彈塑性力學(xué)與有限元課件

力與應(yīng)力的概念主要內(nèi)容一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變量最大剪應(yīng)力（主剪應(yīng)力）偏應(yīng)力張量（應(yīng)力張量的分解）八面體應(yīng)力應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓平衡微分方程力與應(yīng)力的概念主要內(nèi)容一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變1應(yīng)力分析八面體應(yīng)力八面體平面：通過某點(diǎn)做平面，該平面的法線與三個應(yīng)力主軸夾角相等。設(shè)在這一點(diǎn)取坐標(biāo)軸與三個應(yīng)力主軸一致，則等斜面法線的三個方向余弦為：應(yīng)力分析八面體應(yīng)力八面體平面：通過某點(diǎn)做平面，該平面的法線2應(yīng)力分析八面體應(yīng)力八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個分量：1)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說與有關(guān)；2)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力，與應(yīng)力偏張量的第二不變量有關(guān)。應(yīng)力分析八面體應(yīng)力八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個分量：1)3應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓在平面上，三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，可作出三個Mohr圓，如右圖所示.其半徑為：——稱為主剪應(yīng)力，——最大剪應(yīng)力.應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓在平面上，4應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓由右圖可見，若在已知應(yīng)力狀態(tài)上疊加一個靜水壓力，其效果僅使三個Mohr圓一起沿軸平移一個距離，該距離等于所疊加的靜水應(yīng)力，并不改變Mohr圓的大小。

τ軸的位置與屈服及塑性變形無關(guān)，決定屈服與塑性變形的只是Mohr圓本身的大小。應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓由右圖可見，若在已知應(yīng)力狀態(tài)上疊加一5應(yīng)力分析若將τ軸平移到，并使則：移軸后的三向Mohr圓正是描述應(yīng)力偏張量的三向Mohr圓，如右圖所示。應(yīng)力的Mohr圓應(yīng)力分析若將τ軸平移到，并使則：移軸后的三向Mohr6應(yīng)力分析平衡微分方程微分平行六面體應(yīng)力分析平衡微分方程微分平行六面體7應(yīng)力分析平衡微分方程在x=0的面上，應(yīng)力是

x、xy、xz

在x=dx面上的應(yīng)力由x方向的平衡應(yīng)力分析平衡微分方程在x=0的面上，應(yīng)力是x、xy、8應(yīng)力分析——平衡（運(yùn)動）微分方程（Navier方程）平衡微分方程應(yīng)力分析——平衡（運(yùn)動）微分方程（Navier方程）平衡微分9應(yīng)力分析平衡微分方程——靜力邊界條件應(yīng)力分析平衡微分方程——靜力邊界條件101）請完成教材第69～71頁的習(xí)題：2.1；2.2；2.6；2.7（d）。作業(yè)：應(yīng)力分析1）請完成教材第69～71頁的習(xí)題：2.1；2.2；2.6；11彈塑性力學(xué)與有限元

—應(yīng)變分析《彈塑性力學(xué)與有限元》

彈塑性力學(xué)與有限元

—應(yīng)變分析《彈塑性力學(xué)與有限元》12主要內(nèi)容應(yīng)變分析應(yīng)變—位移關(guān)系（幾何方程）一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變張量主應(yīng)變偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）八面體應(yīng)變應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程）主要內(nèi)容應(yīng)變分析應(yīng)變—位移關(guān)系（幾何方程）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)13本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)：理解變形體內(nèi)部任意一點(diǎn)處應(yīng)變狀態(tài)的基本概念；掌握計算物體內(nèi)任一點(diǎn)、任意微分面上的主應(yīng)變及應(yīng)變主方向的計算公式；理解Cauchy方程和SaintVenant的物理意義，熟練掌握這兩個基本方程。應(yīng)變分析本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)：應(yīng)變分析14位移—由于外部因素如載荷或溫度變化,物體內(nèi)部各點(diǎn)空間位置發(fā)生的變化；如果各點(diǎn)的位移完全相同，物體發(fā)生剛體平移；如果各點(diǎn)的位移不同，但各點(diǎn)間的相對距離保持不變，物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動等剛體移動；

應(yīng)變分析應(yīng)變—位移關(guān)系位移—由于外部因素如載荷或溫度變化,物體內(nèi)部各點(diǎn)空間位置發(fā)生15應(yīng)變分析連續(xù)體內(nèi)如果各點(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形，這時的位移是變形體位移。此物體被稱為有變形或有應(yīng)變。物體發(fā)生位移，應(yīng)變由位移得到。對物體中足夠小的區(qū)域，認(rèn)為該區(qū)域的應(yīng)變是均勻的。應(yīng)變—位移關(guān)系應(yīng)變分析連續(xù)體內(nèi)如果各點(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對距離發(fā)生變化，則16應(yīng)變分析線應(yīng)變——線段的伸長和縮短剪應(yīng)變——方向的相對改變，即線段之間夾角改變線應(yīng)變或正應(yīng)變是指線段的相對伸長量，以線段伸長為正；剪應(yīng)變以直角的縮小為正。應(yīng)變—位移關(guān)系應(yīng)變分析線應(yīng)變——線段的伸長和縮短線應(yīng)變或正應(yīng)變是指線17應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析設(shè)由變形體中取出一個微小六面體（見右圖投影），在研究微小六面體的變形時，采用的分析方法是將六面體的各面投影到直角坐標(biāo)系的各個坐標(biāo)平面上，研究這些平面投影的變形，并根據(jù)這些投影的變形規(guī)律來判斷整個平行六面體的變形。應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析設(shè)由變形體中取18應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析

設(shè)A點(diǎn)的位移是u，w，它們是坐標(biāo)的函數(shù)，因此有：而B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx，y，z），因此B點(diǎn)在x方向的位移為：應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析設(shè)A點(diǎn)的位移是u，w，19根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，可得：略去高階項(xiàng)后得到：由于則AB在x軸上的投影的伸長量為，則有：應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析同理可得平行于y軸和z的邊長的正應(yīng)變，因此有：根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，可得：略去高階項(xiàng)后得到：由于20當(dāng)大于零時，表示線段伸長，反之表示縮短。應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析下面研究六面體的剪應(yīng)變，即各直角的改變。角應(yīng)變用表示，其值為和之和，即：當(dāng)大于21應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析B點(diǎn)與A點(diǎn)沿Z軸方向的位移之差為:同理可得：所以有剪應(yīng)變：應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析B點(diǎn)與A點(diǎn)沿Z軸方向的位22應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析

同理可得另外兩個剪應(yīng)變,即有剪應(yīng)變的表達(dá)式:說明：剪應(yīng)變的正負(fù)號應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析同理可得另外兩個剪23所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達(dá)式為：可知：如果已知位移分量可以很簡單的求出應(yīng)變分量；反之，則問題比較復(fù)雜。應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達(dá)式為：可知：如果已知位移分量可以很24應(yīng)變分析一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)三個方向線元的應(yīng)變決定該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，取與坐標(biāo)軸相平行的三個方向。應(yīng)變分析一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)三個方向線元的應(yīng)變決定該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)25應(yīng)變分析則應(yīng)變張量為：

通常稱為“工程剪應(yīng)變”一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)也可以用張量表示，這時引進(jìn)符號值得注意的是，式中的?ij，因?yàn)?ij=?ji,而應(yīng)變張量應(yīng)變分析則應(yīng)變張量為：26應(yīng)變分析應(yīng)變張量對稱張量張量的剪切應(yīng)變分量實(shí)際的剪切應(yīng)變工程剪應(yīng)變和張量剪應(yīng)變的區(qū)別應(yīng)變分析應(yīng)變張量對稱張量27應(yīng)變分析類似于應(yīng)力狀態(tài)，一定存在三個相互垂直的形變方向，它們所形成的三個直角在形變之后保持為直角（即切應(yīng)變?yōu)榱悖?，沿著這三個形變主方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。主應(yīng)變的概念：一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，存在過該點(diǎn)的方向，在該方向上任取微線段PQ，受力后的變形只沿該方向伸長或縮短，則定義此方向?yàn)橹鞣较颍鋺?yīng)變ε為主應(yīng)變。主應(yīng)變和主剪應(yīng)變應(yīng)變分析類似于應(yīng)力狀態(tài)，一定存在三個相互垂直的形變方向，它們28應(yīng)變分析將應(yīng)力計算公式中的應(yīng)力分量用應(yīng)變分量替換,例如求主應(yīng)變的特征方程主應(yīng)變和主剪應(yīng)變應(yīng)變分析將應(yīng)力計算公式中的應(yīng)力分量用應(yīng)變分量替換,例如求主應(yīng)29對于非零解條件行列式展開得應(yīng)變分析其中，為應(yīng)變第一、二、三不變量，其它形式的表達(dá)式有：主應(yīng)變和主剪應(yīng)變對于非零解條件應(yīng)變分析其中，為應(yīng)變第30應(yīng)變分析主應(yīng)變和主剪應(yīng)變應(yīng)變分析主應(yīng)變和主剪應(yīng)變31應(yīng)變分析工程主剪應(yīng)變最大值主應(yīng)變和主剪應(yīng)變應(yīng)變分析工程主剪應(yīng)變主應(yīng)變和主剪應(yīng)變32應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）仿照應(yīng)力張量分解，應(yīng)變張量可以分解為與體積變化有關(guān)的“球形應(yīng)變張量”和與物體形狀變化有關(guān)的“應(yīng)變偏量”。利用書中（3.43）式可以分解為：球形應(yīng)變張量為：式中，為平均正應(yīng)變。應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）仿照應(yīng)力張量分解，應(yīng)變張33應(yīng)變分析應(yīng)變偏量可寫為：其中，，，稱為“應(yīng)變偏量分量”。偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）純剪應(yīng)變狀態(tài)的條件與純剪應(yīng)力狀態(tài)的條件相同，即純剪變形的必要且充分條件是，因此，為純剪狀態(tài)且與有相同的主軸。應(yīng)變分析應(yīng)變偏量可寫為：其中，34應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）35應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）若用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量，則有式：三個坐標(biāo)平面為應(yīng)變主平面在主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)的應(yīng)變空間中有：

由應(yīng)變偏量張量的定義式可見，它是一個實(shí)對稱二階張量，因此，存在三個主值及其相應(yīng)的主方向。可以證明，應(yīng)變偏量張量的主方向與應(yīng)變張量的主方向一致，而且它的主值e1，e2，e3與應(yīng)變張量的主應(yīng)變存在如左邊給出的關(guān)系。應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）若用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量，36應(yīng)變分析體積應(yīng)變在考慮塑性變形時，經(jīng)常采用“體積不變”假設(shè)，這時球形應(yīng)變張量為零，應(yīng)變偏量等于應(yīng)變張量，即“應(yīng)變分量與應(yīng)變偏量的分量相等”，這一假設(shè)，對于簡化計算帶來了方便,下面來研究每單位體積的體積改變，即體積應(yīng)變：偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）

設(shè)有微小的正平行六面體，它的棱邊長度是：

變形前它的體積為：變形后它的體積稱為：應(yīng)變分析體積應(yīng)變偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）設(shè)有微小37應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）因此，它的體積應(yīng)變?yōu)椋候?yàn)證體積不變假設(shè)的成立，對于小應(yīng)變（忽略高階微量）有：體積應(yīng)變應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）因此，它的體積應(yīng)變?yōu)椋?8應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）體積應(yīng)變由此則有：顯然，若體積不變，則必有球形應(yīng)變張量為零成立，且有。在主應(yīng)變空間：對于小應(yīng)變有：應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）體積應(yīng)變由此則有：顯然39應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）同樣，應(yīng)變偏量增量也存在三個不變量，它們分別表示為：當(dāng)用張量給出一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)時，需注意偏應(yīng)變張量不變量應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）同樣，應(yīng)變偏量增量也存在40應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）其三次方程為：偏應(yīng)變張量不變量應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）其三次方程為：偏應(yīng)變張量41應(yīng)變分析八面體應(yīng)變八面體正應(yīng)變八面體剪應(yīng)變應(yīng)變分析八面體應(yīng)變八面體正應(yīng)變42應(yīng)變分析應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程）

在研究物體變形時，一般都取一個平行六面體進(jìn)行分析，物體在變形時，各相鄰的小單元不能是互相無關(guān)的，必然是相互有聯(lián)系的，因此應(yīng)該認(rèn)為是物體在變形前是連續(xù)的，變形后仍然是連續(xù)的，連續(xù)物體應(yīng)變之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為“應(yīng)變協(xié)調(diào)方程”。應(yīng)變分析應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程）在43

該式稱為“變形協(xié)調(diào)方程式”，又稱為圣維南（Saint-Venant）方程,是圣維南首次導(dǎo)出的。

應(yīng)變分析應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程）該式稱為“變形協(xié)調(diào)方程式”，又稱為圣維南（Saint-441）請完成教材第93～94頁的習(xí)題：3.2；3.3；3.4；3.5.作業(yè)：應(yīng)變分析1）請完成教材第93～94頁的習(xí)題：3.2；3.3；3.4；45

謝

謝

各

位謝謝各位46應(yīng)變分析應(yīng)變分析47五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

從分析幾何方程入手可以發(fā)現(xiàn)，六個應(yīng)變分量是通過三個位移分量表示的。這一事實(shí)對我們很重要。因?yàn)槿绻懒宋灰品至?，則容易通過Cauchy方程獲得應(yīng)變分量；但反過來，如果純粹從數(shù)學(xué)角度任意給出一組“應(yīng)變分量”，則Cauchy方程有可能是矛盾的。要使這方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件，即這六個應(yīng)變分量不是互不相關(guān)的，它們之間必然存在著一定的聯(lián)系。應(yīng)變分析五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程從分析幾何方程入手可以發(fā)現(xiàn)，六個應(yīng)變分48五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

思路：設(shè)法從Cauchy方程中消去所有的位移分量

推導(dǎo)步驟：將εx對y求二階偏導(dǎo)數(shù)并與εy對x求二階偏導(dǎo)數(shù)相加，可得

應(yīng)變分析五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程思路：設(shè)法從Cauchy方程中消去所有的49五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

同理可得分別將γxy對z求一階偏導(dǎo)數(shù)、γyz對x求一階偏導(dǎo)數(shù)以及γzx對y求一階偏導(dǎo)數(shù)，再把它們的前兩式相加并減去它們的后一式，可得應(yīng)變分析五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程同理可得分別將γxy對z求一階偏導(dǎo)數(shù)、γ50五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

同理可得應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（SaintVenant方程）

應(yīng)變分析五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程同理可得應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變分析51五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

圖2.6應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的幾何意義對單連通物體，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是物體連續(xù)的充要條件。但對于多連通物體，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程只是物體連續(xù)的必要條件，只有加上補(bǔ)充條件，條件才是充分的。

應(yīng)變分析五、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程圖2.6應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的幾何意義對單連52應(yīng)變分析等效應(yīng)變在材料不可壓縮（

）的情況下，單軸拉伸實(shí)驗(yàn)中就是單軸應(yīng)變

在以主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)軸的主應(yīng)變空間內(nèi)討論。應(yīng)變強(qiáng)度（等效應(yīng)變）當(dāng)體積不可壓縮時，令，稱為應(yīng)變強(qiáng)度或等效應(yīng)變。

這里之所以不稱為應(yīng)變強(qiáng)度，而又引進(jìn)符號，是因?yàn)橐c應(yīng)力分析中的情況相一致。應(yīng)變分析等效應(yīng)變在材料不可壓縮（）的情況53

力與應(yīng)力的概念主要內(nèi)容一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變量最大剪應(yīng)力（主剪應(yīng)力）偏應(yīng)力張量（應(yīng)力張量的分解）八面體應(yīng)力應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓平衡微分方程力與應(yīng)力的概念主要內(nèi)容一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變54應(yīng)力分析八面體應(yīng)力八面體平面：通過某點(diǎn)做平面，該平面的法線與三個應(yīng)力主軸夾角相等。設(shè)在這一點(diǎn)取坐標(biāo)軸與三個應(yīng)力主軸一致，則等斜面法線的三個方向余弦為：應(yīng)力分析八面體應(yīng)力八面體平面：通過某點(diǎn)做平面，該平面的法線55應(yīng)力分析八面體應(yīng)力八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個分量：1)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說與有關(guān)；2)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力，與應(yīng)力偏張量的第二不變量有關(guān)。應(yīng)力分析八面體應(yīng)力八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個分量：1)56應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓在平面上，三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，可作出三個Mohr圓，如右圖所示.其半徑為：——稱為主剪應(yīng)力，——最大剪應(yīng)力.應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓在平面上，57應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓由右圖可見，若在已知應(yīng)力狀態(tài)上疊加一個靜水壓力，其效果僅使三個Mohr圓一起沿軸平移一個距離，該距離等于所疊加的靜水應(yīng)力，并不改變Mohr圓的大小。

τ軸的位置與屈服及塑性變形無關(guān)，決定屈服與塑性變形的只是Mohr圓本身的大小。應(yīng)力分析應(yīng)力的Mohr圓由右圖可見，若在已知應(yīng)力狀態(tài)上疊加一58應(yīng)力分析若將τ軸平移到，并使則：移軸后的三向Mohr圓正是描述應(yīng)力偏張量的三向Mohr圓，如右圖所示。應(yīng)力的Mohr圓應(yīng)力分析若將τ軸平移到，并使則：移軸后的三向Mohr59應(yīng)力分析平衡微分方程微分平行六面體應(yīng)力分析平衡微分方程微分平行六面體60應(yīng)力分析平衡微分方程在x=0的面上，應(yīng)力是

x、xy、xz

在x=dx面上的應(yīng)力由x方向的平衡應(yīng)力分析平衡微分方程在x=0的面上，應(yīng)力是x、xy、61應(yīng)力分析——平衡（運(yùn)動）微分方程（Navier方程）平衡微分方程應(yīng)力分析——平衡（運(yùn)動）微分方程（Navier方程）平衡微分62應(yīng)力分析平衡微分方程——靜力邊界條件應(yīng)力分析平衡微分方程——靜力邊界條件631）請完成教材第69～71頁的習(xí)題：2.1；2.2；2.6；2.7（d）。作業(yè)：應(yīng)力分析1）請完成教材第69～71頁的習(xí)題：2.1；2.2；2.6；64彈塑性力學(xué)與有限元

—應(yīng)變分析《彈塑性力學(xué)與有限元》

彈塑性力學(xué)與有限元

—應(yīng)變分析《彈塑性力學(xué)與有限元》65主要內(nèi)容應(yīng)變分析應(yīng)變—位移關(guān)系（幾何方程）一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變張量主應(yīng)變偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）八面體應(yīng)變應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程）主要內(nèi)容應(yīng)變分析應(yīng)變—位移關(guān)系（幾何方程）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)66本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)：理解變形體內(nèi)部任意一點(diǎn)處應(yīng)變狀態(tài)的基本概念；掌握計算物體內(nèi)任一點(diǎn)、任意微分面上的主應(yīng)變及應(yīng)變主方向的計算公式；理解Cauchy方程和SaintVenant的物理意義，熟練掌握這兩個基本方程。應(yīng)變分析本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)：應(yīng)變分析67位移—由于外部因素如載荷或溫度變化,物體內(nèi)部各點(diǎn)空間位置發(fā)生的變化；如果各點(diǎn)的位移完全相同，物體發(fā)生剛體平移；如果各點(diǎn)的位移不同，但各點(diǎn)間的相對距離保持不變，物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動等剛體移動；

應(yīng)變分析應(yīng)變—位移關(guān)系位移—由于外部因素如載荷或溫度變化,物體內(nèi)部各點(diǎn)空間位置發(fā)生68應(yīng)變分析連續(xù)體內(nèi)如果各點(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形，這時的位移是變形體位移。此物體被稱為有變形或有應(yīng)變。物體發(fā)生位移，應(yīng)變由位移得到。對物體中足夠小的區(qū)域，認(rèn)為該區(qū)域的應(yīng)變是均勻的。應(yīng)變—位移關(guān)系應(yīng)變分析連續(xù)體內(nèi)如果各點(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對距離發(fā)生變化，則69應(yīng)變分析線應(yīng)變——線段的伸長和縮短剪應(yīng)變——方向的相對改變，即線段之間夾角改變線應(yīng)變或正應(yīng)變是指線段的相對伸長量，以線段伸長為正；剪應(yīng)變以直角的縮小為正。應(yīng)變—位移關(guān)系應(yīng)變分析線應(yīng)變——線段的伸長和縮短線應(yīng)變或正應(yīng)變是指線70應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析設(shè)由變形體中取出一個微小六面體（見右圖投影），在研究微小六面體的變形時，采用的分析方法是將六面體的各面投影到直角坐標(biāo)系的各個坐標(biāo)平面上，研究這些平面投影的變形，并根據(jù)這些投影的變形規(guī)律來判斷整個平行六面體的變形。應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析設(shè)由變形體中取71應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析

設(shè)A點(diǎn)的位移是u，w，它們是坐標(biāo)的函數(shù)，因此有：而B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx，y，z），因此B點(diǎn)在x方向的位移為：應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析設(shè)A點(diǎn)的位移是u，w，72根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，可得：略去高階項(xiàng)后得到：由于則AB在x軸上的投影的伸長量為，則有：應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析同理可得平行于y軸和z的邊長的正應(yīng)變，因此有：根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，可得：略去高階項(xiàng)后得到：由于73當(dāng)大于零時，表示線段伸長，反之表示縮短。應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析下面研究六面體的剪應(yīng)變，即各直角的改變。角應(yīng)變用表示，其值為和之和，即：當(dāng)大于74應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析B點(diǎn)與A點(diǎn)沿Z軸方向的位移之差為:同理可得：所以有剪應(yīng)變：應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析B點(diǎn)與A點(diǎn)沿Z軸方向的位75應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析

同理可得另外兩個剪應(yīng)變,即有剪應(yīng)變的表達(dá)式:說明：剪應(yīng)變的正負(fù)號應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析同理可得另外兩個剪76所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達(dá)式為：可知：如果已知位移分量可以很簡單的求出應(yīng)變分量；反之，則問題比較復(fù)雜。應(yīng)變—位移關(guān)系(幾何方程)應(yīng)變分析所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達(dá)式為：可知：如果已知位移分量可以很77應(yīng)變分析一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)三個方向線元的應(yīng)變決定該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，取與坐標(biāo)軸相平行的三個方向。應(yīng)變分析一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)三個方向線元的應(yīng)變決定該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)78應(yīng)變分析則應(yīng)變張量為：

通常稱為“工程剪應(yīng)變”一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)也可以用張量表示，這時引進(jìn)符號值得注意的是，式中的?ij，因?yàn)?ij=?ji,而應(yīng)變張量應(yīng)變分析則應(yīng)變張量為：79應(yīng)變分析應(yīng)變張量對稱張量張量的剪切應(yīng)變分量實(shí)際的剪切應(yīng)變工程剪應(yīng)變和張量剪應(yīng)變的區(qū)別應(yīng)變分析應(yīng)變張量對稱張量80應(yīng)變分析類似于應(yīng)力狀態(tài)，一定存在三個相互垂直的形變方向，它們所形成的三個直角在形變之后保持為直角（即切應(yīng)變?yōu)榱悖?，沿著這三個形變主方向的正應(yīng)變稱為主應(yīng)變。主應(yīng)變的概念：一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，存在過該點(diǎn)的方向，在該方向上任取微線段PQ，受力后的變形只沿該方向伸長或縮短，則定義此方向?yàn)橹鞣较颍鋺?yīng)變ε為主應(yīng)變。主應(yīng)變和主剪應(yīng)變應(yīng)變分析類似于應(yīng)力狀態(tài)，一定存在三個相互垂直的形變方向，它們81應(yīng)變分析將應(yīng)力計算公式中的應(yīng)力分量用應(yīng)變分量替換,例如求主應(yīng)變的特征方程主應(yīng)變和主剪應(yīng)變應(yīng)變分析將應(yīng)力計算公式中的應(yīng)力分量用應(yīng)變分量替換,例如求主應(yīng)82對于非零解條件行列式展開得應(yīng)變分析其中，為應(yīng)變第一、二、三不變量，其它形式的表達(dá)式有：主應(yīng)變和主剪應(yīng)變對于非零解條件應(yīng)變分析其中，為應(yīng)變第83應(yīng)變分析主應(yīng)變和主剪應(yīng)變應(yīng)變分析主應(yīng)變和主剪應(yīng)變84應(yīng)變分析工程主剪應(yīng)變最大值主應(yīng)變和主剪應(yīng)變應(yīng)變分析工程主剪應(yīng)變主應(yīng)變和主剪應(yīng)變85應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）仿照應(yīng)力張量分解，應(yīng)變張量可以分解為與體積變化有關(guān)的“球形應(yīng)變張量”和與物體形狀變化有關(guān)的“應(yīng)變偏量”。利用書中（3.43）式可以分解為：球形應(yīng)變張量為：式中，為平均正應(yīng)變。應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）仿照應(yīng)力張量分解，應(yīng)變張86應(yīng)變分析應(yīng)變偏量可寫為：其中，，，稱為“應(yīng)變偏量分量”。偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）純剪應(yīng)變狀態(tài)的條件與純剪應(yīng)力狀態(tài)的條件相同，即純剪變形的必要且充分條件是，因此，為純剪狀態(tài)且與有相同的主軸。應(yīng)變分析應(yīng)變偏量可寫為：其中，87應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）88應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）若用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量，則有式：三個坐標(biāo)平面為應(yīng)變主平面在主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)的應(yīng)變空間中有：

由應(yīng)變偏量張量的定義式可見，它是一個實(shí)對稱二階張量，因此，存在三個主值及其相應(yīng)的主方向。可以證明，應(yīng)變偏量張量的主方向與應(yīng)變張量的主方向一致，而且它的主值e1，e2，e3與應(yīng)變張量的主應(yīng)變存在如左邊給出的關(guān)系。應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）若用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量，89應(yīng)變分析體積應(yīng)變在考慮塑性變形時，經(jīng)常采用“體積不變”假設(shè)，這時球形應(yīng)變張量為零，應(yīng)變偏量等于應(yīng)變張量，即“應(yīng)變分量與應(yīng)變偏量的分量相等”，這一假設(shè)，對于簡化計算帶來了方便,下面來研究每單位體積的體積改變，即體積應(yīng)變：偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）

設(shè)有微小的正平行六面體，它的棱邊長度是：

變形前它的體積為：變形后它的體積稱為：應(yīng)變分析體積應(yīng)變偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）設(shè)有微小90應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）因此，它的體積應(yīng)變?yōu)椋候?yàn)證體積不變假設(shè)的成立，對于小應(yīng)變（忽略高階微量）有：體積應(yīng)變應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）因此，它的體積應(yīng)變?yōu)椋?1應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）體積應(yīng)變由此則有：顯然，若體積不變，則必有球形應(yīng)變張量為零成立，且有。在主應(yīng)變空間：對于小應(yīng)變有：應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）體積應(yīng)變由此則有：顯然92應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）同樣，應(yīng)變偏量增量也存在三個不變量，它們分別表示為：當(dāng)用張量給出一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)時，需注意偏應(yīng)變張量不變量應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）同樣，應(yīng)變偏量增量也存在93應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）其三次方程為：偏應(yīng)變張量不變量應(yīng)變分析偏應(yīng)變張量（應(yīng)變張量的分解）其三次方程為：偏應(yīng)變張量94應(yīng)變分析八面體應(yīng)變八面體正應(yīng)變八面體剪應(yīng)變應(yīng)變分析八面體應(yīng)變八面體正應(yīng)變95應(yīng)變分析應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、相容方程）

在研究物體變形時，一般都取一個平行六面體進(jìn)行分析，物體在變形時，各相鄰的小單元不能是互相無關(guān)的，必然是相互有聯(lián)系的，因此應(yīng)該認(rèn)為是物