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有什么規(guī)律?生:拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的等號(hào)左邊都是系數(shù)為1的二次項(xiàng),右邊是一次項(xiàng).開口向左、向右的拋物線,一次項(xiàng)是的系數(shù)為正時(shí),開口向右;的系數(shù)為負(fù)時(shí),開口向左.再看拋線開口向上、向下的情況,同樣符合剛才我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.師:所以可以總結(jié)為“一次項(xiàng)定軸,系數(shù)正負(fù)定方向”.我們又注意到,四種拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程都與的值有關(guān),的幾何意義就是焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離,準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直相交的垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它們與原點(diǎn)的距離都是標(biāo)準(zhǔn)方程一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的.【要點(diǎn)知識(shí)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征1.方程的一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)的位置.2.一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向.【概括理解能力】師生共同探究拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的規(guī)律,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.提升概括理解能力.師:請(qǐng)看下面一道例題.【典型例題】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)已知拋物線的焦點(diǎn)是,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.師:拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程與什么有關(guān)?生:與焦點(diǎn)的位置以及焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離的值的大小有關(guān)系.【分析計(jì)算能力】此例題訓(xùn)練學(xué)生能從標(biāo)準(zhǔn)方程找出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,即由方程求條件,反之由條件推方程,提升學(xué)生分析計(jì)算能力.【學(xué)生思考,獨(dú)立做題,教師出示規(guī)范解答并總結(jié)】【典例解析】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解:(1)因?yàn)?拋物線焦點(diǎn)在軸正半軸上,所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是.(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸的負(fù)半軸上,且,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【概括理解能力】教師指出解決拋物線相關(guān)問題時(shí),P的值的重要性,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.師:無論是由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,還是由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程求其標(biāo)準(zhǔn)方程,的值都非常關(guān)鍵,它是拋物線的唯一特征量,決定了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.師:下面我們根據(jù)所學(xué)鞏固練習(xí).【鞏固練習(xí)】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)準(zhǔn)線方程為;(2)過點(diǎn);(3)焦點(diǎn)在直線上.【分析計(jì)算能力】此練習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維,要求學(xué)生熟練掌握拋物線的方程與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的關(guān)系,會(huì)互相求解關(guān)于方程的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的相關(guān)題型,培養(yǎng)學(xué)生的分析計(jì)算能力.【學(xué)生分析解題步驟并解題】確定拋物線的位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù)寫出方程【鞏固練習(xí)】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解:(1)準(zhǔn)線方程為,即,故拋物線焦點(diǎn)在軸的正半軸上,設(shè)其方程為.又,∴,故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)∵點(diǎn)在第四象限,∴拋物線開口向右或向下,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入和中,得,即.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.(3)令,得;令,得.∴拋物線的焦點(diǎn)為或.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.師:我們利用待定系數(shù)法求解了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.下面請(qǐng)看用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟.【方法策略】用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟【概括理解能力】通過例題總結(jié)用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟和方法,概括提煉進(jìn)行歸納,突出重點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的概括總結(jié)能力.提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng),數(shù)形結(jié)合及方程思想.師:通過上面的學(xué)習(xí)我們看一道拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用題目.【典型例題】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例2一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示,衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處,已知接收天線的口徑(直徑)為,深度為.(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).(2)為了增強(qiáng)衛(wèi)星波束的接收,擬將接收天線的口徑增大為,求此時(shí)星波束反射聚集點(diǎn)的坐標(biāo).【學(xué)生獨(dú)立做題,教師巡視,并給予個(gè)別指導(dǎo),最后出示規(guī)范解題過程】【典例解析】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用解:(1)以頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)所在直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的方程為,代入點(diǎn),可得,解得,即拋物線的方程為,焦點(diǎn)為;(2)設(shè)拋物線的方程為,代入點(diǎn),可得,解得,即有拋物線的方程為,焦點(diǎn)為.【簡(jiǎn)單問題解決能力】數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固的,通過例題使學(xué)生進(jìn)一步理解拋物線的定義,鞏固拋物線的概念并掌握標(biāo)準(zhǔn)方程,使知識(shí)內(nèi)化,并在解題過程中感受“數(shù)形結(jié)合”思想的優(yōu)越性,培養(yǎng)學(xué)生的簡(jiǎn)單問題解決能力.【自主學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)根據(jù)實(shí)際問題情境,抽象出數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)模型,并在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立解決問題,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力,提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).師:求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟是什么?【方法策略】求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟【概括理解能力】師生合作總結(jié)求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟,充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,提高學(xué)生的概括理解能力.師:二次函數(shù)的圖像是拋物線嗎?指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【師生共同研究,教師點(diǎn)撥】生:取點(diǎn),直線,設(shè)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖像上的任意一點(diǎn),則.點(diǎn)到直線的距離為,所以,故二次函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等,滿足拋物線的定義,所以二次函數(shù)的圖像是拋物線,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.【整體學(xué)習(xí)】通過拋物線的教學(xué),及時(shí)總結(jié),加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo),讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí),與前面的學(xué)習(xí)目標(biāo)呼應(yīng),同時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法上的指導(dǎo).師:同學(xué)們,今天我們學(xué)習(xí)到了拋物線的哪些知識(shí)?請(qǐng)大家思考交流一下.【學(xué)生討論、交流、教師補(bǔ)充并展示多媒體】【課堂小結(jié)】拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線的幾何特征.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得方式.3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式.【設(shè)計(jì)意圖】通過拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和本節(jié)所學(xué)知識(shí)練習(xí)鞏固,利用問題教學(xué)的教學(xué)策略和師生配合共同解決問題的學(xué)習(xí)方式,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).教學(xué)評(píng)價(jià)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生理解拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程取決于值的大小和焦點(diǎn)的位置,重視拋物線定義在解題中的應(yīng)用.類比研究橢圓和拋物線的幾何性質(zhì)的方法學(xué)習(xí)拋物線的幾何性質(zhì),在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí),聯(lián)想直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系.【設(shè)計(jì)意圖】在解決與拋物線方程有關(guān)的問題時(shí),學(xué)生要充分利用拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),通過觀察、討論、歸納概括使問題簡(jiǎn)單化.利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決與拋物線的有關(guān)問題時(shí)經(jīng)常運(yùn)用,培養(yǎng)了學(xué)生抽象思維、歸納概括的能力.應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下面各題:1.根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)準(zhǔn)線方程為;(2)焦點(diǎn)在軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.思路:若已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程,則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出的值,若焦點(diǎn)位置無法確定,則需分類討論,已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo),一般能求出兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.解析:(1)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線交軸于正半軸,且,則,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上,可設(shè)方程為,由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和.【分析計(jì)算能力】從基礎(chǔ)入手,通過練習(xí),使學(xué)生更好地理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式、各個(gè)量之間的關(guān)系,掌握求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法.提升分析計(jì)算能力.2.位于軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大.求點(diǎn)的軌跡方程.思路:根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件轉(zhuǎn)化為滿足拋物線的定義的條件.解析:由于位于軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大,所以動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等.由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn)),其方程應(yīng)為的形式,而,所以,故點(diǎn)的軌跡方程為.3.若拋物線上有一點(diǎn),其橫坐標(biāo)為-9,它到焦點(diǎn)的距離為10,求點(diǎn)的坐標(biāo).思路:根據(jù)拋物線的定義,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.解析:由拋物線方程,得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,則,即,得,故拋物線方程為.由點(diǎn)在拋物線上,得,故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【概括理解能力】理解拋物線的定義的條件,將定義與動(dòng)點(diǎn)的軌跡聯(lián)系起來解決問題,培養(yǎng)了學(xué)生的概括理解能力.【簡(jiǎn)單問題解決能力】通過拋物線的定義和幾何性質(zhì)設(shè)計(jì)習(xí)題,鞏固學(xué)習(xí)效果,同時(shí)回顧了學(xué)生已有相關(guān)知識(shí)和方法,連接了本章的重點(diǎn)和難點(diǎn),符合學(xué)生學(xué)習(xí)上的認(rèn)知規(guī)律,提升簡(jiǎn)單問題解決能力.4.設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),已知弦的長(zhǎng)為,求的值.思路:根據(jù)直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式列方程.解析:由消去,得.由,得.設(shè).則.∴.∴,即.5.過拋物線的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦交拋物線于、兩點(diǎn).(1)求證:、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別為定值;(2)證明:直線過定點(diǎn).思路:(1)利用垂直關(guān)系可得,