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文檔簡介
根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級數(shù)的收斂性n(1)n
nn 1,極限不存在,級n(2)111 3 5 2n12nn 2 2n1 2解:s1 n 2 2n1 2 (3)sinsin2sinn 解u1,u 3,u1,u 3,u1,u0,u1,u 3,u 3
, s1,
1
23,
33,s32
42
42
,
, 33s3 ,s333
,s 3, 1,s0, n如此循環(huán),所以級數(shù)發(fā)nn(4)nnn
n
n2
21 2.,極限存在,所以級數(shù)收斂(5)
1
1
15652
6 n1 1n 1 1n515 616
1
1
,,極限存在,所以級數(shù)收斂 (6)1
1 6 5n45n 5 n解:s1 ,,極限 5 n 判定下列級數(shù)的收斂n n(1) 2 1n 8解:這是公比為 的等比級數(shù),所以收斂 (2) 1解:此級數(shù)為調(diào)和級3
倍級數(shù),所以133(3)1 1333
1nnn解:通 1,所以發(fā)n (4) 3解:這是公比
的等比級數(shù),所以發(fā)2(5)11
1
1 3
3 n解:這是公比
(6)992938解:這是公比
的等比級數(shù),所以收9 coscoscos1 解:通項cos1,所以發(fā)散n12233nn 解:通
n1nn23451 4n 1解:通
n
1,所以發(fā)散12345 解:通 1,所以發(fā)散2n ln2 ln3
23解:這是公比為ln2的等比級數(shù),所以收斂23n(12) n0.0013n1n1n(13) 1
1,所以n解:通 1,所以發(fā)n(14)1111111 解:這是收斂級數(shù)1325272與發(fā)散級數(shù)2 的差,所以發(fā)散 利用柯西審斂原理判定下列級數(shù)的收斂性(1)
;nn
n
1,所以0N0nN11nn
n對任p,都
n
n
,按柯西審斂原理,此級數(shù)收斂。n(2)111111 解:對任何n,都1 1 11 1 13n
3n 3n 3n 3n 6n 6n 1
1 3n 3n
所以,按柯西審斂原理,此級數(shù)發(fā)散sin2(3) n2解:sin
sinn1
sinnpx1
1 1所以 2n 2n 2n
sinn1
sinnp
按柯西審斂原理,此級數(shù)收斂1
2n
nn(4)n
osn解:對任何n,都1n1cos 1 1cos11n1n此級數(shù)發(fā)散
n n
n(5)
2解:對任何n4k,都有u4k1,所以,按柯西審斂原理,此級數(shù)發(fā)散若級數(shù)un的部分和S2nS2n1都收斂到A,證明:此級數(shù)收斂證明:因為S2nS2n1都收斂到A,所以limSnA即此級數(shù)收斂 若級數(shù)un收斂,級數(shù)vn發(fā)散,問:級數(shù)unvn是否收斂 解:級數(shù)unvn發(fā)散,因為否則vnunvnun就收斂 若級數(shù)ak與bkakukbkk12,,求證:級數(shù)ukk k k k kn n n n n n都有k
k
而akk
ukk
bkk
k
,按柯西原理,級數(shù)ukk設有數(shù)列xn。證明:若級數(shù)xnxn1收斂,則數(shù)列xn收斂證明:0由級數(shù)xn
收斂,知存在NnNpnk
xkxk1,這可推xnxn
nk
xkxk1,按數(shù)列的柯西審斂原理,列xn收斂證明:若級數(shù)
n
0n12,limnan n證明:因為級數(shù) 收斂,所以limrlimnn
uk nk0nu2n
n
limna2n0,進而lim2na2n0kk k02n1 2n 2n1 0,所以也有l(wèi)im2n 0, limna0.11.2 用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判定下列級數(shù)的收斂性(1)111 2n 1
2n
2n,而
n2n21 1 1(2)11221321n21解1
1,所以原級數(shù)發(fā)散n(3)11 2 3 n1n1解:n1n4
1,所以原級數(shù) (4)sin2sin22sin23sin2n sin2n2n(5) an11解:當0a1時,n充分大后 1,所以原級數(shù)發(fā)散;當a1時, 11 1 1 所以原級數(shù)發(fā)散a11ana,所以原級數(shù) 用比較判別法下列正項級數(shù)的斂散性(1) n1n2n解
,所以原級數(shù)n2n nn2n2
n2解: 1,所n2n(3) n nn1解: n1
,所以原級數(shù)n2(4)
2解2n
3 (5)
n4n4解n4n4
,所以原級數(shù)3(6)131
11333n13332(7)2222 解:2
,所以原級數(shù)收(8) 12 2 3 4 n1n2n1n
n
,所以原級數(shù)
2n
23 34 45解 2n n1n2n
n1n2n,所以原級數(shù) 2n 解:2n 2n
,所以原級數(shù)
n12n2n1 解 n12n2,所以原級數(shù)收斂2n2n1(12)
ntan1 解:n充分大后,ntan ,所以原級數(shù)收斂 用比值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性 (1)1 2 2 3 n
nn1解n
31,級數(shù)發(fā)散23(2)n3n解:
11,級數(shù)收斂。n (3)
an2n1n1tan解 n
11,級數(shù)收斂。用根值審斂法判定下列級數(shù)的收斂性 (1)
2n1nnnnnn2n1 1,級數(shù)收斂。2n1 11(2) n1
lnn1
01,級數(shù)
(3)
3n1 nnn3n1解 91,級數(shù)收斂baanananbananabnn解
na判定下列級數(shù)的收斂 3 3 3 (1)2 n13 解: 1,級數(shù)收斂3 4n4 nn解 01,級數(shù)收斂 nnn解:n ,級數(shù)發(fā)散nn n
sin3n2n1sin33解:2nsin
21,級數(shù)收斂。232nn 232nnnn解 1,nn(6) a0,ba 2a na1111nab1n
a(7) 1n1nnnnnn解: 10,級數(shù)發(fā)散n(8)
2n2 n 2n1解
,級數(shù)發(fā)散ncos2 3 ncos2解:0 3
,級數(shù)收斂(10) n2ln10 ln10nn0 n(11)sa0,sn 解:n 此時當s1時,級數(shù)收斂,當s1時,級數(shù)發(fā)散
n1 3
3 51n2n解 1n2n433
2n n
4
解 1,,所以級數(shù)發(fā)散2
n 22nos3n
2 n ,所以級數(shù)收斂2(15)
;
n解解
n 0,所以級數(shù)
nn121 n 解: 1,所以級數(shù)收斂
1 2222
nn22232 52 2n122222232223225222n122解
52 2n12
2n3222
11,所以級數(shù)收斂33n4
3n4解:0 3n4lnnn1解:0lnn ,所以級數(shù)收斂 1 n
n3nlnlnn解:
0,所以級數(shù)發(fā)散。1(21) 0,n3nlnnlnlnn解:當1時,因為0 ,所以級數(shù)收斂。當1時,nlnnlnlnn nlnnnlnn
nl
101 lnln
nn dx可得此時若1,則積分收斂,若1,則積分發(fā)散。 xlnxlnlnx判定下列級數(shù)是否收斂,如果收斂,是絕對收斂還是條件收斂 234 234解:由萊布尼茨判別法,此級數(shù)收斂。取絕對值后是p條件收斂
的p2(2)
1n1n 解:因為按比值判別法n11 1 1 1(3)3 2 3 3 31 1 1 1解:因為3 2 收斂,所以原級數(shù)絕對收斂 3 3 3
1111ln ln ln ln解:由萊布尼茨判別法,此級數(shù)收斂。取絕對值后發(fā)散。所以原級數(shù)條件收 (5)1n1 n 解 ,所以原級數(shù)發(fā)散2n n(6)
1n11解:當p1時,因為 1n1判別法1n1收斂,而1發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂;當 0時,因為1 n1 趨于零,所以級數(shù)發(fā) sin(7) n1 sin 解:因為 n
,
收斂,所以原級數(shù)絕對收斂(8)
1nlnnn
ln1
ln解:因為按萊布尼茨判別法原級數(shù)收斂,而因 原級數(shù)條件收斂
發(fā)散
nn 解:因
nnn1!
1,所以原級數(shù)絕對收e 1325272 解:因為1111 11 2n解:因為按萊布尼茨判別法原級數(shù)收斂,而取絕對值后發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂
1n122n解:因 n!0,所以原級數(shù)絕對收斂 nn11
2n解:因
1,所以原級數(shù)絕對收2
1n1ln;n;解:因為按萊布尼茨判別法原級數(shù)收斂,而取絕對值后發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂
1n1sinxxn解:因為按萊布尼茨判別法原級數(shù)收斂,而取絕對值后發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂
1
n1nlnn解:因為按萊布尼茨判別法原級數(shù)收斂,而取絕對值后當1或1且1時收斂,以此時原級數(shù)絕對收斂;取絕對值后當1或1且1時發(fā)散,所以此時原級數(shù)條
n1nln解:因為按萊布尼茨判別法原級數(shù)收斂,而取絕對值后發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂
n;nn解:因為按萊布尼茨判別法原級數(shù)收斂,而取絕對值后發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂(19)111111111 111111111解:級
3
6
9 斂,這說明對于原級數(shù)來說 有極限, 3n
S 3n 3nS散,所以原級數(shù)條件收斂下列級數(shù)中 在什么范圍內(nèi)收斂?是絕對收斂還是條件收斂?在什么范圍內(nèi)發(fā)散(1) nxnxnx
x3x時,級數(shù)為n,發(fā)散;當x3時,級數(shù)為 ,條件收斂(2)
1
x
x
n12n n
xx2nxxx解:xx 1n2n
x2x2斂;當x2時,級數(shù)通項不趨于零,發(fā)散x2xnlnxn1lnxn1lnn解x2xnln
1x1時,級數(shù)絕對收斂;當0x1xx1時,級數(shù)為x
1n4,條件收斂 n2ln p pn1nx然對任何x,只要x不是負整數(shù),級數(shù)就條件收斂;當p0時,顯然x,級數(shù)都發(fā)散 1x1x21xnx11x1x2x11x1x21xn1xn11x1x21xn斂;當
1時,其趨于零,級數(shù)絕對收斂;當x1時,級數(shù)顯然絕對收斂 1(6) 2n111x1x2n1解 .當x1時,其趨于x1x2n1
x1(7) 1n1xn;2n(7) 1n11x2n11x1n1n11x2n11x1n1x2n11x11大于1,級數(shù)發(fā)散;當x0時,顯然級數(shù)條件收斂設正項級數(shù)
和
都收斂,證明:級數(shù)
n
2也收斂 證明:因為正項級數(shù)un和vn都收斂,所以M0unM,vnM,所以 uv22Muv,于是級數(shù)uv2
設級數(shù)un收斂,且lim 1.問:級數(shù)vn是否也收斂?試說明理由 n n n nn解:不一定。例如設un ,v 就滿 un收斂,且lim 1.nnn nnvn 若正項級數(shù)an與bn都發(fā)散,問:下列級數(shù)是否發(fā)散 (1)maxan,bn;(2)minan,bn 解:(1)maxanbnan,所以maxanbn一定發(fā)散(2)minanbn不一定發(fā)散。反例 ,a
,
1,
2n
2n
2n若正項級數(shù)
2收斂,證明:級數(shù)un2n
1
u收斂。反之不成立,反例如unn若limnana0證明:級數(shù)annn
n散n設ak,bk為兩個數(shù)列,令snbi那 sn有界,級數(shù)ak1ak絕對收斂,且an0n,證明:級數(shù)k k 若級數(shù)bk與ak1ak收斂,證明:級數(shù)akbkk k knkknkk
nas
a
a
a
kkkkkkkkkkkkkkkkak
k k k k k kakak1skansnksnMakak1skMakak1akak1k
limakak1sk存在,又顯然limansn0,所以limakak1skan nk nk級數(shù)akbk收斂k 因為級數(shù)bk收斂,所以sn有界,同(1)的證明可得limakak1sk k nkk因為a 收斂,所以aa收斂,由此易得lima存在,進而limakk k n
k k limakak1skansn存在,即級數(shù)ak nk k 設nan收斂,證明:級數(shù)an收斂的充要條件是級數(shù)nanan1收斂 n n證明:kakak1kakk1akaknan1ak n1an1nk k k k k 所以級數(shù)an收斂的充要條件是級數(shù)nanan1收斂 求極 1 1kn nk1 nnk13 knn311nn311nk
1 1
1 1
1,所以k 收斂,k 3 n k13 k k13 k有界,所以
1
1k1
1
nnk13 kx1,y1,k
k1
y
yk1
1x1y k
,yk1k1
1
都是絕對收斂k
k1
y
k
yk1
即是它們按柯西乘積相乘的 1x1證明
xn 0 xn
xynn!n!n!n11
x
yn
xk
yxn
1!n k!nk n1! 1
C0x0
Ck
yCnxn
xyn! 所以結論成立求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間(1)x2x23x3nxn n 1,所以收斂區(qū)間為1,1 n(2)1x2
21
1,所以收斂區(qū)間為1n1 1n1 n1n
1242n2n1241242n2n124
0,所以收斂區(qū)間為 (4)1
n
2
3 n1n1n11n
,所以收斂區(qū)間為3,32x
22x22x3 n
n12
xn2
11 2,所以收斂區(qū)間為 , n22n1nx2n12n
22
x2,所以收斂區(qū)間為 1n 1n1 2n1nx2n2n12n1
x,所以收斂區(qū)間為2
2,2
x
n;n1,所以收斂區(qū)間為4,1n1n3n1n1nn xn3n13n1n3nn
5,所以收斂區(qū)間為
,1 1
55 n1
n
nn1n e,所以收斂區(qū)間為, ee(11)nx1nn 1,所以收斂區(qū)間為2,0 (12)nx2nn1n1
n
x,所以收斂區(qū)間為2
2,2求下列級數(shù)的收斂區(qū)間,并在端點是否收斂 23(1)x 23
n12131,所以收斂區(qū)間為1,1。x1處級數(shù)為 n1213n n1213布尼茨判別法其收斂;x1處級數(shù)為 ,發(fā)1213(2)xx4x9x16
2lnn1xnlnn
x2n1,所以收斂區(qū)間為1,1x1處級數(shù)顯然都發(fā)散 nnlnn1n
1,所以收斂區(qū)間為1,1。x1處級數(shù)顯然x1時級數(shù)
1nlnn1,按萊布尼茨判別法其收斂n 2n
0,所以收斂區(qū)間為,
xn2n1
2n2n111
,所以收斂區(qū)間為1,1。當x1時,級數(shù)顯然收斂xx1ax1a2x21a3x3
anxnan2 n121
11 a,所以收斂區(qū)間為 。當x 時,級數(shù)顯然收斂 n2 a na0,ba
aa an11 解:
,所以maxabmaxab anbnxmaxab 12nn1 111 解: n11,所以收斂區(qū)間為1,1。當x1時,級數(shù)顯然發(fā)散 11
2n!xn2n122nn
11 4 ,所以收斂區(qū)間 4 44 n12n 123452n 123 123452n 1234562n2n1
246
x4時,級數(shù)為
,按萊布尼茨判別法,級數(shù)收斂n
3nn
x1n
3n1
2 解: n
33,3x33 nx432x1
12x
12x
1limn11,所以收斂區(qū)間為10x0時,級數(shù)發(fā)散;當x1時,級 nlnxlnx2lnx3 解:公比為lnx,所以收斂區(qū)間為1ex1,e時,級數(shù) xnxnn
1,所以收斂區(qū)間為,11。當x1時,級數(shù)都發(fā)散x 1xx2n2n
1111111111x31x11x2n11x
,所以收斂區(qū)間為0,。當x0時,級數(shù)發(fā)散設冪級數(shù)axnbxn的收斂半徑分別為RRRRn
abxnRR,能否求收斂 解x0Rabxn收斂xRR
abxn
1,b1時,收斂半徑都為1為求下列冪級數(shù)的和函
(1)
2n1x2n1;2n1 x2 2n2n1x2n1
,所以收斂區(qū)間為2,2。易得x 時級數(shù)發(fā)散。2n1x2n1,x2sx 2
2,2 x2n12n sxdx 2
1dx2n12
2
所sx
2,x 2 22 2(2)
2n
2n2n
x2所以收斂區(qū)間1,1。易x1時級數(shù)收斂。sx
2n
x2n1x1,1項求導得s'x1n1x2n2
1
,于是sx dxarctanx,x01(3)nx1nlimn1
02x02nsxnx1n1,x02,逐項積分 x sxdx
nx
dxx
,求導得sx ,于是
nx1n x2
,x0,
2
2(4)nn解:
n1n2
1所以收斂區(qū)間1,1。易得x1時級數(shù)收斂。令
x'xsxnn
x1,1逐項求導sx
,s"x
1
, 1xln1xx,xsxln1x;sx
于
1xln1x,x1,0xnnxn
0,x 利用逐項求導或逐項積分,求下列級數(shù)的和函數(shù)(1)解:易得收斂域為 ,令sx
逐項積分得 1 10sx1 1
dxxn ,求sx
2,x
(2)4n 解
x4,收斂區(qū)間為1,1x1時級數(shù)發(fā)散。令sx
x4n1
n14n4n4n4n4n項求導得sxx4 ,積分得sxx arctanx ln ,x 1 x2(3)x 2n
12n2n
1,1x2
x1sxx ,逐項求導 2ns'x1x2x4x2n2nn
11
,積分sx1ln1xx 1解:易得收斂區(qū)間為1,1,當x1時級數(shù)sxnn1xn1,逐
x 得
sxdxn1
,0
sxdxdx
1
,求導sx
1所以nn
3,x1(5)
x2nn1n2nlimn12n1x21,1x1sx
n1n2ns'x
2
x2n1,s"x
1n1x2n2
n12n
1xsx2xarctanxln1x2,x2n1
x2n3n
2n1
2n1x2n
0,收斂區(qū)間為,sx
,逐項積分xsxdx1x2n1xex2求導sx12x2ex2 n0 fxaxxRnnna1fn0,n0,1,nnx0a0f0;逐項求導得fxnaxn1xRx0na1f 類似得
nfmxnn1nm1axnmn
,取x a1fm0 證明函數(shù)y 2滿足方程
yy0n0證明:易 y
收斂區(qū)間為 ,逐項求導y'
nxn1,y"
n0nn1xn2.代入即知結論成立n1
函數(shù)展開成冪級求函數(shù)fxcosx的泰勒級數(shù),并驗證它在整個數(shù)軸上收斂于此函數(shù)解:因為cosxncosxn,所 2 cosxfxcosxcos
xxx
2xxn
2 coscosn又因為Rnx x 0,所以在整個數(shù)軸 cosx fxcosxcos
cosx0xx0 2x
n 2 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間exeshx xnxshxexex
n!
,x, lnaxa
n02n x 解:lnaxlnaln lna xn,xa,a a sin2 1cos2 2n1sinx
1n
21xln1x
2n!,x n1xln1x1xn
xxn2xx
xn,xx11 n2n1!!x2n n2n1!!x2n1解 x1 x 21
,x 將下列函數(shù)展開成x1的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間
3313n 2 1x
x1
xx
1n32nn n
1
x1,x0, lgx
2n
ln1x1
x1n,x0,
n1n展開將函數(shù)fxcos x展開
的冪級數(shù)3 解
fxcosxcosx cosx sinx3 3 2 3 x
11n 3 31n 3 ,x,2 1
2n將函數(shù)fx 展開成x3的冪級數(shù)x 解:fx 1 ,x0,6 3x1
31x3
將函數(shù)fx解
x23x2展開成x4的冪級數(shù)fx x23x x x 2x4 3x4 1x 1 x4 x4 1
1
x4,x6,n0 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù) (1)lnx x2 解:lnx x 1 ,x1,1,積分2 n2n1!!221 1 xn
x x
2n2n12n
2 ,x 2 解2 2
n1x22,求導得 2
2x
2
2n1,x2,2求下列數(shù)項級數(shù)的和(1) nn1n
n2
n
n
!(2)12n1!解 n
1 2n
1
1
cos12
2 2n 2 2 2n利用某些函數(shù)的已知展開式求下列函數(shù)在x0(1)axalnan解:axexlna ,x, (2)xet20x x1nx 解: dt dt n0 1(3) aa
n02n解: n1,xa,aax a1xlnaxa
n0 x lna xn,xa,a a cos2 1cos2x111n22nx2n,x, x sin3
2 解 3
1
33n
sinx4sinx4sin3x4
2n
,x,
4
2nsinx 解
x
2sinxcosx
21
1nx2n,x,
2
2n
2n
ln1x2x2
解1n1 ln1x2x2ln12xln1x
xn nn1n 2n1 11 xn,x x
22 1x解 n1
x11x 31 31
n01n12n 11 xn,x 22 1 ln 1x'
11
21
,逐項積分x n
x1,1;所arctanx0n
xdx
2n 1 1
x2n
1 xn1xn2
1 2 2n 4n1 n1 x x
x2n
,x n022n n04n求下列函數(shù)在指定點的冪級數(shù)展開式,并求其收斂范(1)x22x1x1處x22x1x124x1x124x14.xcosx,在x 處3解cosx cosx332cosx3
32sinx332 1
1
3
2 2n
,x, exx1處exeex1(4)1x3x
ex
,x, n 解: 3
x 3
xx3
n1x3,x0,63dex 將dx 展開為x的冪級數(shù),并證 n1n
n1
證明:dx n!
n
x1 dex
n dx
xexxexex函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應試用冪級數(shù)求下列微分方程的解y'xyxyaxny
n
naxnnnaxn1axn1xa2aa1xn xn1;
n n12aa1 n1
0,naC,aC,, 2 a1,a1,a1,,
3 2 2nyC
x2
x2
1x
x3
x2n
2
x3
x2
2n y"xy'y n解:設yanxny'nanxn1y"nn1axn2,代n nn1anxn2naxnaxnn1n2a2n 于是n1n n1a0, ,所
n2
2n ya012!!4!!12n!!a1x3!!12n 2ae2ax
x2 1 2n (3)1xy'x2 n n nyaxnynaxn1,代入得naxn1naxnx2n n n
a1a0 于是3aa nan1n1an,n1,3, ya01x32
43nn1試用冪級數(shù)求下列方程滿足所給初始條件的特解1(1)y'y2x3,
12anxn,12y'nanxn1y2
axa2ax2a2aax3a2aaa2x4 1 1 a1a1 a1 代入得
aa 解
a ;3 4aa2aa
5a4a32a1a2 a4 1
ay11x1x21x3
x4
x5 (2)1xy'y1x,
a1解:設
y
y' ,則
nanxn1,代入得
2a 所以nyx1x21x31x4 xn1 2 3 n1利 公式將函數(shù)excosx展開成x的冪級數(shù)n
an1n
n111i
22
解:excosxisinxexeixe1ix xn
xn,22cos 較兩邊的實部,得excosx 4 傅里葉級下列周期函數(shù)fx的周期為2,試將fx展開成傅里葉級數(shù)(1)fx3x21x1a
1dx
a13x21cosnxdx1n bn
,nfx2
1nn n
cos(2)fxe2xxae2xdx1e2 a1e2xcosnxdx 1n2e2e2,n n2 b1e2xsinnxdx 1n n2
1n 1n1 所以fxe2e2 cosnx sinnx,x2k1, n n x2k1時
1n 1n1 ee2e2 cosnx sinnx n n 解
fxbx,fxax0xab為常數(shù),且ab0a010bxdxaxdxabn0osaxcosa nbn0osaxcos1 1b10bxsinnxdx n1ab 所
0axsin a 1 1n1ab fx 4 n bacosnx sinnx,x2k x2k1時a 1 1n1ab a4 n bacosnx 將下列函數(shù)fx展開成傅里葉級數(shù)x(1)fx x
0;b
1 2 sin 1
23n1
9 n1 2 sinnx,x所以
1
9 9 n12
1sinnx
n 9 9ex,x(2)fx解解a010exdxdx11ex
1
n1aecosnxdxcosaecosnxdxcos;n 1n2
n1
b
sin
11
1n2 所fx1 1
n11n1e11n cosnx sin n1
1n2 xx時 1 11n1 n11n1e cosnx sinnx
n1
1n2 2x將函數(shù)fx解
x展開成傅里葉級數(shù)2ca2c
xdx4 2 2an0coscosnxdx2
1bn
n 4 4 所以fx 1cos4n1n2 4 設fx2的周期函數(shù),它在,上的表達式
,x 2 x 2,2x將fx展開成傅里葉級數(shù) 2nn2 sinnxdx
n 2 所以fx1n1 2sinnsinnx.x2k1. x2k 2 n 2 n2sin2sinnx0. 將函數(shù)fx 0x展開成正弦級數(shù)121解:a 2
所以fx
sin n 1
ninnx, 0
nxn nnn將函數(shù)fx2x20x分別展開成正弦級數(shù)和余弦級nna
2 2sinnxdx
41n; ;bn0
fx2x2
8n4n x 1sinnx, 81n141nsinnx余弦級數(shù):
0;a
2x2dx42;a2
81nn1;n
0 cos fx2x
2n3n3
cosnx,0x設周期函數(shù)fx2 fxfx fx a00,a2k0,b2k0k1,如果fx fx,則fx的傅里葉系數(shù)a2k10,b2k10k0,1,a1fxdx 0fxdx fx 1fudu1fx 1fxdx1fxdx 1fxcos2kxdx 0fxcos2kxdx fxcos 1fucos2kudu1fxcos11 fxcos2kxdx
fxcos2kxdx 1fxsin2kxdx 0fxsin2kxdx fxsin 1fusin2kudu1fxsin11 fxsin2kxdx
fxsin2kxdx
fxcos2k1xdx
0fxcos2k1xdx
fxcos2k2k 1fucos2k1udu1fxcos2k111 fxcos2k1xdx
1
fxcos2k1xdx11 fxsin2k1xdx
0fxsin2k1xdx
2k 1fusin2k1udu1fxsin2k1 1fxsin2k1xdx1fxsin2k1xdx 0,hx0,hx分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)a0;b2hsinnxdx
1cosnh 所解:正弦級數(shù):2
fxn1
1cosnhsinnx,0x
x 21cosnhsinnx0;當xh時, 21cosnhsinnx1n1 n1 2余弦級數(shù):bn0;a00dxan0cosnxdx
n1;所以fh
2sinnh x osnx, h2sinnh
2bna
2x1dx0;a 2x1cosnxdx 11n,n 0 0 所以fx 11ncosnx n1
k
2k12
cos2k1在指定區(qū)間上把下列函數(shù)展開成傅氏級數(shù) x,0x x,0x(1)fx11 axcosnxdx11; 0axcosnxdx11;1 bn0xsinnxdx 所以fx 11ncosnx
11ncosnx sinnx (2)fxsin4x,x解2 2 a
xdx4;an
xcosnxdx ,nn n
fxsin4x3cos2xcos4x (3)fxeaxa0,x
1,na解:1eaxdx 1eaaa a
os
a2n2b1eaxsinnxdx 1n1ea 所
ea
a2n2eaea n fx a2n21cosnxa2n2
sinnxxx時eaeaeaea n ea2
1cosnx
22222
n1
a 2(4)fxx2,x2 a
41n x2dx
;a
xcosnxdx
fxx
2n3n3
cosfxx2,x0,1
1 1 2
x2sinnxdx 解:a0 xdx 3;an xcosnxdxn2.bn fxx 3n2cosnxnsinnx.0x 當x0,2時 n2cosnxn
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