一階線性微分方程

一階線性微分方程分布圖示★一階線性微分方程及其解法★例1★例2★例3★例4★例5★例6★伯努利方程★例7★例8★例9★例10★內(nèi)容小結★課堂練習★習題8-3內(nèi)容要點形如dyPQ(3.1)dx一階線性微分方程PQ是某一區(qū)間IQ方程

為dyP0 (3.2)dx一階非齊次線性方程.方程

yCeP(x)dx. (3.3)其中C為任意常數(shù).通解中的常數(shù)C變易為待定函數(shù)yP,y QPdxCeP(3.5)二、伯努利方程：形如dydx

PQ(3.7)伯努利方程，其中n為常數(shù)，且n1.伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性的.事實上，在方程

yn，得yn1

dyP(x)y1nQ(x),dx或 1

(y1n)P(x)y1nQ(x),于是，令zy1n，就得到關于變量z的一階線性方程dzn)P(x)zn)Q(x).dx利用線性方程的求解方法求出通解后，再回代原變量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解y1ne(1n)P(x)dxQ(x)(1n)e(1n)P(x)dxdxC 例題選講一階線性微分方程1（E01）y1y

sinx的通解.x x解 P(x)1,Q(x)sinx,于是所求通解為x x1dx sinx

1dx

sinx 1ye x e

dxCelnx

elnxdxC (cosxC).x x x 2（E02）

dy 2y (x /2 dx x1解 這是一個非齊次線性方先求對應齊次方程的通.由dy 2 y0dx x1

dy2dxy x

lny2ln(x1)lnCyC(x1)2.用常數(shù)變易法,把C換成u,即令yu(x1)2,則有dyu(x1)22u(x1),dx代入所給非齊次方程得u(x1)2/1,兩端積分得u回代即得所求方程的通解為

(x1)3/2C,232y(x1)22(x1)3/2C.3 例3求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.xlnxdy(ylnx)dxy

1.xe解將方程標準化為y

1 y1于是xlnx xdx

1 dx

1

1 1 ye xlnxexlnxdxCelnlnx elnlnxdxC ln2xC.x x lnx.x 由初始條件y 得C1,故所求特解為y

1lnx 1 xe例4求解方程dy

2yd

2 lnx(xd, (xx.dx dx dx解 原方程實際上是標準的線性方程，其中P(x)直接代入通解公式，得通解

d,Q(x)(x)ddx dx ddx(

d )

[()

]

)1

.y e dx

x edx dx C

e (

xe(x)d C

Ce (x)dx 5（E03）y3dx2xy20.解當將y看作x的函數(shù)時，方程變?yōu)閐y y3dx 12xy2這個方程不是一階線性微分方程，不便求解.如果將x看作y的函數(shù)，方程改寫為y3dx2y2x1dy則為一階線性微分方程，于是對應齊次方程為y3dx2y2x0dy分離變量，并積分得dx2dy,即xC 1x y 1y2

1為任意常數(shù)，利用常數(shù)變易法，設題設方程的通解為xu(y)u(y)1y

1,代入原方程,得y2積分得u(y)ln|y|Cx

1(ln|y|C)，其中C為任意常數(shù).y2例6 如（見系統(tǒng)演示所示,平行于y軸的動直線被曲線yf(x)與yx3(x0)截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線f(x).(x3y)2解 x(x3y)20

x3y,兩邊求導得yy3x2,解此微分方程得dx ye C 3x2edxdxCex3x2dx 由y0,得C故所求曲線為 y3(2exx22x2).x0例7

dy4yxdx x

的通解.yydx1 dy 4yydx解 兩端除以y,得

yx2x令z y,得

zx2,解得zx2 C,dz 4 x dx x dz 4 x x 2故所求通解為yx4 C.2 伯努利方程8（E04）

dy y (alnx)y2的通解. dx x解 以y2除方程的兩,得y

dy1dx x

yalnx,即 d(y1)1dx x

y1alnx,zy1則上述方程變?yōu)?/p>

dz1zalnx.解此線性微分方程得zx

dx x a C (lnx) a 2 C以y1代z,得所求通解為 yxC

(lnx)2a 2a

1. 9（E05）dyxyxx3yx)21.dx解 令yxu,則dy

dudu

xux3u2.令zu12

dx dx dx ,上式即變?yōu)橐浑A線性方程 xz x3.u dxx2 x2 x2其通解為 ze2x3e2dxCCe2x22. 回代原變量，即得到題設方程的通解1 1yx

xz

x2Ce2

.x2210（E06）求解微分方程dy

1 y.dx xsin2(xy) x解 令