《量子力學(xué)》期末考試試卷及答案05

PAGE2009學(xué)年第二學(xué)期《量子力學(xué)》（B）卷參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（5）答：量子力學(xué)中，把處于不同狀態(tài)、具有相同能量、對(duì)應(yīng)同一能級(jí)的現(xiàn)象稱為簡(jiǎn)并。把對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)的不同狀態(tài)數(shù)稱為簡(jiǎn)并度。

0,

0x2a一質(zhì)量為 的粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱V(x)

xx2a中運(yùn)動(dòng)，寫出其狀態(tài)波函數(shù)和能級(jí)表達(dá)式（5）解：

1a(x)1an

sin

2a

0x2a, 0,

x0,x2aE 22n2n 8a2

n1,2,3, Sss1 2

，寫出（S2,Sz

）的歸一化本征態(tài)（即自旋單態(tài)與三重態(tài)（5）（

2,S ）的歸一化本征態(tài)記為 ，則z 2自旋單態(tài)為 200

1(1)(2)(1)(2) 11 1 自旋三重態(tài)為

(1)(2)(1)(2)10 211

(1)(2)對(duì)于階梯形方勢(shì)場(chǎng)1V(x),1V2

xaxa ，如果（V2

V）(x(x）1解：(x(x也連續(xù)。,d中被測(cè)到的幾率為Pd0

r,,2

r2dr。（5）iy,Liy,Lixzx,py

0

z,pz

,2 y x

L,pipxipx 量子力學(xué)中，體系的任意(x)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征 (x)展開：n(x) an n

(x)，則展開式系數(shù)an

n

n(x),(x)*(x)(x)dx。（5）n

,2一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的旋量波函數(shù)為

r,s

r ，則電子自旋向上z ,2 r （s 2

,/22；、位置在r處的幾率密度表達(dá)式為 rz電子自旋向下（s 2）的幾率的表達(dá)式為d3r , /22（5分）z已知厄米算符A、B互相反對(duì)易：A,BABBA0；b 是算符B的本征態(tài)：Bbb，本征值b0。證明在態(tài)b中，算符A的平均值等于零（10分）證： BABBA0， 0bb bABbbBAb bAb但b0，從而有AbAb0，即在態(tài)b 中，算符A的平均值為零。1/2(x1/2

e2x2/2it證明其勢(shì)能Vm2x2的平均2值與動(dòng)能

Tp22m

1的平均值相等，皆為4

x2dx ]（10分）證： x

*(x,t)x(x,t)dx

xexdx 3

1

2m，1 V m2x2 2 41 p2

2 d2T 2m2

e2x2/

2mdx2

e2x2/2dx2m 4x22)e2x22m 2 22 12m 2 2m

4m

。4 在直角坐標(biāo)系中，證明：[Lp20Lp為動(dòng)量算符。（10分）證： [Lx

,p2][Lx

,px

py

p2][Lz

,p2][Ly

,p2]zp[Ly x

,p][Ly

,p]p

p[Lz

,p][Lz

,p]pzippy z

ppz

ippz y

ppy

0；同理，

[L ,p2]0， [Ly

,p2]0所以 [L,p2]0在時(shí)間t0時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)：(x,0) 1u5 0

(x)

1u(x)cu2 2 3

(x)，式中un

是振子的第n個(gè)本征函數(shù)。試求c的數(shù)值；3寫出在t時(shí)刻的波函數(shù)；在t0時(shí)振子能量的平均值是多少？t1秒時(shí)呢？（15）（）

2 15 15

231012 c21, 得c31012 （2）(x,t)

1u(x)ei1t50

1u(x)ei5t22

3u10

(x)ei7t222 （3）在t0時(shí)振子能量的平均值是222 15121 2 5 2 1512

2 12310E2 2 2 310

。 t1秒時(shí)振子能量的平均值也是12。5質(zhì)量為的粒子受微擾后，在一維勢(shì)場(chǎng)AcosxV(x) a,

0xax0,xa中運(yùn)動(dòng)。題中應(yīng)當(dāng)把什么看作微擾勢(shì)？寫出未受微擾時(shí)的能級(jí)和波函數(shù)；用微擾論計(jì)算基態(tài)能量到二級(jí)近似，其中A

2210a2。0

sinnxsinmxdx

（15）（）應(yīng)在一維無(wú)限深勢(shì)阱V(x)

0xax0,xa的基礎(chǔ)上，把

Acosx,H a,

0xax0,xa看作微擾勢(shì)。未受微擾時(shí)的波函數(shù)和能級(jí)分別為2an2a

n222(0)(x) sin

E(0)

n1,2,3,n a

2a2未受微擾時(shí)的基態(tài)波函數(shù)和能量分別為(0)(x)1

sinx2aa2a

E(0)1

22，2a2基態(tài)能量的一級(jí)修正：

a2 x x 2Aa x xE

Hsin2

Acos dx

sin

dsin1 2A

a a a a a0 0xa

sin

0。0基態(tài)能量的二級(jí)修正：HHn12E(2)1

'E(0)n 1

E(0)，2a2a2aH a 2a

nxAcosx sinxdxn10Aaa0

a a anx2cosxsinxdxa a aAa

nxsin

x xd a a a0Asinnysin2ydy0AA22A22

A2 n2所以 E(2)

A2 1

a2A2。1 E(0)E(0)

4