福建省大田第一中學(xué)屆高三寒假作業(yè)數(shù)學(xué)模擬試題

第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，則（）A．B．{1}C．[0，1]D．2．不等式的解集是（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（-∞，+∞）3．已知點(diǎn)在曲線上，則|OP|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為（）A．B．C．D．14．已知函數(shù)的定義域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，則滿足條件的整數(shù)對(duì)（a，b）共有（）A．2個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．無(wú)數(shù)個(gè)5．如圖，非零向量、與x軸正半軸的夾角分別為和，且，則與x軸正半軸的夾角的取值范圍是（）A．B．C．D．6．在∠AOB的兩邊上分別有A1、A2、A3、A4、B1、B2、B3、B4、B5共9個(gè)點(diǎn)，連結(jié)線段，如果其中兩條線段不相交，則稱之為一對(duì)“和睦線”，則共有對(duì)“和睦線”.A．60B．80C．120D．1607．指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象分別為C1、C2，點(diǎn)M在曲線C1上，線段OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交曲線C1于另一點(diǎn)N，若曲線C2上存在一點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是點(diǎn)N橫坐標(biāo)的2倍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（4，4）B．C．D．8．當(dāng)實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件有最大值為12，則實(shí)數(shù)k的值是（）A．-12B．-9C．9D．129．過(guò)點(diǎn)A(a，0)作橢圓的弦，弦中點(diǎn)的軌跡仍是橢圓，記為C2，若C1和C2的離心率分別為e和，則e和的關(guān)系是（）A．e=B．e=2C．2e=D．不能確定10．如圖，在三棱錐P——ABC中，PA⊥平面ABC，分別是BC、AB的中點(diǎn)，AC>AD，設(shè)PC與DE所成的角為，PD與平面ABC所成的角為，二面角P—BC—A的平面角為，則、、的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．11．在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組個(gè)數(shù)為（）A．57B．49C．43D．3712．如圖，在公路MN的兩側(cè)有四個(gè)村鎮(zhèn)：A1、B1、C1、D1通過(guò)小路和公路相連，各路口分別是A、B、C、D，現(xiàn)要在公路上建一個(gè)長(zhǎng)途汽車站，為使各使鎮(zhèn)村民到汽車站所走的路程總和最小，汽車站應(yīng)建在（）A．A處B．D處C．B、C之間的任何一處（包括B、C）D．A、B之間的任何一處（包括A、B）第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.13．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為.14．函數(shù)滿足，且均大于e，，則的是小值為.15．將正整數(shù)按表所示規(guī)律排列，把i行j列交叉處的一個(gè)數(shù)記作(i，j∈N*).如第2行第4列的數(shù)是15，記作，則有序?qū)崝?shù).145161736…236151835…987141934…101112132033…252423222132…262728293031……16．設(shè)集合，把X的所有元素的乘積稱為X的容量（若X中只有一個(gè)元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0）.若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為Sn的奇（偶）子集.若n=4，則Sn的所有奇子集的容量之和為.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17（本小題滿分10分）在不等邊中，設(shè)A、B、C、所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知依次成等差數(shù)列，給定數(shù)列（1）試根據(jù)下列選項(xiàng)作出判斷，并在括號(hào)內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項(xiàng)的代號(hào)：數(shù)列A．是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列C．既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列D．既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列（2）證明你的判斷.18．（本小題滿分12分）某小組中有男生、女生若干人，如果從中選一人參加某項(xiàng)測(cè)試，女生被選中的概率是；如果從中選兩人參加測(cè)試，兩人都是女生的概率為（每個(gè)人被選中是等可能的）.（1）求該小組男生、女生各多少人？（2）從該小組中選出3人，求男、女生都有的概率；（3）若對(duì)該小組的同學(xué)進(jìn)行某項(xiàng)測(cè)試，其中女生通過(guò)的概率為，男生通過(guò)的概率為，現(xiàn)對(duì)該小組中男生甲、乙和女生丙三人進(jìn)行測(cè)試，求至少有2人通過(guò)測(cè)試的概率.19．（本小題滿分12分）如圖，O，P分別是正四棱柱ABCD——A1B1C1D1的底面中心，E是AB的中點(diǎn)，AB=kAA1（1）求證：A1E∥平PBC；（2）當(dāng)時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（3）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為的重心？20．（本小題滿分12分）設(shè)雙曲線，是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是其虛軸的一個(gè)端點(diǎn).已知其一條漸近線的一個(gè)方向向量是，的面積是，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線C相交于、兩點(diǎn)，且． （1）求雙曲線的方程；（2）求點(diǎn)的軌跡方程,并指明是何種曲線.21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）若；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.22．（本小題滿分12分）已知曲線，過(guò)C點(diǎn)上一點(diǎn)作一斜率為的直線交曲線C于另一點(diǎn)，點(diǎn)A1、A2、A3、…An、…的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中.（1）求的關(guān)系式；（2）若，求的通項(xiàng)公式；（3）求證：（N*）.參考答案：1－7－；13.－3；14.；15.(63，52)；；17.(1)B；(2)略18.(1)男4女6；(2)；(3)19.(1)；(2)；(3)20.(1)；(2)21.(1)略；(2)當(dāng)時(shí)，原方程有四個(gè)不同的實(shí)根.22.(1)；(2)；

大田一中2022－2022學(xué)年高三上寒假作業(yè)二數(shù)學(xué)(理科)第Ⅰ卷(選擇題,共60分）一、選擇題（本大題包括12小題,每小題5分,共60分,每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確選項(xiàng)填寫在答題紙上）設(shè)集合，，則?R等于A. B.C. D.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，則實(shí)數(shù)的值是A. B. C. D.“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件閱讀右側(cè)程序框圖，輸出的結(jié)果的值為 A. B. C. D.在中，，，，則 A.或 B. C. D.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題：①若a⊥b，a⊥α，bα，則b∥α；②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或aα；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.其中正確命題的個(gè)數(shù)為 .2 一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為 A.B. C. D.函數(shù)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖像如圖所示，、分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，且，則該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為 A. B. C. D.在△中，是邊中點(diǎn)，角的對(duì)邊分別是，若，則△的形狀為 A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形但不是等邊三角形.類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)：，，其中，且，下面正確的運(yùn)算公式是①； ②；③2； ④2.A.①② B.③④ C.①④ D.②③設(shè)、分別為具有公共焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線的離心率，是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足,則的值為 A. B.2 C. 設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的都有恒成立.如果實(shí)數(shù)滿足不等式組，那么的取值范圍是 A.(3,7) B.(9,25) C.(13,49) D.(9,49)第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和=25，且，則.已知直線與圓相切，且與直線平行，則直線的方程是.設(shè)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則的值為.已知函數(shù)，則關(guān)于的方程給出下列四個(gè)命題：①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有1個(gè)實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)根.其中正確命題的序號(hào)是（把所有滿足要求的命題序號(hào)都填上）.三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）.（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)． ⑴如果、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為、，求和； ⑵在⑴的條件下，求的值； ⑶已知點(diǎn)，求函數(shù)的值域．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，. ⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ⑵若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（本小題滿分12分）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，，，．⑴求證：；⑵求直線與平面所成的角；⑶設(shè)點(diǎn)在棱上，，若∥平面，求的值.（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線滿足，，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn).(1)求的值，并寫出曲線的方程；(2)求△面積的最大值.（本小題滿分12分） 已知函數(shù). ⑴求函數(shù)的最小值； ⑵若≥0對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的值； ⑶在⑵的條件下，證明：.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講. 在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),半徑為2的圓C的圓心的極坐標(biāo)為. ⑴求圓C的極坐標(biāo)方程；⑵是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)Q的軌跡的直角坐標(biāo)方程.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講. 已知函數(shù) ⑴解不等式；⑵若不等式的解集為空集，求的取值范圍.

大田一中2022－2022學(xué)年高三上寒假作業(yè)一數(shù)學(xué)（理）參考答案與解析1．D，選D.思路點(diǎn)撥：本題主要利用絕對(duì)值不等式，左邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，右邊等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).3．D令，則，，故|OP|=1思路點(diǎn)撥：本題考查了三角函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換元、函數(shù)思想方法的運(yùn)用.觀察到兩式的對(duì)稱關(guān)系，采用換元法的思想予以解決4．B在R上是偶函數(shù)，故的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，作出的圖象，截取值域是[0，1]的一段，發(fā)現(xiàn)a，b的取值只可能在-2，-1，0，1，2中取得，但在0，-2，2中必須至少有一個(gè)，故選B.拓展遷移：本題是利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的圖象解決的，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.在解題中要注意其圖象的特點(diǎn)，從圖形入手就會(huì)簡(jiǎn)單明了.5．B軸正半軸的夾角的取值范圍應(yīng)在向量軸正半軸的夾角之間，故選B.拓展遷移：同一頂點(diǎn)出發(fā)的三向量之和為零向量，它們的方向有什么特點(diǎn)，可以通過(guò)合力為零進(jìn)行思考，通過(guò)本題也可以進(jìn)行總結(jié).又O、M、N三點(diǎn)共線，故，即，解得，故思路點(diǎn)撥：本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算能力.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互換要熟練掌握，同時(shí)，結(jié)合三點(diǎn)共線的條件解決.8．B當(dāng)，畫出可行域，可知在點(diǎn)（0，-k）處取得最大值，故z=-3k，得k=-4與矛盾.當(dāng)時(shí)，由在點(diǎn)B處取得最大值.即-k=12，解得k=-9符合條件.拓展遷移：本題考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解問(wèn)題，考查了學(xué)生逆向思維的能力，本題是含有參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，解決過(guò)程中滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想.9．A設(shè)弦AB中點(diǎn)，規(guī)律總結(jié)：本題考查了相關(guān)點(diǎn)方法求軌跡，用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡時(shí)，關(guān)鍵是分清主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)，從主動(dòng)點(diǎn)的軌跡探求從動(dòng)點(diǎn)的軌跡.10．A過(guò)A作AF⊥BC于F，連結(jié)PF，則∠PFA為二面角P—BC—A的平面角，∴∠PFA=γ，∠PCA為異面直線DE與PC的夾角，即∠PCA=α，連結(jié)AD，PD與平面ABC的夾角為∠PDA，則∠PDA=β，∵，∴AF<AD，又AC>AD，∴AF<AC，∴，∴為銳角，∴.規(guī)律總結(jié)：為比較三個(gè)銳角的大小，設(shè)法比較同一個(gè)三角函數(shù)值的大小即可.11．B以頂點(diǎn)為線段端點(diǎn)的共線三點(diǎn)組有C個(gè)，以棱中點(diǎn)為端點(diǎn)的共線三點(diǎn)組有個(gè)，面的中心為端點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共3個(gè)，故共有共線三點(diǎn)組49個(gè).命題動(dòng)向：對(duì)于應(yīng)用性題目，在近幾年高考中有加強(qiáng)考查的趨勢(shì)，應(yīng)用題的解決，要善于建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題予以解決.13．-3.誤區(qū)警示：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，注意復(fù)數(shù)的虛部是b，而不是bi.14．由題設(shè)知，故而，，則，故的最小值為.思路點(diǎn)撥：本題考查了函數(shù)的最值的求法、均值不等式的運(yùn)用.解決中關(guān)鍵是整體思想的運(yùn)用.15．（63，52）第1，3，5，…行的第一個(gè)數(shù)分別為12，32，52，…，第2，4，6…列的第一個(gè)數(shù)分別為22，42，62，可得.（2）因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以.又.顯然成等差數(shù)列.若其為等比數(shù)列，有，所以∴男生4人，女生6人.（2）由題意得：（3）又平面PBC，∴A1E∥平面PBC.（2）過(guò)A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，∴AF⊥BC，BCMB=B，∴AF⊥平面PBC，∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，設(shè)AA1=a，則，所以，直線AP與平面PBC所成角的正弦值是.（3）連OP、OB、OC，則，由三垂線定理易得，，所以O(shè)在平面PBC中的射影是的垂心，又O在平面PBC中的射影是的重心，則為正三角形.即PB=PC=BC，所以.考點(diǎn)拓展：本題考查了立體幾何中的線面平行，直線與平面所成的角.測(cè)試了空間想象能力和推理論證能力.對(duì)于立體幾何中的證明，最常見(jiàn)的是證明平行或垂直，分清脈絡(luò)，從線線，到線面，到面面，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這類問(wèn)題解決就得心應(yīng)手了.立體幾何中的計(jì)算性問(wèn)題，一般要遵循“一作”、“二證”、“三算”的步驟.20．解：（1）由題意，雙曲線的漸近線方程為，則有（2）設(shè)，直線：與雙曲線聯(lián)立消去，得由題意，（2分）又由知而所以化簡(jiǎn)得①由可得②由①②可得（6分）故點(diǎn)P的軌跡方程是（8分）知F(x)在（1，+∞）上為增函數(shù)，又F(x)在x=1處連續(xù)，所以F(x)在上為增函數(shù)，當(dāng)x>1，得，即.（2）將與代入原方程得，①令，并變形得，②要使方程①有四個(gè)不同的解，則就要使方程②有兩不同的正根.令，它們的圖象如圖所示，當(dāng)直線y1在點(diǎn)處與曲線y2相切時(shí)，由，于是，得切點(diǎn)為（1，ln2），這時(shí)切線方程為，y與y軸的所以當(dāng)時(shí)，原方程有四個(gè)不同的實(shí)根.規(guī)律總結(jié)：在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，用導(dǎo)數(shù)證明不等式的考查在加大.一般其解題步驟是：一作差；二構(gòu)造函數(shù)；三求函數(shù)的最小值.22．（1），∴.（2），則，∴，又，令n為奇數(shù)，則.（令n為偶數(shù)，也可得）.綜上：.

大田一中2022－2022學(xué)年高三上寒假作業(yè)二數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分,共60分）1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D7．A 8．D 9．C 10．B 11．A 12．C簡(jiǎn)答與提示：B化簡(jiǎn)為，化簡(jiǎn)為，故＝.B在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，則且，∴A在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則，即，∴或，∴“”是“或”的充分不必要條件，∴“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.B的函數(shù)值構(gòu)成周期為6的數(shù)列，且，則 C由正弦定理，又，，∴，則為銳角，故.D由空間線面位置關(guān)系容易判斷①②③④均正確.A幾何體為底面半徑為，高為1的圓柱，全面積為.D由為奇函數(shù)，得，又，∴.結(jié)合圖象知，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴是其一條對(duì)稱軸.C由題意知，∴，∴，又、不共線，∴，∴B經(jīng)驗(yàn)證，只有③④正確.A設(shè)，不妨設(shè).由知，∠,則,∴，，∴，∴.C由得，又，∴，∴. ∵是上的增函數(shù)，∴＜，∴ 又，結(jié)合圖象知為半圓內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故，∴二、填空題（本大題共4小題,每小題5分,共20分）13.714.或15.16.①②簡(jiǎn)答與提示：7依題意，，則，∴或設(shè)直線，與圓相切，故∴或∴所求直線方程為或.①②由的圖象知,則,根據(jù)的圖象(如圖)可知，①②正確.三、解答題（本大題必做題5小題,三選一中任選1小題,共70分）(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，兩角和、差的正余弦公式的運(yùn)用，以及三角函數(shù)的值域的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)還考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí).【試題解析】解：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，得，．又是銳角，所以．(4分)（2）由（1）知．因?yàn)槭氢g角，所以．所以．(8分)（3）由題意可知，，．所以，因?yàn)?，所以，從而，因此函?shù)的值域?yàn)椋?12分)(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查運(yùn)用數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.【試題解析】解：（1），，而，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，因此．(5分)（2）∵，∴，(7分)∴，即，①當(dāng)時(shí)，，②①－②得，．（10分）可驗(yàn)證也滿足此式，因此．（12分）(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題將直四棱錐的底面設(shè)計(jì)為梯形，考查平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí).同時(shí)題目指出一條側(cè)棱與底面垂直，搭建了空間直角坐標(biāo)系的基本架構(gòu).本題通過(guò)分層設(shè)計(jì)，考查了空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.【試題解析】解：【方法一】（1）證明：由題意知?jiǎng)t（4分）（2）∵∥，又平面.∴平面平面.過(guò)作在Rt△中，∠，，∴，∴∠.即直線與平面所成角為.（8分）（3）連結(jié)，∵∥，∴∥平面.又∵∥平面，∴平面∥平面，∴∥.又∵∴∴，即（12分）【方法二】如圖，在平面ABCD內(nèi)過(guò)D作直線DF（1）設(shè)，則，∵，∴.（4分）（2）由（1）知.由條件知A（1，0，0），B（1，，0），.設(shè)，則即直線為.（8分）（3）由（2）知C（－3，，0），記P（0，0，a），則，，，，而，所以，=設(shè)為平面PAB的法向量，則，即，即.進(jìn)而得，由,得∴（12分）(本小題滿分12分)【命題意圖】本小題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和橢圓的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.【試題解析】解：(1)設(shè)，在△中，，，根據(jù)余弦定理得.（2分）即..而，所以.