經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)(第二版) 7-2事 件的概率及概率的加法公式

§

7.1

隨機(jī)事件§7.2

事件的概率及概率的加法公式§

7.3

概率的乘法公式與事件的獨(dú)立性

第七章概率的基本知識(shí)及其應(yīng)用§

7.4

隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量§

7.5

連續(xù)型隨機(jī)變量§

7.6

隨機(jī)變量的數(shù)字特征1

一.概率的統(tǒng)計(jì)定義

二.古典概型

§7.2事件的概率及概率的加法公式

三.概率的加法公式

2

一.概率的統(tǒng)計(jì)定義案例1歷史上曾有人進(jìn)行過擲一枚硬幣的試驗(yàn),觀察“正面向上”這一事件發(fā)生的規(guī)律:試驗(yàn)者正面向上次數(shù)擲硬幣次數(shù)德·摩根

蒲豐

K·皮爾遜

K·皮爾遜

維尼

2048

4040

12000

24000

30000

1061

2048

6019

12012

149940.5181

0.5069

0.5016

0.5005

0.4998

0.5接近于3概率的統(tǒng)計(jì)定義率,記作即

頻率

在同一條件下,若事件在次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了數(shù)很多時(shí),出現(xiàn)

頻率的穩(wěn)定性

頻率的穩(wěn)定性.增加,擺動(dòng)的幅次,則稱比值為事件的頻

從上面的試驗(yàn)記錄可以看出,當(dāng)擲一枚硬幣的次正面的頻率在0.5附近擺動(dòng).而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的度越來越小,穩(wěn)定的趨勢(shì)愈加顯著,這種性質(zhì)稱為

很大時(shí),若在相同的條件下,重復(fù)做次試驗(yàn),當(dāng)發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一確定的常數(shù)若事件附近,則把常數(shù)稱為事件的概率,記作4

說明頻率和概率都是用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小,而頻率為試驗(yàn)值,概率為理論值.在實(shí)際中,事件的概率很難準(zhǔn)確得到,通常用頻率近似代替概率.如在擲一枚硬幣的試驗(yàn)中,事件{正面向上}

附近,即的頻率穩(wěn)定在0.5例如,升學(xué)率、合格率、出生率、死亡率、達(dá)標(biāo)率等等都是頻率,常常將他們看作概率.5

二.古典概型案例2

有100張彩券,其中有2張三等獎(jiǎng)券,現(xiàn)有100人各取一張,問每人得到三等獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)有多大?大家可以通過分析判斷得出答案:2%.案例3擲一枚均勻的硬幣,有兩個(gè)基本事件:{正面向上},與發(fā)生的可能性相等,易得{反面向上},且6

上述兩案例隨機(jī)試驗(yàn)中基本事件的概率之所以能確定出來,是由于這兩個(gè)試驗(yàn)都具有下面兩個(gè)特點(diǎn):

(1)

基本事件總數(shù)有限；

(2)

每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等;具有上述特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型.

古典概型

7

概率的古典定義

對(duì)于給定的古典概型,若樣本空間中基本事件總數(shù)為事件包含的基本事件數(shù)為則事件的概率為

事件包含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)

古典概型概率的計(jì)算公式包含哪些基本事件,其包含的基本事件數(shù)計(jì)算事件的概率時(shí),重要的是弄清基本事件總數(shù)事件是多少.是多少,計(jì)算和時(shí)經(jīng)常使用排列與組合的計(jì)算公式.

8概率具有下述性質(zhì):(1)對(duì)于任一事件有(2)

必然事件或樣本空間

不可能事件9練習(xí)1

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求:(1)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的概率;(2)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4的概率.解“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的事件含有“出現(xiàn)2點(diǎn)、4點(diǎn)、6點(diǎn)”3個(gè)基本事件；設(shè)本試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪枪诺涓判?且基本事件的總數(shù)是6.

{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)},{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4}.“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4”的事件含有“出現(xiàn)5點(diǎn)、6點(diǎn)”2個(gè)基本事件.所以,(1)(2)(完)10練習(xí)2

從數(shù)字1，2，3，4，5中任取3個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字解設(shè){所得三位數(shù)是偶數(shù)

},所以,的三位數(shù),求所得三位數(shù)是偶數(shù)的概率.易知,該試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪枪诺涓判?按任意順序排成一列,便可得到所得到的三位數(shù)的總個(gè)數(shù)為從5個(gè)數(shù)字中每取出3個(gè)不同數(shù)字,一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).所以從5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同數(shù)字,個(gè).三位數(shù)是偶數(shù),其個(gè)位數(shù)只能從于是三位數(shù)是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).

種取法;個(gè)位數(shù)確定后,十位數(shù)“2，4”兩個(gè)數(shù)字中任取一個(gè),有4個(gè)數(shù)字中取,有和百位數(shù)則是從剩下的種取法,11練習(xí)3

根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì),某廠產(chǎn)品的次品率為0.05.在某段時(shí)間解品中有95件正品,5件次品,設(shè)從100件產(chǎn)品中任取5件,所有可能的取法有

{恰有1件次品

},生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中任取5件進(jìn)行檢驗(yàn),求恰有1件次品的概率.種.

由于產(chǎn)品的次品率為0.05,即100件產(chǎn)取法有種,因此事件的概率為于是抽得的5件產(chǎn)品中恰有1件次品的100=95(正)+5(次)5=4(正)+1(次)

產(chǎn)品構(gòu)成

抽檢要求12

某城市50%住戶訂日?qǐng)?bào),65%住戶訂晚報(bào),30%既訂日?qǐng)?bào)又訂晚報(bào),請(qǐng)問該城市至少訂這兩種報(bào)紙其中一種的住戶占百分之幾?案例4解

設(shè)={訂日?qǐng)?bào)的住戶},

={訂晚報(bào)的住戶},則既訂日?qǐng)?bào)又訂晚報(bào)的住戶為至少訂其中一種的住戶為

三.概率的加法公式

重復(fù)計(jì)數(shù)部分

13

概率的加法公式定理7.1有

對(duì)于任意兩個(gè)事件

與

推論1互斥事件的概率加法公式若事件與互斥,則推論2逆事件的概率公式對(duì)任一事件有14練習(xí)4

據(jù)統(tǒng)計(jì)資料表明,某市有80%的住戶有電視機(jī),60%的住戶有電冰箱,50%的住戶既有電視機(jī)又有電冰箱,若從該市住戶中任選一戶,發(fā)現(xiàn)沒有這兩件家電的概率是多少?解設(shè){有電視機(jī)的住戶},則{至少有一件家用電器的住戶},{沒有這兩件家用電器的住戶

},

本題欲求

因{有電冰箱的住戶},于是從而(完)15解

打靶時(shí),若命中10環(huán)的概率為0.4,命中8環(huán)或9環(huán)的概率為則

=