課后習(xí)題答案-第十一章

根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級數(shù)的收斂性n（1）n

nn 1，極限不存在，級n（2）111 3 5 2n12nn 2 2n1 2解：s1 n 2 2n1 2 （3）sinsin2sinn 解u1,u 3,u1,u 3,u1,u0,u1,u 3,u 3

, s1,

1

23,

33,s32

42

42

,

, 33s3 ,s333

,s 3, 1,s0, n如此循環(huán)，所以級數(shù)發(fā)nn（4）nnn

n

n2

21 2.，極限存在，所以級數(shù)收斂（5）

1

1

15652

6 n1 1n 1 1n515 616

1

1

,，極限存在，所以級數(shù)收斂 （6）1

1 6 5n45n 5 n解：s1 ,，極限 5 n 判定下列級數(shù)的收斂n n（1） 2 1n 8解：這是公比為 的等比級數(shù)，所以收斂 （2） 1解：此級數(shù)為調(diào)和級3

倍級數(shù)，所以133（3）1 1333

1nnn解：通 1，所以發(fā)n （4） 3解：這是公比

的等比級數(shù)，所以發(fā)2（5）11

1

1 3

3 n解：這是公比

（6）992938解：這是公比

的等比級數(shù)，所以收9 coscoscos1 解：通項(xiàng)cos1，所以發(fā)散n12233nn 解：通

n1nn23451 4n 1解：通

n

1，所以發(fā)散12345 解：通 1，所以發(fā)散2n ln2 ln3

23解：這是公比為ln2的等比級數(shù)，所以收斂23n（12） n0.0013n1n1n（13） 1

1，所以n解：通 1，所以發(fā)n（14）1111111 解：這是收斂級數(shù)1325272與發(fā)散級數(shù)2 的差，所以發(fā)散 利用柯西審斂原理判定下列級數(shù)的收斂性（1）

;nn

n

1，所以0N0nN11nn

n對任p，都

n

n

，按柯西審斂原理，此級數(shù)收斂。n(2)111111 解：對任何n，都1 1 11 1 13n

3n 3n 3n 3n 6n 6n 1

1 3n 3n

所以，按柯西審斂原理，此級數(shù)發(fā)散sin2（3） n2解：sin

sinn1

sinnpx1

1 1所以 2n 2n 2n

sinn1

sinnp

按柯西審斂原理，此級數(shù)收斂1

2n

nn（4）n

osn解：對任何n，都1n1cos 1 1cos11n1n此級數(shù)發(fā)散

n n

n（5）

2解：對任何n4k，都有u4k1，所以，按柯西審斂原理，此級數(shù)發(fā)散若級數(shù)un的部分和S2nS2n1都收斂到A，證明：此級數(shù)收斂證明：因?yàn)镾2nS2n1都收斂到A，所以limSnA即此級數(shù)收斂 若級數(shù)un收斂，級數(shù)vn發(fā)散，問：級數(shù)unvn是否收斂 解：級數(shù)unvn發(fā)散，因?yàn)榉駝tvnunvnun就收斂 若級數(shù)ak與bkakukbkk12,，求證：級數(shù)ukk k k k kn n n n n n都有k

k

而akk

ukk

bkk

k

,按柯西原理，級數(shù)ukk設(shè)有數(shù)列xn。證明：若級數(shù)xnxn1收斂，則數(shù)列xn收斂證明：0由級數(shù)xn

收斂，知存在NnNpnk

xkxk1，這可推xnxn

nk

xkxk1，按數(shù)列的柯西審斂原理，列xn收斂證明：若級數(shù)

n

0n12,limnan n證明：因?yàn)榧墧?shù) 收斂，所以limrlimnn

uk nk0nu2n

n

limna2n0,進(jìn)而lim2na2n0kk k02n1 2n 2n1 0，所以也有l(wèi)im2n 0， limna0.11.2 用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級數(shù)的收斂性（1）111 2n 1

2n

2n，而

n2n21 1 1（2）11221321n21解1

1，所以原級數(shù)發(fā)散n（3）11 2 3 n1n1解：n1n4

1，所以原級數(shù) （4）sin2sin22sin23sin2n sin2n2n（5） an11解：當(dāng)0a1時(shí)，n充分大后 1，所以原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)a1時(shí)， 11 1 1 所以原級數(shù)發(fā)散a11ana，所以原級數(shù) 用比較判別法下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性（1） n1n2n解

，所以原級數(shù)n2n nn2n2

n2解： 1，所n2n（3） n nn1解： n1

，所以原級數(shù)n2(4)

2解2n

3 （5）

n4n4解n4n4

，所以原級數(shù)3（6）131

11333n13332（7）2222 解：2

，所以原級數(shù)收（8） 12 2 3 4 n1n2n1n

n

，所以原級數(shù)

2n

23 34 45解 2n n1n2n

n1n2n，所以原級數(shù) 2n 解：2n 2n

，所以原級數(shù)

n12n2n1 解 n12n2，所以原級數(shù)收斂2n2n1（12）

ntan1 解：n充分大后，ntan ，所以原級數(shù)收斂 用比值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性 （1）1 2 2 3 n

nn1解n

31，級數(shù)發(fā)散23（2）n3n解：

11，級數(shù)收斂。n （3）

an2n1n1tan解 n

11，級數(shù)收斂。用根值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性 （1）

2n1nnnnnn2n1 1，級數(shù)收斂。2n1 11（2） n1

lnn1

01，級數(shù)

（3）

3n1 nnn3n1解 91，級數(shù)收斂baanananbananabnn解

na判定下列級數(shù)的收斂 3 3 3 （1）2 n13 解： 1，級數(shù)收斂3 4n4 nn解 01，級數(shù)收斂 nnn解：n ,級數(shù)發(fā)散nn n

sin3n2n1sin33解：2nsin

21,級數(shù)收斂。232nn 232nnnn解 1,nn（6） a0,ba 2a na1111nab1n

a（7） 1n1nnnnnn解： 10，級數(shù)發(fā)散n（8）

2n2 n 2n1解

，級數(shù)發(fā)散ncos2 3 ncos2解：0 3

，級數(shù)收斂（10） n2ln10 ln10nn0 n（11）sa0,sn 解：n 此時(shí)當(dāng)s1時(shí)，級數(shù)收斂，當(dāng)s1時(shí)，級數(shù)發(fā)散

n1 3

3 51n2n解 1n2n433

2n n

4

解 1,，所以級數(shù)發(fā)散2

n 22nos3n

2 n ，所以級數(shù)收斂2（15）

;

n解解

n 0，所以級數(shù)

nn121 n 解： 1，所以級數(shù)收斂

1 2222

nn22232 52 2n122222232223225222n122解

52 2n12

2n3222

11，所以級數(shù)收斂33n4

3n4解：0 3n4lnnn1解：0lnn ，所以級數(shù)收斂 1 n

n3nlnlnn解：

0，所以級數(shù)發(fā)散。1（21） 0,n3nlnnlnlnn解：當(dāng)1時(shí)，因?yàn)? ，所以級數(shù)收斂。當(dāng)1時(shí)，nlnnlnlnn nlnnnlnn

nl

101 lnln

nn dx可得此時(shí)若1，則積分收斂，若1，則積分發(fā)散。 xlnxlnlnx判定下列級數(shù)是否收斂，如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂 234 234解：由萊布尼茨判別法，此級數(shù)收斂。取絕對值后是p條件收斂

的p2（2）

1n1n 解：因?yàn)榘幢戎蹬袆e法n11 1 1 1（3）3 2 3 3 31 1 1 1解：因?yàn)? 2 收斂，所以原級數(shù)絕對收斂 3 3 3

1111ln ln ln ln解：由萊布尼茨判別法，此級數(shù)收斂。取絕對值后發(fā)散。所以原級數(shù)條件收 （5）1n1 n 解 ，所以原級數(shù)發(fā)散2n n（6）

1n11解：當(dāng)p1時(shí)，因?yàn)?1n1判別法1n1收斂，而1發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂；當(dāng) 0時(shí)，因?yàn)? n1 趨于零，所以級數(shù)發(fā) sin（7） n1 sin 解：因?yàn)?n

，

收斂，所以原級數(shù)絕對收斂（8）

1nlnnn

ln1

ln解：因?yàn)榘慈R布尼茨判別法原級數(shù)收斂，而因 原級數(shù)條件收斂

發(fā)散

nn 解：因

nnn1！

1，所以原級數(shù)絕對收e 1325272 解：因?yàn)?111 11 2n解：因?yàn)榘慈R布尼茨判別法原級數(shù)收斂，而取絕對值后發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂

1n122n解：因 n！0，所以原級數(shù)絕對收斂 nn11

2n解：因

1，所以原級數(shù)絕對收2

1n1ln;n;解：因?yàn)榘慈R布尼茨判別法原級數(shù)收斂，而取絕對值后發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂

1n1sinxxn解：因?yàn)榘慈R布尼茨判別法原級數(shù)收斂，而取絕對值后發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂

1

n1nlnn解：因?yàn)榘慈R布尼茨判別法原級數(shù)收斂，而取絕對值后當(dāng)1或1且1時(shí)收斂，以此時(shí)原級數(shù)絕對收斂；取絕對值后當(dāng)1或1且1時(shí)發(fā)散，所以此時(shí)原級數(shù)條

n1nln解：因?yàn)榘慈R布尼茨判別法原級數(shù)收斂，而取絕對值后發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂

n;nn解：因?yàn)榘慈R布尼茨判別法原級數(shù)收斂，而取絕對值后發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂(19)111111111 111111111解：級

3

6

9 斂，這說明對于原級數(shù)來說 有極限， 3n

S 3n 3nS散，所以原級數(shù)條件收斂下列級數(shù)中 在什么范圍內(nèi)收斂？是絕對收斂還是條件收斂？在什么范圍內(nèi)發(fā)散（1） nxnxnx

x3x時(shí)，級數(shù)為n，發(fā)散；當(dāng)x3時(shí)，級數(shù)為 ，條件收斂（2）

1

x

x

n12n n

xx2nxxx解：xx 1n2n

x2x2斂；當(dāng)x2時(shí)，級數(shù)通項(xiàng)不趨于零，發(fā)散x2xnlnxn1lnxn1lnn解x2xnln

1x1時(shí)，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)0x1xx1時(shí)，級數(shù)為x

1n4，條件收斂 n2ln p pn1nx然對任何x，只要x不是負(fù)整數(shù)，級數(shù)就條件收斂；當(dāng)p0時(shí)，顯然x，級數(shù)都發(fā)散 1x1x21xnx11x1x2x11x1x21xn1xn11x1x21xn斂；當(dāng)

1時(shí)，其趨于零，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)顯然絕對收斂 1（6） 2n111x1x2n1解 .當(dāng)x1時(shí)，其趨于x1x2n1

x1（7） 1n1xn;2n（7） 1n11x2n11x1n1n11x2n11x1n1x2n11x11大于1，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x0時(shí)，顯然級數(shù)條件收斂設(shè)正項(xiàng)級數(shù)

和

都收斂，證明：級數(shù)

n

2也收斂 證明：因?yàn)檎?xiàng)級數(shù)un和vn都收斂，所以M0unM,vnM，所以 uv22Muv，于是級數(shù)uv2

設(shè)級數(shù)un收斂，且lim 1.問：級數(shù)vn是否也收斂？試說明理由 n n n nn解：不一定。例如設(shè)un ,v 就滿 un收斂，且lim 1.nnn nnvn 若正項(xiàng)級數(shù)an與bn都發(fā)散，問：下列級數(shù)是否發(fā)散 （1）maxan,bn;（2）minan,bn 解：（1）maxanbnan，所以maxanbn一定發(fā)散(2)minanbn不一定發(fā)散。反例 ,a

,

1,

2n

2n

2n若正項(xiàng)級數(shù)

2收斂，證明：級數(shù)un2n

1

u收斂。反之不成立，反例如unn若limnana0證明：級數(shù)annn

n散n設(shè)ak,bk為兩個(gè)數(shù)列，令snbi那 sn有界，級數(shù)ak1ak絕對收斂，且an0n,證明：級數(shù)k k 若級數(shù)bk與ak1ak收斂，證明：級數(shù)akbkk k knkknkk

nas

a

a

a

kkkkkkkkkkkkkkkkak

k k k k k kakak1skansnksnMakak1skMakak1akak1k

limakak1sk存在，又顯然limansn0，所以limakak1skan nk nk級數(shù)akbk收斂k 因?yàn)榧墧?shù)bk收斂，所以sn有界，同（1）的證明可得limakak1sk k nkk因?yàn)閍 收斂，所以aa收斂，由此易得lima存在，進(jìn)而limakk k n

k k limakak1skansn存在，即級數(shù)ak nk k 設(shè)nan收斂，證明：級數(shù)an收斂的充要條件是級數(shù)nanan1收斂 n n證明：kakak1kakk1akaknan1ak n1an1nk k k k k 所以級數(shù)an收斂的充要條件是級數(shù)nanan1收斂 求極 1 1kn nk1 nnk13 knn311nn311nk

1 1

1 1

1，所以k 收斂，k 3 n k13 k k13 k有界，所以

1

1k1

1

nnk13 kx1,y1,k

k1

y

yk1

1x1y k

,yk1k1

1

都是絕對收斂k

k1

y

k

yk1

即是它們按柯西乘積相乘的 1x1證明

xn 0 xn

xynn!n!n!n11

x

yn

xk

yxn

1!n k!nk n1! 1

C0x0

Ck

yCnxn

xyn! 所以結(jié)論成立求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間（1）x2x23x3nxn n 1,所以收斂區(qū)間為1,1 n（2）1x2

21

1,所以收斂區(qū)間為1n1 1n1 n1n

1242n2n1241242n2n124

0,所以收斂區(qū)間為 （4）1

n

2

3 n1n1n11n

,所以收斂區(qū)間為3,32x

22x22x3 n

n12

xn2

11 2，所以收斂區(qū)間為 , n22n1nx2n12n

22

x2，所以收斂區(qū)間為 1n 1n1 2n1nx2n2n12n1

x，所以收斂區(qū)間為2

2,2

x

n;n1，所以收斂區(qū)間為4,1n1n3n1n1nn xn3n13n1n3nn

5，所以收斂區(qū)間為

,1 1

55 n1

n

nn1n e，所以收斂區(qū)間為, ee（11）nx1nn 1，所以收斂區(qū)間為2,0 （12）nx2nn1n1

n

x，所以收斂區(qū)間為2

2,2求下列級數(shù)的收斂區(qū)間，并在端點(diǎn)是否收斂 23（1）x 23

n12131，所以收斂區(qū)間為1,1。x1處級數(shù)為 n1213n n1213布尼茨判別法其收斂；x1處級數(shù)為 ，發(fā)1213（2）xx4x9x16

2lnn1xnlnn

x2n1，所以收斂區(qū)間為1,1x1處級數(shù)顯然都發(fā)散 nnlnn1n

1，所以收斂區(qū)間為1,1。x1處級數(shù)顯然x1時(shí)級數(shù)

1nlnn1，按萊布尼茨判別法其收斂n 2n

0，所以收斂區(qū)間為,

xn2n1

2n2n111

，所以收斂區(qū)間為1,1。當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)顯然收斂xx1ax1a2x21a3x3

anxnan2 n121

11 a，所以收斂區(qū)間為 。當(dāng)x 時(shí)，級數(shù)顯然收斂 n2 a na0,ba

aa an11 解：

，所以maxabmaxab anbnxmaxab 12nn1 111 解： n11，所以收斂區(qū)間為1,1。當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)顯然發(fā)散 11

2n!xn2n122nn

11 4 ，所以收斂區(qū)間 4 44 n12n 123452n 123 123452n 1234562n2n1

246

x4時(shí)，級數(shù)為

，按萊布尼茨判別法，級數(shù)收斂n

3nn

x1n

3n1

2 解： n

33,3x33 nx432x1

12x

12x

1limn11，所以收斂區(qū)間為10x0時(shí)，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x1時(shí)，級 nlnxlnx2lnx3 解：公比為lnx，所以收斂區(qū)間為1ex1,e時(shí)，級數(shù) xnxnn

1，所以收斂區(qū)間為,11。當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)都發(fā)散x 1xx2n2n

1111111111x31x11x2n11x

，所以收斂區(qū)間為0,。當(dāng)x0時(shí)，級數(shù)發(fā)散設(shè)冪級數(shù)axnbxn的收斂半徑分別為RRRRn

abxnRR，能否求收斂 解x0Rabxn收斂xRR

abxn

1,b1時(shí)，收斂半徑都為1為求下列冪級數(shù)的和函

（1）

2n1x2n1;2n1 x2 2n2n1x2n1

，所以收斂區(qū)間為2,2。易得x 時(shí)級數(shù)發(fā)散。2n1x2n1,x2sx 2

2,2 x2n12n sxdx 2

1dx2n12

2

所sx

2,x 2 22 2（2）

2n

2n2n

x2所以收斂區(qū)間1,1。易x1時(shí)級數(shù)收斂。sx

2n

x2n1x1,1項(xiàng)求導(dǎo)得s'x1n1x2n2

1

，于是sx dxarctanx,x01（3）nx1nlimn1

02x02nsxnx1n1,x02，逐項(xiàng)積分 x sxdx

nx

dxx

，求導(dǎo)得sx ，于是

nx1n x2

,x0,

2

2（4）nn解：

n1n2

1所以收斂區(qū)間1,1。易得x1時(shí)級數(shù)收斂。令

x'xsxnn

x1,1逐項(xiàng)求導(dǎo)sx

,s"x

1

, 1xln1xx,xsxln1x;sx

于

1xln1x,x1,0xnnxn

0,x 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級數(shù)的和函數(shù)（1）解：易得收斂域?yàn)?，令sx

逐項(xiàng)積分得 1 10sx1 1

dxxn ，求sx

2,x

（2）4n 解

x4，收斂區(qū)間為1,1x1時(shí)級數(shù)發(fā)散。令sx

x4n1

n14n4n4n4n4n項(xiàng)求導(dǎo)得sxx4 ，積分得sxx arctanx ln ,x 1 x2（3）x 2n

12n2n

1,1x2

x1sxx ，逐項(xiàng)求導(dǎo) 2ns'x1x2x4x2n2nn

11

，積分sx1ln1xx 1解：易得收斂區(qū)間為1,1，當(dāng)x1時(shí)級數(shù)sxnn1xn1，逐

x 得

sxdxn1

,0

sxdxdx

1

,求導(dǎo)sx

1所以nn

3,x1（5）

x2nn1n2nlimn12n1x21,1x1sx

n1n2ns'x

2

x2n1,s"x

1n1x2n2

n12n

1xsx2xarctanxln1x2,x2n1

x2n3n

2n1

2n1x2n

0，收斂區(qū)間為,sx

，逐項(xiàng)積分xsxdx1x2n1xex2求導(dǎo)sx12x2ex2 n0 fxaxxRnnna1fn0,n0,1,nnx0a0f0;逐項(xiàng)求導(dǎo)得fxnaxn1xRx0na1f 類似得

nfmxnn1nm1axnmn

，取x a1fm0 證明函數(shù)y 2滿足方程

yy0n0證明：易 y

收斂區(qū)間為 ，逐項(xiàng)求導(dǎo)y'

nxn1,y"

n0nn1xn2.代入即知結(jié)論成立n1

函數(shù)展開成冪級求函數(shù)fxcosx的泰勒級數(shù)，并驗(yàn)證它在整個(gè)數(shù)軸上收斂于此函數(shù)解：因?yàn)閏osxncosxn，所 2 cosxfxcosxcos

xxx

2xxn

2 coscosn又因?yàn)镽nx x 0，所以在整個(gè)數(shù)軸 cosx fxcosxcos

cosx0xx0 2x

n 2 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間exeshx xnxshxexex

n!

,x, lnaxa

n02n x 解：lnaxlnaln lna xn,xa,a a sin2 1cos2 2n1sinx

1n

21xln1x

2n!,x n1xln1x1xn

xxn2xx

xn,xx11 n2n1!!x2n n2n1!!x2n1解 x1 x 21

,x 將下列函數(shù)展開成x1的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間

3313n 2 1x

x1

xx

1n32nn n

1

x1,x0, lgx

2n

ln1x1

x1n,x0,

n1n展開將函數(shù)fxcos x展開

的冪級數(shù)3 解

fxcosxcosx cosx sinx3 3 2 3 x

11n 3 31n 3 ,x,2 1

2n將函數(shù)fx 展開成x3的冪級數(shù)x 解：fx 1 ,x0,6 3x1

31x3

將函數(shù)fx解

x23x2展開成x4的冪級數(shù)fx x23x x x 2x4 3x4 1x 1 x4 x4 1

1

x4,x6,n0 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù) （1）lnx x2 解：lnx x 1 ,x1,1，積分2 n2n1!!221 1 xn

x x

2n2n12n

2 ,x 2 解2 2

n1x22，求導(dǎo)得 2

2x

2

2n1,x2,2求下列數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和（1） nn1n

n2

n

n

!（2）12n1!解 n

1 2n

1

1

cos12

2 2n 2 2 2n利用某些函數(shù)的已知展開式求下列函數(shù)在x0（1）axalnan解：axexlna ,x, （2）xet20x x1nx 解： dt dt n0 1（3） aa

n02n解： n1,xa,aax a1xlnaxa

n0 x lna xn,xa,a a cos2 1cos2x111n22nx2n,x, x sin3

2 解 3

1

33n

sinx4sinx4sin3x4

2n

,x,

4

2nsinx 解

x

2sinxcosx

21

1nx2n,x,

2

2n

2n

ln1x2x2

解1n1 ln1x2x2ln12xln1x

xn nn1n 2n1 11 xn,x x

22 1x解 n1

x11x 31 31

n01n12n 11 xn,x 22 1 ln 1x'

11

21

,逐項(xiàng)積分x n

x1,1;所arctanx0n

xdx

2n 1 1

x2n

1 xn1xn2

1 2 2n 4n1 n1 x x

x2n

,x n022n n04n求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的冪級數(shù)展開式，并求其收斂范（1）x22x1x1處x22x1x124x1x124x14.xcosx,在x 處3解cosx cosx332cosx3

32sinx332 1

1

3

2 2n

,x, exx1處exeex1(4)1x3x

ex

,x, n 解： 3

x 3

xx3

n1x3,x0,63dex 將dx 展開為x的冪級數(shù)，并證 n1n

n1

證明：dx n!

n

x1 dex

n dx

xexxexex函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)試用冪級數(shù)求下列微分方程的解y'xyxyaxny

n

naxnnnaxn1axn1xa2aa1xn xn1;

n n12aa1 n1

0,naC,aC,, 2 a1,a1,a1,,

3 2 2nyC

x2

x2

1x

x3

x2n

2

x3

x2

2n y"xy'y n解：設(shè)yanxny'nanxn1y"nn1axn2，代n nn1anxn2naxnaxnn1n2a2n 于是n1n n1a0, ,所

n2

2n ya012!!4!!12n!!a1x3!!12n 2ae2ax

x2 1 2n （3）1xy'x2 n n nyaxnynaxn1，代入得naxn1naxnx2n n n

a1a0 于是3aa nan1n1an,n1,3, ya01x32

43nn1試用冪級數(shù)求下列方程滿足所給初始條件的特解1（1）y'y2x3,

12anxn，12y'nanxn1y2

axa2ax2a2aax3a2aaa2x4 1 1 a1a1 a1 代入得

aa 解

a ;3 4aa2aa

5a4a32a1a2 a4 1

ay11x1x21x3

x4

x5 （2）1xy'y1x,

a1解：設(shè)

y

y' ，則

nanxn1,代入得

2a 所以nyx1x21x31x4 xn1 2 3 n1利 公式將函數(shù)excosx展開成x的冪級數(shù)n

an1n

n111i

22

解：excosxisinxexeixe1ix xn

xn,22cos 較兩邊的實(shí)部，得excosx 4 傅里葉級下列周期函數(shù)fx的周期為2，試將fx展開成傅里葉級數(shù)（1）fx3x21x1a

1dx

a13x21cosnxdx1n bn

,nfx2

1nn n

cos（2）fxe2xxae2xdx1e2 a1e2xcosnxdx 1n2e2e2,n n2 b1e2xsinnxdx 1n n2

1n 1n1 所以fxe2e2 cosnx sinnx,x2k1, n n x2k1時(shí)

1n 1n1 ee2e2 cosnx sinnx n n 解

fxbx,fxax0xab為常數(shù)，且ab0a010bxdxaxdxabn0osaxcosa nbn0osaxcos1 1b10bxsinnxdx n1ab 所

0axsin a 1 1n1ab fx 4 n bacosnx sinnx,x2k x2k1時(shí)a 1 1n1ab a4 n bacosnx 將下列函數(shù)fx展開成傅里葉級數(shù)x（1）fx x

0;b

1 2 sin 1

23n1

9 n1 2 sinnx,x所以

1

9 9 n12

1sinnx

n 9 9ex,x（2）fx解解a010exdxdx11ex

1

n1aecosnxdxcosaecosnxdxcos;n 1n2

n1

b

sin

11

1n2 所fx1 1

n11n1e11n cosnx sin n1

1n2 xx時(shí) 1 11n1 n11n1e cosnx sinnx

n1

1n2 2x將函數(shù)fx解

x展開成傅里葉級數(shù)2ca2c

xdx4 2 2an0coscosnxdx2

1bn

n 4 4 所以fx 1cos4n1n2 4 設(shè)fx2的周期函數(shù)，它在,上的表達(dá)式

,x 2 x 2,2x將fx展開成傅里葉級數(shù) 2nn2 sinnxdx

n 2 所以fx1n1 2sinnsinnx.x2k1. x2k 2 n 2 n2sin2sinnx0. 將函數(shù)fx 0x展開成正弦級數(shù)121解：a 2

所以fx

sin n 1

ninnx, 0

nxn nnn將函數(shù)fx2x20x分別展開成正弦級數(shù)和余弦級nna

2 2sinnxdx

41n; ;bn0

fx2x2

8n4n x 1sinnx, 81n141nsinnx余弦級數(shù)：

0;a

2x2dx42;a2

81nn1;n

0 cos fx2x

2n3n3

cosnx,0x設(shè)周期函數(shù)fx2 fxfx fx a00,a2k0,b2k0k1,如果fx fx，則fx的傅里葉系數(shù)a2k10,b2k10k0,1,a1fxdx 0fxdx fx 1fudu1fx 1fxdx1fxdx 1fxcos2kxdx 0fxcos2kxdx fxcos 1fucos2kudu1fxcos11 fxcos2kxdx

fxcos2kxdx 1fxsin2kxdx 0fxsin2kxdx fxsin 1fusin2kudu1fxsin11 fxsin2kxdx

fxsin2kxdx

fxcos2k1xdx

0fxcos2k1xdx

fxcos2k2k 1fucos2k1udu1fxcos2k111 fxcos2k1xdx

1

fxcos2k1xdx11 fxsin2k1xdx

0fxsin2k1xdx

2k 1fusin2k1udu1fxsin2k1 1fxsin2k1xdx1fxsin2k1xdx 0,hx0,hx分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)a0;b2hsinnxdx

1cosnh 所解：正弦級數(shù)：2

fxn1

1cosnhsinnx,0x

x 21cosnhsinnx0;當(dāng)xh時(shí)， 21cosnhsinnx1n1 n1 2余弦級數(shù)：bn0;a00dxan0cosnxdx

n1;所以fh

2sinnh x osnx, h2sinnh

2bna

2x1dx0;a 2x1cosnxdx 11n,n 0 0 所以fx 11ncosnx n1

k

2k12

cos2k1在指定區(qū)間上把下列函數(shù)展開成傅氏級數(shù) x,0x x,0x（1）fx11 axcosnxdx11; 0axcosnxdx11;1 bn0xsinnxdx 所以fx 11ncosnx

11ncosnx sinnx （2）fxsin4x,x解2 2 a

xdx4;an

xcosnxdx ,nn n

fxsin4x3cos2xcos4x （3）fxeaxa0,x

1,na解：1eaxdx 1eaaa a

os

a2n2b1eaxsinnxdx 1n1ea 所

ea

a2n2eaea n fx a2n21cosnxa2n2

sinnxxx時(shí)eaeaeaea n ea2

1cosnx

22222

n1

a 2（4）fxx2,x2 a

41n x2dx

;a

xcosnxdx

fxx

2n3n3

cosfxx2,x0,1

1 1 2

x2sinnxdx 解：a0 xdx 3;an xcosnxdxn2.bn fxx 3n2cosnxnsinnx.0x 當(dāng)x0,2時(shí) n2cosnxn