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《統(tǒng)計學教程》第9章相關與回歸分析《統(tǒng)計學教程》2022年11月22日/*《統(tǒng)計學教程》第9章相關與回歸分析9.1相關關系

9.3.4多元線性回歸方程的

9.1.1相關關系的概念顯著性檢驗

9.1.2相關關系的度量9.3.5運用多元線性回歸方9.2一元線性回歸

程進行估計

9.2.1一元線性回歸模型9.4非線性回歸的線性化

9.2.2一元線性回歸方程的最小二乘估計

9.2.3一元線性回歸方程的擬合優(yōu)度

9.2.4一元線性回歸方程的顯著性檢驗

9.2.5運用一元線性回歸方程進行估計9.3多元線性回歸

9.3.1多元線性回歸模型

9.3.2多元線性回歸方程的最小二乘估計

9.3.3多元線性回歸方程的擬合優(yōu)度2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》第9章相關與回歸分第9章相關與回歸分析

9.1相關關系《統(tǒng)計學教程》第9章相關與回歸分析

9.1相關關系《統(tǒng)計學教程》2022年11月22日/*《統(tǒng)計學教程》

第9章相關與回歸分析

9.1相關關系9.1.1相關關系的概念1．

變量的函數關系和相關關系變量之間的數量關系可區(qū)分為確定性與不確定性兩類。

數值型數據的確定性數量關系稱為函數關系。函數關系遵循嚴格的因果律。如在國民經濟核算中“國內生產總值=消費+積累+進出口凈額”，或者“國內生產總值=固定資產折舊+勞動者報酬+企業(yè)盈利+生產稅凈額”，反映的是國民經濟核算中的數量衡等關系，這些都是變量之間確定性的數量關系，即函數關系。

數值型數據的不確定性的數量關系稱為統(tǒng)計關系，即相關關系。相關關系也是一種客觀存在的變量之間的數量關系，反映了變量之間的一種不嚴格的數量依存關系。一般來說，相關關系遵循廣義的因果律。相關關系（Correlation）是指變量之間客觀存在的不確定的數量關系。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系2．相關分析與回歸分析相關關系是統(tǒng)計學研究的主要對象之一。在現代統(tǒng)計學中圍繞相關關系已經形成了兩個重要的統(tǒng)計方法——相關分析和回歸分析。雖然，相關分析和回歸分析都是以相關關系為研究對象，由于其研究相關關系內容的側重，和所反映相關關系特征的角度不同，兩者存在以下區(qū)別。（1）描述的方式不同相關分析主要采用相關系數來度量變量之間的相關關系。通過相關系數數值的大小來度量相關關系的強弱?；貧w分析要采用通過擬合回歸模型來度量變量之間的相關關系。通過回歸模型來反映相關關系的具體形式。有回歸模型的一般形式為（9.2）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系（2）變量的地位不同相關分析中變量之間的地位是對等的、可以相互置換的，變量與變量的相關系數，等價于變量與變量的相關系數。

回歸分析中變量之間的地位是不對等、不能相互置換的，在回歸模型方程式（9.2）等號右邊的變量是解釋等號右邊的變量取值的因素，因此稱之為自變量；等號左邊的變量是被自變量所解釋的因素，所以稱之為因變量。自變量（IndependentVariable）是指在回歸分析中，解釋因變量的一個或一組變量，因此也被稱為解釋變量，一般用x表示。因變量（DependentVariable）是指在回歸分析中，被解釋的變量，因此也被稱為被解釋變量，一般用y表示。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系（3）描述的內容不同相關分析通過相關系數描述，所反映的是變量之間相關關系的方向和大小程度?；貧w分析借助回歸模型不僅描述了變量之間相關關系的方向和大小程度，還刻畫了變量之間相關關系的的具體形式，回歸模型可以用于預測和控制。（4）變量的性質不同相關分析中的變量都是隨機變量。在回歸分析中，因變量是隨機變量；自變量可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定性變量。當自變量為隨機變量時，不滿足普通最小二乘方法估計回歸方程的要求，需要采用工具變量方法，或者最大似然方法來進行估計。因此，在采用普通最小二乘估計時，總是規(guī)定自變量為非隨機的確定性變量。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系9.1.2相關關系的度量1．散點圖散點圖（ScatterDiagram）是指由變量數值在直角坐標系中的分布點構成的二維數據分布圖。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系

散點圖的作用就是通過兩個數值型變量之間在二維平面的直角坐標中的分布圖形，粗略地把握變量之間相關關系的基本態(tài)勢。例如變量之間的線性特征越顯著，說明其相關關系越強，反之則越弱；兩個變量之間的數值呈同方向變化為正相關，否則為負相關。借助散點圖還可以概略地區(qū)分和識別變量之間的非線性相關的具體類型，為回歸分析確定回歸方程的具體形式提供依據，這也是散點圖的重要功能。例如，通過散點圖展示的圖形特征，初步地分辨出相關關系是直線，還是二次曲線、三次曲線、指數曲線、對數曲線、S曲線等。所以，散點圖不僅是相關分析，也是回歸分析中經常使用的最簡便的基本分析工具。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系2．相關系數相關系數（CorrelationCoefficient）是度量兩個變量之間線性相關的方向和強度的測度。散點圖只是粗略地刻畫兩個變量之間線性相關關系的方向、強度和形式，不能確切地度量變量之間的相關關系的密切程度。相關系數可以具體度量變量之間的相關關系的密切程度，并且用一個相對數數值表述出來，使之具有直接的可比性。一般使用樣本統(tǒng)計量來估計總體相關系數的數值水平，有（9.3）計算相關系數的式（9.3），由三項離差平方和的比值構成。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系

Lyy為變量y的離差平方和，有（9.4）

Lxx為變量x的離差平方和，有

（9.5）

Lxy為變量x和變量y的離差乘積和，有（9.6）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系

相關系數的取值范圍為。當相關系數的取值為正時，說明變量和變量的數值變化是同方向的，即為正相關；若相關系數的取值為負，則說明變量和變量的數值變化是反方向的，即為負相關。

相關系數的正負取值取決于Lxy的正負。并且，當相關系數的絕對值越是趨近于1，表明變量和變量的相關程度越高，稱之為強相關；反之，當相關系數的絕對值越是趨近于0，表明變量和變量的相關程度越低，稱之為弱相關。

相關系數僅反映線性相關。例如Y=X

2

顯然Y與X是關系密切的,但是由相關系數得出的是不相關的結論。所以用相關系數度量相關性時,超出了線性范圍就會出現誤導。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系

例9.2根據例9.1的表9.1中的數據。表9.1某證券市場價格指數與A證券價格

要求計算A證券價格與該證券市場價格指數的相關系數。解采用式（9.3），可得A證券價格與該證券市場價格指數的相關系數為2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系3．相關系數的顯著性檢驗相關系數是總體相關系數真值的樣本統(tǒng)計量。因此，相關系數只是總體相關系數的在一定樣本分布下的估計值，尤其是當計算相關系數的樣本容量較小時，相關系數的數值的變異增大。所以，必須對不同樣本容量情況下計算出來的相關系數的統(tǒng)計顯著性進行假設檢驗。

相關系數的抽樣分布，服從于自由度為n-2的t分布。一般采用T檢驗統(tǒng)計量對相關系數進行顯著性檢驗，有（9.7）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.1相關關系

例9.3根據例9.1和例9.2中樣本容量n=12，和A證券價格與該證券市場價格指數的相關系數r=0.87749。要求在顯著性水平為0.05下，對該相關系數進行顯著性檢驗。解采用式（9.7）對相關系數進行顯著性檢驗。（1）提出假設（2）計算檢驗統(tǒng)計值（3）進行統(tǒng)計判斷由于檢驗統(tǒng)計值大于t分布的臨界值，所以拒絕原假設，認為A證券價格與該證券市場價格指數之間存在顯著的相關關系。

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9.2一元線性回歸《統(tǒng)計學教程》第9章相關與回歸分析

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9.2一元線性回歸9.2.1一元線性回歸模型

1．理論模型從回歸模型的一般形式，式（9.2）出發(fā)，一元線性回歸模型可以表述為（9.8）回歸模型（RegressionModel）是指因變量依賴自變量和隨機誤差項取值的方程。因變量的取值由兩個部分構成。一部分反映了自變量的變動引起的線性變化；另一部分為剩余變動，反映了不能為自變量和因變量之間的線性關系所解釋的其它剩余的變異。在理論上，回歸分析總是假定一元線性回歸模型，即式（9.8）具有統(tǒng)計顯著性，有效地解釋了因變量的變動，剩余變動為不可觀測的隨機誤差。因此，稱式（9.8）為一元線性回歸理論模型。

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9.2一元線性回歸

關于隨機誤差，線性回歸理論模型具有以下三項假定。（1）0均值。剩余變動為不可觀測的隨機誤差，其數學期望為0。（2）方差齊性。對于所有的自變量x，隨機誤差的方差相同。（3）獨立性。各項隨機誤差之間，以及各項隨機誤差與對應的自變量之間均不相關，即有2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸2．回歸方程根據回歸理論模型中對隨機誤差的三項假定，有因此有變量的數學期望為自變量的線性函數。回歸方程（RegressionEquation）是指因變量y的數學期望依賴自變量x取值的方程。有一元線性回歸方程為（9.9）一元線性回歸方程在直角坐標系中為一條直線，所以也稱為直線回歸方程。

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9.2一元線性回歸3．估計的回歸方程由回歸方程中可知，當回歸系數確定之后，可以利用式（9.9）計算出因變量在給定自變量數值時的數學期望。在回歸方程中的回歸系數和隨機誤差的方差均為未知，需要利用樣本數據進行統(tǒng)計估計。當根據樣本推斷出回歸方程中的回歸系數的估計量時，就得到了由樣本推斷出來的估計的回歸方程。估計的回歸方程（EstimatedRegressionEquation）是指根據樣本數據的估計量構成的回歸方程。估計的一元線性回歸方程為（9.10）當估計的一元線性回歸方程式（9.10）中的自變量給定某一具體數值時，因變量的對應的取值，也就隨之確定下來了。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸9.2.2一元線性回歸方程的最小二乘估計最小二乘估計（LeastSquareEstimation）是指估計量使因變量的觀察值與其估計值的離差平方和最小的方法。這里介紹的是普通最小二乘估計（OrdinaryLeastSquareEstimation,OLSE）。根據回歸方程和最小二乘估計定義，一元線性回歸方程關于回歸系數估計量的解為非負二次函數，必然存在最小值。因而，可以得出求解一元線性回歸方程回歸系數估計量的正規(guī)方程組，并利用離差平方和的形式，可寫為（9.13）由式（9.13）計算得到的就是一元線性回歸方程回歸系數的普通最小二乘估計（OLSE）估計量。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

例9.4根據例9.1中某證券市場價格指數與該市場A證券價格數據。要求以A證券價格為因變量，證券市場價格指數為自變量，構造一元線性回歸模型，并采用普通最小二乘估計方法進行估計。解運用式（9.13），有估計的回歸方程為

圖8.2為本例中，該證券市場價格指數與該市場A證券價格的一元回歸方程直線與實際觀察值的擬合示意圖。

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9.2一元線性回歸9.2.3一元線性回歸方程的擬合優(yōu)度將回歸直線與觀察值的距離作為評價回歸方程擬合精度的測度，稱為擬合優(yōu)度（GoodnessofFit）。

1．判定系數在回歸分析中，將因變量的觀察值之間的變異稱為的總離差，反映了因變量的觀察值與其均值的離差的距離；并將總離差分解為自變量能夠解釋的部分，和自變量不能解釋的兩個部分。為了避免離差的正負相抵，采用離差平方和的形式，來度量因變量的總離差，并對其進行分解。將因變量的個觀察值與其均值的離差平方和稱為因變量的總離差平方和（TotalDeviationSumofSquares），記為SST，實際上這一總離差平方和就是變量的離差平方和Lyy。有（9.14）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

可將SST分解為（9.15）式（9.15）中等號右邊估計值與觀察值的均值的離差平方和，稱為回歸離差平方和（RegressionSumofSquares），記為SSR。反映了在觀察值的總變異中，估計的回歸方程所解釋的這一部分變異的總和。有（9.16）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

式（9.15）中等號右邊觀察值與其估計值的離差平方和，稱為剩余離差平方和，或殘差離差平方和（ResidualSumofSquares），記為SSE。反映了在觀察值的總變異中，估計的回歸方程所未能解釋的那一部分變異的總和。有（9.17）從而，可將式（9.15）記為（9.18）

對照圖8.2可以看出，回歸直線擬合程度決定于SSR與SSE的比較，當SSR的數值越是顯著大于SSE時，說明各觀察值與回歸直線的離差之和越小，回歸直線對于因變量的解釋能力越強。而SSR與SSE又是對總離差平方和的一個完備的分割，兩者存在互為消長的數量關系。因此以與之比作為度量回歸方程的擬合優(yōu)度的測度，稱之為判定系數。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

判定系數（CoefficientofDetermination）是指回歸離差平方和占總離差平方和的比重，有

（9.19）由于，所以（9.20）由式（9.20）可知，判定系數就是相關系數的平方。判定系數的取值在0到1之間，當判定系數的取值趨近于1時，表示回歸直線的擬合程度很好；當判定系數的取值趨近于0時，則表示回歸直線的擬合程度很差。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

判定系數是度量回歸直線擬合優(yōu)度的重要測度。由式（9.20）有（9.21）（9.22）式（9.21）和式（9.22）直觀地表明，判定系數是一個重要的數量界限，它將因變量的離差平方和分為了能夠為自變量所解釋的部分，和不能為自變量所解釋的部分。判定系數就是在因變量的總離差平方和中自變量所解釋的部分所占的份額。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

例9.5仍然根據例9.1中某證券市場價格指數與該市場A證券價格數據。要求計算該證券市場價格指數與該市場A證券價格的判定系數。解運用式（9.20），可以計算得該證券市場價格指數與該市場A證券價格的判定系數為說明在例4.4的估計的回歸方程為中，自變量對因變量變異的解釋能力約為77%；或者說，A證券價格的變動中約有77%的部分可以由該證券市場價格指數與其的線性關系來解釋。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸2．因變量y估計量的標準差剩余離差平方和為因變量y估計值與觀察值的離差平方和，其自由度為n-2，SSE除以自由度n-2為剩余均方MSE，剩余均方MSE的平方根即為因變量y估計量的標準差，也稱為標準誤差，一般用表示。有（9.23）因變量y估計量的標準差作為回歸方程擬合優(yōu)度的測度，從回歸直線與觀察值的離差平方和，以及與樣本容量相聯系的自由度兩個角度，來綜合反映回歸方程的解釋能力。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

例9.6采用例9.1中某證券市場價格指數與該市場A證券價格數據。要求計算因變量y估計量的標準差，分析例9.4估計的回歸方程的解釋能力。解運用式（9.23），可以計算得回歸方程的因變量y估計量的標準差為2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸9.2.4一元線性回歸方程的顯著性檢驗估計的回歸方程是依據樣本數據擬合的，樣本容量大小，因變量和自變量的抽樣分布，都會對回歸方程中估計量的與總體參數真值之間的誤差生產影響，僅憑回歸方程擬合優(yōu)度的有關測度，不能認定因變量與自變量之間是否真的存在這種線性關系，還需要對估計的回歸方程進行假設檢驗。一元回歸方程的顯著性檢驗的原假設為參數的真值為0，即

（9.24）當原假設成立,可將因變量的變異歸結于剩余因素，表明自變量對因變量不具有顯著的線性關系，一元線性方程對于因變量沒有顯著的解釋能力。這時，估計的回歸方程不具備任何實際意義，不能用于預測和控制。若原假設不成立，說明因變量的變異顯著地來源于自變量，這時估計的回歸方程才具有實際意義。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

在一元線性回歸分析中，有回歸均方與剩余均方分別服從自由度為1和自由度為n-2的卡方分布，則由回歸均方與剩余均方的比值構造的F檢驗統(tǒng)計量服從第一自由度為1和第二自由度為n-2的F分布。即

（9.25）利用判定系數，可將式（9.25）寫為便于計算的形式，即

（9.26）

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9.2一元線性回歸

同樣，可以采用方差分析表來反映在一元線性回歸分析的顯著性檢驗中，對變量的離差平方和分解的分析過程和有關數據。表9.2一元線性回歸的方差分析表構成2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

例9.7根據例9.1中某證券市場價格指數與該市場A證券價格數據。要求在顯著性水平為0.05下，對例9.4估計的回歸方程進行顯著性檢驗。解運用式（9.26），采用檢驗統(tǒng)計量進行顯著性檢驗。

可以利用Excel“分析工具庫”中的“回歸”工具，對一元線性回歸進行顯著性檢驗。表9.3即為本例利用“回歸”工具進行顯著性檢驗的方差分析表，有表9.3Excel“回歸”工具一元線性回歸方差分析表2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸9.2.5運用回歸方程進行估計擬合回歸方程的目的就是要利用回歸方程對因變量進行科學的估計，進而取得估計數值對事物及其現象數量特征發(fā)展的趨勢進行預測或控制。估計的回歸方程在通過顯著性檢驗之后，就可以運用它進行對因變量的估計，以實現預期的目的。1．點估計回歸方程的點估計是利用估計的回歸方程，針對自變量某一給定的數值，計算出因變量的在給定的這一點上的總體均值的估計值。所以，回歸方程的點估計實質上是以對應于自變量x某一具體數值的因變量y的總體均值的估計值。即（9.26）

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9.2一元線性回歸2、區(qū)間估計運用回歸方程的統(tǒng)計量估計因變量時，剩余誤差的數學期望為（9.28）當均服從正態(tài)分布，并且相互獨立時，有（9.29）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

在實際運用時，一般采用樣本數據計算的估計量的標準差替代式（9.29）中的標準差進行計算。（9.31）

式（9.31）為方差的樣本估計量，服從自由度為n-2的t分布。因此，有區(qū)間估計的置信區(qū)間為

即（9.32）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

第9章相關與回歸2022年11月22日/*《統(tǒng)計學教程》

第9章相關與回歸分析

9.2一元線性回歸

回歸方程的區(qū)間估計有兩點特點。（1）回歸方程的區(qū)間估計在點上取最小值;

（2）運用回歸方程的統(tǒng)計量估計因變量的個別點的置信區(qū)間，要比估計其均值的置信區(qū)間大。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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第9章相關與回歸分析

9.2一元線性回歸

例9.8根據例9.1中某證券市場價格指數與該市場A證券價格數據。要求在顯著性水平為0.05下，該證券市場價格指數為1840%時，對估計的回歸方程進行點估計，并計算A證券價格的置信區(qū)間。解（1）A證券價格的點估計（2）計算A證券價格的置信區(qū)間可計算出A證券價格，在顯著性水平為0.05下的置信區(qū)間為8.27元到13.60元。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.2一元線性回歸

例9.9在一次對某市居民生活狀態(tài)調查中，采集了居民在調查當年的上一個月支出和上年總收入數據，如表9.4所示。表9.4某市居民當年上月支出和上年總收入元2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.4非線性回歸的線性化《統(tǒng)計學教程》第9章相關與回歸分析

9.4非線性回歸的線性化《統(tǒng)計學2022年11月22日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.4非線性回歸的線性化

在實際的經濟管理問題中，許多因變量與自變量之間為非線性回歸關系，可以通過對于變量的替代變換，將非線性回歸關系進行線性化，然后再應用最小二乘法估計出相關的回歸方程。以下為幾種常用的非線性回歸模型的線性化方法。（1）二次曲線回歸模型的線性化若有二次曲線回歸模型（9.54）令式（9.54）的二次項，則得線性化后的二次曲線回歸模型（9.55）顯然，可以將這種線性化方法簡單地推廣到高次曲線回歸模型的線性化。2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.4非線性回歸的線性化（2）指數回歸模型的線性化若有指數回歸模型（9.56）對式（9.51）等式兩邊同時取自然對數，可得線性化后的指數回歸模型（9.57）（3）對數回歸模型的線性化若有對數回歸模型（9.58）令，則得線性化后的對數回歸模型（9.59）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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9.4非線性回歸的線性化（5）雙曲線回歸模型的線性化若有雙曲線回歸模型（9.62）令，則得線性化后的雙曲線回歸模型（9.63）（6）S曲線回歸模型的線性化若有S曲線回歸模型（9.64）令，則得線性化后的S曲線回歸模型（9.65）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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第9章相關與回歸分析

9.4非線性回歸的線性化（7）C-D生產函數回歸模型的線性化若有C-D生產函數回歸模型（9.66）式（9.61）中y為產出，K和L為資本和勞動兩項投入要素，和分別為資本和勞動的產出彈性。對式（9.66）等式兩邊同時取自然對數，有，令則得線性化后的C-D生產函數回歸模型（9.67）2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

第9章相關與回歸第9章相關與回歸分析

索洛技術進步模型《統(tǒng)計學教程》盧小廣第9章相關與回歸分析

索洛技術進步模型《統(tǒng)計學教程》2022年11月22日/*《統(tǒng)計學教程》

第9章相關與回歸分析索洛技術進步模型對C-D生產函數兩邊取自然對數，再逐項微分，并移項，就得到索洛（Solow）提出的?？怂怪行裕℉icksneutral）技術進步模型：在Solow模型中，ΔY/Y表示國內生產總值（GDP）的增長率，即經濟增長率。αΔK/K表示GDP的增長率中由于資本增加而增長的部分；βΔL/L表示GDP的增長率中由于勞動增加而增長的部分；ΔA/A表示GDP的增長率中由于技術進步而增長的部分；并將它們分別稱為資本、勞動和技術進步對GDP增長的貢獻率。江蘇省經濟增長投入產出分析

2022年10月11日/*《統(tǒng)計學教程》

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第9章相關與回歸分析

江蘇省經濟增長投入產出分析

以下采用江蘇省第二次全國基本單位普查數據資料，構造江蘇省第二產業(yè)和第三產業(yè)的生產函數。采用工具變量方法，剔除橫截面數據存在的異方差問題，進行生產函數模型擬合。江蘇省第二產業(yè)生產函數

n=42Ln(Y)=0.740079*Ln(K)+0.43313*Ln(L)t-Statistic8.624（0.0000）

3.782（0.0005）

AdjustedR-squared=0.896321F-statistic=177.724（0.000）

Obs*R-squared=4.518（0.477）江蘇省第三產業(yè)生產函數

n=40Ln(Y)=0.416759*Ln(K)+0.876118*Ln(L)t-Statistic3.406（0.0016）

5.065（0.0000）

AdjustedR-squa