高考數(shù)學(文數(shù))一輪復習習題 課時跟蹤檢測（二十四）　平面向量的概念及其線性運算 (含解析)

課時跟蹤檢測(二十四)平面向量的概念及其線性運算一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，則λ＝()A．1 B．2C．4 D．6解析：選B根據(jù)向量加法的運算法則可知，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，故λ＝2．2．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c，則下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－C．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a解析：選D依題意得eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝2(eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(BD,\s\up7(→)))，即eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a．3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是()A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．以上都不對解析：選C由已知，得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))．又因為eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))不平行，所以四邊形ABCD是梯形．4．(2017·揚州模擬)在△ABC中，N是AC邊上一點且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上一點，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，則實數(shù)m的值是________．解析：如圖，因為eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN→上一點．所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→))，因為B，P，N三點共線，所以m＋eq\f(2,3)＝1，則m＝eq\f(1,3)．答案：eq\f(1,3)5．已知?ABCD的對角線AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up7(→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(→))＝________．(用a，b表示)解析：如圖，eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝－a－b．答案：b－a－a－b二保高考，全練題型做到高考達標1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b,則eq\o(BE,\s\up7(→))等于()A．eq\f(1,2)b－a B．eq\f(1,2)a－bC．－eq\f(1,2)a＋b D．eq\f(1,2)b＋a解析：選Ceq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a，故選C．2．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：選B由于c與d共線反向，則存在實數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋2λ－1b))．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2)．又因為k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2)．3．下列四個結論：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝0；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))－eq\o(MP,\s\up7(→))＝0，其中一定正確的結論個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，①正確；②eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，②錯；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，③正確；④eq\o(NQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))－eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(NP,\s\up7(→))＋eq\o(PN,\s\up7(→))＝0，④正確．故①③④正確．4．設D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且eq\o(DC,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(EA,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析：選A由題意得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))，因此eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))反向平行．5．設O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B∵D為AB的中點，則eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))，又eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OC,\s\up7(→))，∴O為CD的中點，又∵D為AB中點，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，則eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4．6．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AN,\s\up7(→))＝3eq\o(NC,\s\up7(→))，M為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up7(→))＝________(用a，b表示)．解析：由eq\o(AN,\s\up7(→))＝3eq\o(NC,\s\up7(→))，得eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)，eq\o(AM,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b．答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b7．設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，eq\o(BC,\s\up7(→))2＝16，|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|，則|eq\o(AM,\s\up7(→))|＝________．解析：由|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|可知，eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AC,\s\up7(→))，則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，因此，|eq\o(AM,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2．答案：28．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝0．其中正確命題的個數(shù)為________．解析：eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①錯；eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正確；eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正確．∴正確命題為②③④．答案：39．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→))．解：eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b．eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b．10．設e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2．(1)求證：A，B，D三點共線；(2)若eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值．解：(1)證明：由已知得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))．又∵eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)由(1)可知eq\o(BD,\s\up7(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up7(→))＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，∴eq\o(BF,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ.))解得k＝12．三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，則μ的取值范圍是________．解析：由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))．∵點E在線段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2)．∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)．即μ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))2．已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→