試驗(yàn)、事件樣本空間易

前言概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的學(xué)科,

理論嚴(yán)謹(jǐn),

應(yīng)用廣泛,發(fā)展迅速.

不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了本課程,

而且在上世紀(jì)末，此課程特意被教育部定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一，希望大家能學(xué)好這門有用的重要課程.有關(guān)經(jīng)典著作1.《概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用》王梓坤著科學(xué)

1976

年版計(jì)學(xué)優(yōu)秀著作譯叢》15本書柯爾莫哥

著4.《現(xiàn)代外2.《概率論的分析理論》P.-S.拉

斯著1812年版3.《概率論的解析方法》1931年版概率論奠基著作概率統(tǒng)計(jì)專業(yè)首位5.統(tǒng)計(jì)學(xué)科普書籍：科普讀物第一章

品茶第二章

偏斜分布第三章可愛(ài)的戈塞特先生第四章

在“

堆”中尋覓第五章收成變動(dòng)研究

第六章“百年不遇的洪水”第七章

費(fèi)歇爾獲勝

第八章

致命的劑第九章

鐘型曲線

第十章

擬和優(yōu)度檢驗(yàn)第十一章

假設(shè)檢驗(yàn)

第十二章

置信詭計(jì)第十三章

貝葉斯異論第十四章數(shù)學(xué)界的莫扎特第十五章“小人物”之見(jiàn)解第十六章

非參數(shù)方法第十七章當(dāng)部分優(yōu)于總體時(shí)第十八章

吸煙會(huì)

嗎？第十九章

如果您需要最佳人選第二十章樸實(shí)的得克薩斯農(nóng)場(chǎng)小伙第二十一章家庭中的天才第二十二章統(tǒng)計(jì)界的畢加索第二十三章處理有瑕疵的數(shù)據(jù)第二十四章重塑產(chǎn)業(yè)的人第二十五章

來(lái)自黑衣

的忠告第二十六章

鞅的發(fā)展第二十七章意向性治療法第二十八章電腦隨心所欲第二十九章“泥本學(xué)科的ABC概率(或然率或幾率)

——

隨機(jī)事件出現(xiàn)

的可能性的量度——

其

與博弈問(wèn)題有關(guān).17世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家B.帕斯卡、費(fèi)馬

荷蘭數(shù)學(xué)家C.惠更斯對(duì)賭本分配問(wèn)題的研究成為數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的問(wèn)題。1657年惠更斯的《論

中的計(jì)算》一書成為概率論的早期著作.使概率論成為數(shù)學(xué)分支的真正奠基人是數(shù)學(xué)家J.伯努利；他開創(chuàng)了母函數(shù)方法的先河。1718年法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗的《機(jī)會(huì)論》是早期概率論的重要著作.1730年他的《分析雜論》中包含著名的棣莫弗－拉

斯定理。1774年拉

斯給出概率的古典定義，在《概率論的分析理論》一書中表明了自己關(guān)于概率的哲學(xué)觀，并建立了誤差理論和最小二乘法，引入如差分方程等強(qiáng)有力的分析方法，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。還有一系列在概率論發(fā)展上閃光的名字：高斯，法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松，萊維，數(shù)學(xué)家柯爾莫哥，切比雪夫，李雅普，辛欽等等，他們會(huì)永載史冊(cè)！概率論發(fā)展史體現(xiàn)了理論與實(shí)際之間的密切聯(lián)系，許多重要問(wèn)題都有實(shí)際背景，交叉學(xué)科陸續(xù)產(chǎn)生，如生物統(tǒng)計(jì)，物理統(tǒng)計(jì)，排隊(duì)論，信息論，控制論，隨機(jī)運(yùn)籌學(xué)等，現(xiàn)在隨著電子計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生發(fā)展，為概率論發(fā)展開辟了更廣闊領(lǐng)域。隨機(jī)過(guò)程是隨時(shí)間推進(jìn)的隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象。1907年，數(shù)學(xué)家馬爾可夫提出一種能用數(shù)學(xué)分析方法研究自然過(guò)程的一般圖式，后人稱其為馬爾可夫鏈。1923年，數(shù)學(xué)家維納從數(shù)學(xué)上定義了布朗運(yùn)動(dòng)，后人稱數(shù)學(xué)上的布朗運(yùn)動(dòng)為維納過(guò)程隨機(jī)過(guò)程一般理論研究于20世紀(jì)30年

始，1931年柯爾莫哥

《概率論的解析方法》；1934年辛欽

《平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)理論》，這兩篇文章為馬爾可夫過(guò)程和平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程奠定了理論基礎(chǔ)。1953年，

數(shù)學(xué)家杜布

《隨機(jī)過(guò)程論》系統(tǒng)描述了隨機(jī)過(guò)程基本理論，他的工作推動(dòng)了鞅論的發(fā)展;同年，

數(shù)學(xué)家伊騰清建立關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程理論，定義一種隨機(jī)積分－伊騰積分，為研究馬爾可夫過(guò)程開辟了新道路?，F(xiàn)在隨機(jī)過(guò)程前沿是關(guān)于半鞅的隨機(jī)微分方程，流形上的隨機(jī)微分方程理論正方興未艾！若問(wèn)什么地方概率統(tǒng)計(jì)隨機(jī)過(guò)程用得上？回答是--任何領(lǐng)域.本學(xué)科的應(yīng)用運(yùn)用概率的領(lǐng)域包括精算農(nóng)業(yè)動(dòng)物學(xué)人類學(xué)考古學(xué)審計(jì)學(xué)晶體學(xué)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)牙醫(yī)學(xué)生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)教育學(xué)工程流行病學(xué)遺傳學(xué)地理學(xué)地質(zhì)學(xué)人類遺傳學(xué)水文學(xué)工業(yè)法律語(yǔ)言學(xué)文學(xué)和策劃

勞動(dòng)力計(jì)劃金融

氣象學(xué)水產(chǎn)漁業(yè)研究

軍事科學(xué)核材料安全管理眼科學(xué)制藥學(xué)物理學(xué)政治學(xué)心理學(xué)心理物理學(xué)質(zhì)量控制研究社會(huì)學(xué)抽樣管理科學(xué)

分類學(xué)市場(chǎng)醫(yī)學(xué)學(xué)

氣象改善搏采，等等...巴拿赫火柴問(wèn)題一位吸煙的數(shù)學(xué)家總帶著兩盒火柴，每盒有N根.一盒放在左邊的衣袋中，另一盒放在右邊的衣袋中.每當(dāng)他需要用一根火柴時(shí)，就等可能的從其中任一個(gè)衣袋中取用.問(wèn)他第一次發(fā)現(xiàn)其中一盒是空的，而另一盒正好還有k根（k＝0，1，2,…,N）火柴的概率是多少？這是經(jīng)典的概率應(yīng)用問(wèn)題.事件的獨(dú)立性n重伯努利試驗(yàn)應(yīng)用背景相關(guān)知識(shí)點(diǎn)信號(hào)收發(fā)問(wèn)題將A，B，C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其他一字母的概率都是(1－α)/2.今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為

p1,p2,p3(p1+p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問(wèn)輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的.）應(yīng)用背景信號(hào)輸入信道后，有可能由于硬件原因，使得輸出的信號(hào)與原始信號(hào)有差異.此時(shí)可以根據(jù)已知的條件，求得出現(xiàn)誤差的概率.相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.條件概率2.全概率公式3.貝葉斯公式人壽保險(xiǎn)在人壽保險(xiǎn)公司里有

4000個(gè)同一 的人參加人壽保險(xiǎn)，在一年里，這些人的 率為0.1%

，參加保險(xiǎn)的人在一年的頭一天交付保險(xiǎn)費(fèi)

50

元，

在一年內(nèi)

時(shí)，家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取

20000

元.

(1)求保險(xiǎn)公司一年中獲利不小于100

000元的概率;

(

2

)

求保險(xiǎn)公司一年內(nèi)虧本的概率.應(yīng)用背景研究在一定條件下,人壽保險(xiǎn)公司虧本的概率和

的概率.相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.二項(xiàng)分布正態(tài)分布棣莫弗-拉斯中心極限定理法國(guó)數(shù)學(xué)家拉

斯(Laplace)

：“生活中最重要的問(wèn)題,其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問(wèn)題.”英國(guó)的邏輯學(xué)家和

杰文斯曾對(duì)概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì),那么就寸步難行,無(wú)所作為.公共郵箱：實(shí)例“自然界所觀察到的現(xiàn)象:

確定性現(xiàn)象、

隨機(jī)現(xiàn)象1.確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.不會(huì)從西邊升起”,“水從高處流向低處”,“同性電荷必然互斥”,“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)”等.確定性現(xiàn)象的特征：條件完全決定結(jié)果.1.1

試驗(yàn)、事件、樣本空間2.隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.結(jié)果:有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)

.彈多發(fā),實(shí)例2

用同一門 向同一目標(biāo)發(fā)射同一種觀察彈落點(diǎn)的情況

.結(jié)果:彈落點(diǎn)會(huì)各不相同.實(shí)例3

拋擲一枚

,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).結(jié)果有可能為:

1,

2,

3,

4,

5

或

6.實(shí)例4

從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品.其結(jié)果可能為:正品、次品.實(shí)例5

過(guò)馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈.實(shí)例6出生的嬰兒可能是男，也可能是女.實(shí)例7

明天的天氣可能是晴

，

也可能是多云或雨.隨機(jī)現(xiàn)象的特征:

條件不能完全決定結(jié)果.概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.說(shuō)明隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無(wú)法用函數(shù)加以描述.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.定義一（隨機(jī)試驗(yàn)）：將一切具有下面三個(gè)特點(diǎn)：可重復(fù)性多結(jié)果性不確定性的試驗(yàn)或觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，常用E表示。例：E1：拋一枚硬幣，觀察正面、出現(xiàn)的情況。E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面、 出現(xiàn)的情況。E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：擲一粒 ，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E5：記錄 交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E6：在一批燈泡中任意抽取一次，測(cè)試它的

。E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。定義二在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件。隨機(jī)事件一般用大寫英文字母A,B,C……等表示。例：在E4中，“擲得奇數(shù)點(diǎn)”，“擲得點(diǎn)數(shù)6”，“擲得點(diǎn)數(shù)不超過(guò)

2”等都是隨機(jī)事件，可將它們依次記為B,C,D。在E6中，“燈泡的 超過(guò)500小時(shí)”是一隨機(jī)事件，我們可用A表示此事件。定義三（基本事件與隨機(jī)事件）在試驗(yàn)中,可直接觀察到的結(jié)果稱為基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件，簡(jiǎn)稱事件。兩個(gè)特別的事件不可能事件：在試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事情，記為Ф。如“擲一粒

擲出8點(diǎn)”

。必然事件：在試驗(yàn)中必然出現(xiàn)的事情，記為S或Ω。如“擲一粒

點(diǎn)數(shù)小于7

”。下面

來(lái)為隨機(jī)試驗(yàn)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型樣本點(diǎn)e.樣本空間現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具.把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作e或ω.全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間.

樣本空間用S或Ω表示.S樣本空間的元素是由試驗(yàn)的內(nèi)容所決定的。雖然每次試驗(yàn)的結(jié)果事先不可確定,但試驗(yàn)的全部可能結(jié)果，是在試驗(yàn)前就明確的；或者雖不能確切知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果，但可以知道它不超過(guò)某個(gè)范圍。由此，可以確定一個(gè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間。則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，S

=

{t

：t

≥0｝故樣本空間如果試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次觀察正

出現(xiàn)的情況，則樣本空間由如下四個(gè)樣本點(diǎn)組成：S={(H,H),

(H,T),

(T,H),

(T,T)}樣本空間在如下意義上提供了一個(gè)理想試驗(yàn)的模型：在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).如果試驗(yàn)是測(cè)試某燈泡的

：例：寫出E1到E7的樣本空間：S1S2：{H,

T}：{HHH,

HHT,HTH,THH,

HTT,

THT,

TTH,TTT}S3S4：{0,

1,

2,：{1,

2,

3,3}4,

5,6}S5

：{0,

1,

2,3,

……}S6

：{t|t≥0}S7：{(x,y)|

T0≤x≤y≤T1}2.同一試驗(yàn),若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?則對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.例如，對(duì)于同一試驗(yàn):“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H、

T

出現(xiàn)的情況，則樣本空間為S

{HHH

,

HHT

,

HTH

,

THH

,HTT

,

TTH

,

THT

,

TTT

}.若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為S

{

0,

1,

2,

3}.注意1.試驗(yàn)不同,對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.3.建立樣本空間,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.因此,一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問(wèn)題.例如，只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間S

{

H

,

T

},它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)

的模型,也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型,

又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)與無(wú)人排隊(duì)的模型等.所以在具體問(wèn)題的研究中,描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.引入樣本空間后，事件便可以表示為樣本點(diǎn)的集合，即為樣本空間的子集。例如，擲一顆

，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)S

={

i

：i=1,2,3,4,5,6｝事件B就是S的一個(gè)子集B

=

{1,3,5｝易見(jiàn),B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1，3，5中的某一個(gè)出現(xiàn).一個(gè)隨機(jī)事件就是樣本空間的一個(gè)子集?；臼录獑吸c(diǎn)集，復(fù)合事件—多點(diǎn)集一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。事件間的關(guān)系及運(yùn)算，就是集合間的關(guān)系和運(yùn)算。概率論與集合論有關(guān)概念的對(duì)應(yīng)關(guān)系表：概率論集合論記號(hào)樣本點(diǎn)元素ei

，i樣本空間全集S,

Ω隨機(jī)事件子集A，B，C……基本事件單點(diǎn)集{ei}不可能事件空集Φ事件間的關(guān)系與運(yùn)算定義1.（事件的包含與相等）若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B包含A，記為BA或AB。若AB且AB則稱事件A與事件B相等，記為A＝B。定義2.（和事件）“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件A與事件B的和事件或并事件。記為A∪B。用集合表示為: A∪B={e|e∈A，或e∈B}推廣：事件的和的概念可推行至任意有限和及可列和的情況：n

Ak

A1

A2

Ank

1Ak

A1

A2

Akk

1例 袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，令A(yù)表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球顏色相同”，則C=AB.若令A(yù)i(i=1,2,3)表示“取出的3個(gè)球中恰有i個(gè)白球”,D表示“取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，則D=

A1

A2

A3定義3.（積事件）稱事件“事件A與事件B都發(fā)生”為A與B的積事件或交事件，記為A∩B或AB，用集合表示為AB={e|e∈A且e∈B}。n推廣：

Ak

A1

A2

Ank

1Ak

A1

A2

Akk

1例

在直角坐標(biāo)系圓心在原點(diǎn)的單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)，記錄1

22

2(

x,

y)

|

x

y

其坐標(biāo)，令

A

nn,B表示取到(0,0)點(diǎn)，則B

Akk

1定義4.（差事件）稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,這一事件為事件A與事件B的差事件,記為A－B,用集合表示為A-B={e|e∈A，eB}例從1,2,3,N這N個(gè)數(shù)字中，任取一數(shù)，取后放回，先后取k個(gè)數(shù)(1k

N),令A(yù)表示“取出的k個(gè)數(shù)中最

大數(shù)不超過(guò)M”(1M

N),B表示“取出的k個(gè)數(shù)中最

大數(shù)不超過(guò)M-1”，C表示“取出的k個(gè)數(shù)中最大數(shù)為M”，則C=A-B,且BA定義5.（互不相容事件或互斥事件）如果A，B兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即AB＝Φ，則稱事件A與事件B是互不相容事件或互斥事件。推廣 對(duì)有限個(gè)事件或可列個(gè)事件A1，A2，…，An

…，如果對(duì)任意ij,AiAj＝Φ,則稱A1，A2，…，An

…兩兩互斥，或A1，A2，…，An

…兩兩互不相容。定義6（逆事件/對(duì)立事件）稱事件“A不發(fā)生”為事件A的逆事件，記為ā。易見(jiàn)A與ā滿足：A∪ā=S,且Aā=Φ。一般地，若A，B滿足：A∪B=S，AB＝Φ稱為A與B互為對(duì)立事件，此時(shí)，A為B的逆事件，B為A的逆事件，即A=B,B=ā。若A，ā互為對(duì)立事件，那么在每次試驗(yàn)中，事件A，ā必有一個(gè)發(fā)生而且只有一個(gè)發(fā)生，顯然ā={e|eA}，A-B=BA=A-AāA事件A發(fā)生導(dǎo)致B也發(fā)生

A是B的子集A與B相等

A與B相等A與B互不相容

A與B無(wú)公共元素A的對(duì)立事件

A的余集A與B至少有一個(gè)發(fā)生

A與B的并集A與B同時(shí)發(fā)生

A與B的交集A發(fā)生而B不發(fā)生

A與B的差集A

BA

BAB

AA

BA

BA

B記號(hào) 概率論 集合論事件與集合的關(guān)系及運(yùn)算對(duì)照：設(shè)A，B，C為事件，則有交換律：A∪B=B∪A，AB=BA結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=

AB∪AC（4）德摩根律：A

B

A

BA

B

A

B事件的運(yùn)算律相關(guān)性質(zhì)還有：1.ā

=S-A，S=，

=S;若AB，則Bā;B=ABāB

，AB=AāB，ABC=AāBāBC;若A、B互為對(duì)立事件，則A、B互不相容。注意：4.的逆不成立，即A、B互不相容，未必有A、B互為對(duì)立事件。例 將n個(gè)人任意分配到N個(gè)房間(nN),令A(yù)表示“恰有n個(gè)房間各有一人”，B表示“第一個(gè)房間恰有兩人”，從而AB=,但B不等于ā。例1:

袋中裝有

為1，2，3，4，5，6，7，8的八張卡片中任取一張，設(shè)事件Ａ為“抽得一張標(biāo)號(hào)不大于

４的卡片”，事件Ｂ為“抽得一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡

片”，事件Ｃ為“抽得一張標(biāo)號(hào)為奇數(shù)的卡片”。請(qǐng)用樣本點(diǎn)的集合表示下列事件:Ａ∪Ｂ,ＡＢ,Ａ-Ｂ,Ｂ-Ａ,Ｂ∪Ｃ,(Ａ∪Ｂ)Ｃ