江蘇專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學-第六章-定積分的應(yīng)用習題課課件

第六章習題課定積分的應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式二、典型例題1第六章習題課定積分的應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式二、典型例題元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量的特點解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式主要內(nèi)容2元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量解題步驟定一、定積分應(yīng)用的常用公式1.平面圖形的面積(1)直角坐標情形：【注意】根據(jù)實際情況還可選擇y為積分變量3一、定積分應(yīng)用的常用公式1.平面圖形的面積(1)直角坐標情如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)曲線用參數(shù)方程表示4如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)曲線用參數(shù)方(3)極坐標情形【思考】若面積元素采用等腰三角形面積,即用等腰三角形面積近似代替小曲邊扇形的面積,是否可以?5(3)極坐標情形【思考】若面積元素采用等腰三角形面積,即用等2.體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：ⅰ.繞x軸旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞y軸旋轉(zhuǎn)繞坐標軸轉(zhuǎn)xyo62.體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：ⅰ.繞x軸旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞y軸旋轉(zhuǎn)繞坐繞非軸直線旋轉(zhuǎn)yxoxx+dxⅰ.繞平行于x

軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞平行于y

軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅲ.繞平行于y

軸的直線x=a旋轉(zhuǎn)ⅳ類似可得繞平行于x

軸的直線y=b旋轉(zhuǎn)的公式7繞非軸直線旋轉(zhuǎn)yxoxx+dxⅰ.繞平行于x軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅱ(2)平行截面面積為已知的立體的體積8(2)平行截面面積為已知的立體的體積83.平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為C．曲線弧為弧長93.平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為C．曲線弧4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（補充）xyo【警示】以上有關(guān)幾何的幾個問題，作題時盡量先畫出圖形，以得到直觀的幫助.【注意】若側(cè)面積元素取為2πxf(x)dx，是錯誤的,為什么?104.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（補充）xyo【警示】以上有關(guān)幾何的幾個5.變力所作的功（含抽水作功—變距離作功）6.水壓力115.變力所作的功（含抽水作功—變距離作功）6.水壓力7.引力8.函數(shù)的平均值9.均方根127.引力8.函數(shù)的平均值9.均方根12二、典型例題【例1】用定積分求半徑為R的圓的的面積?！窘猗瘛窟x取直角坐標系（如圖所示）則圓的方程為取x為積分變量，考慮小區(qū)間相應(yīng)的面積元素為（豎矩形條）則于是13二、典型例題【例1】用定積分求半徑為R的圓的的面積。【解【解Ⅱ】選取極坐標系（如下圖所示），圓的方程為：取θ為積分變量，考慮小區(qū)間元素為（小扇形）于是則【解Ⅲ】選取極坐標系（如下圖所示），圓的方程為：取ρ

為積分變量，考慮小區(qū)間相應(yīng)的面積元素為（圓環(huán)條）則于是相應(yīng)的面積14【解Ⅱ】選取極坐標系（如下圖所示），圓的方程為：取θ為積分【例2】【分析】再相加有改寫為再相加,求極限.顯然一曲線的折線之和的極限即為曲線之長.【解】所求曲線段之長為即不是所求之弧長.因此,小段弧長之近似應(yīng)看成是弦長15【例2】【分析】再相加有改寫為再相加,求極限.顯然一曲線【例3】【解】由對稱性,有由對稱性,有16【例3】【解】由對稱性,有由對稱性,有16由對稱性,有17由對稱性,有17【例4】設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負連續(xù)函數(shù).(1)試證x0(0,1)，使得在區(qū)間[0,x0]上以f(x0)為高的矩形面積，等于在區(qū)間［x0,1］上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導，且證明(1)中的x0是唯一的.【證】則在[0,1]上連續(xù)、在(0,1)內(nèi)可導據(jù)羅爾定理x0(0,1)，使得即則F(x)在[0,1]上連續(xù)、在(0,1)內(nèi)可導單調(diào)減少，于是可知(1)中的x0是唯一的.故F(x)在[0,1]上18【例4】設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負連【例5】【解】如圖所示建立坐標系.半圓方程為于是對半圓上任一點,有19【例5】【解】如圖所示建立坐標系.半圓方程為于是對半圓上任一故所求速度為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為(2)將滿池的水全部抽出所需的最小功即將池內(nèi)水全部提升到池沿高度所需的功20故所求速度為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為(2)將滿池【例6】【解】如圖建立坐標系,此閘門一側(cè)受到靜水壓力為21【例6】【解】如圖建立坐標系,此閘門一側(cè)受到靜水壓力為21第六章習題課定積分的應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式二、典型例題22第六章習題課定積分的應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式二、典型例題元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量的特點解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式主要內(nèi)容23元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量解題步驟定一、定積分應(yīng)用的常用公式1.平面圖形的面積(1)直角坐標情形：【注意】根據(jù)實際情況還可選擇y為積分變量24一、定積分應(yīng)用的常用公式1.平面圖形的面積(1)直角坐標情如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)曲線用參數(shù)方程表示25如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)曲線用參數(shù)方(3)極坐標情形【思考】若面積元素采用等腰三角形面積,即用等腰三角形面積近似代替小曲邊扇形的面積,是否可以?26(3)極坐標情形【思考】若面積元素采用等腰三角形面積,即用等2.體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：ⅰ.繞x軸旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞y軸旋轉(zhuǎn)繞坐標軸轉(zhuǎn)xyo272.體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：ⅰ.繞x軸旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞y軸旋轉(zhuǎn)繞坐繞非軸直線旋轉(zhuǎn)yxoxx+dxⅰ.繞平行于x

軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞平行于y

軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅲ.繞平行于y

軸的直線x=a旋轉(zhuǎn)ⅳ類似可得繞平行于x

軸的直線y=b旋轉(zhuǎn)的公式28繞非軸直線旋轉(zhuǎn)yxoxx+dxⅰ.繞平行于x軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅱ(2)平行截面面積為已知的立體的體積29(2)平行截面面積為已知的立體的體積83.平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為C．曲線弧為弧長303.平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為C．曲線弧4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（補充）xyo【警示】以上有關(guān)幾何的幾個問題，作題時盡量先畫出圖形，以得到直觀的幫助.【注意】若側(cè)面積元素取為2πxf(x)dx，是錯誤的,為什么?314.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（補充）xyo【警示】以上有關(guān)幾何的幾個5.變力所作的功（含抽水作功—變距離作功）6.水壓力325.變力所作的功（含抽水作功—變距離作功）6.水壓力7.引力8.函數(shù)的平均值9.均方根337.引力8.函數(shù)的平均值9.均方根12二、典型例題【例1】用定積分求半徑為R的圓的的面積?！窘猗瘛窟x取直角坐標系（如圖所示）則圓的方程為取x為積分變量，考慮小區(qū)間相應(yīng)的面積元素為（豎矩形條）則于是34二、典型例題【例1】用定積分求半徑為R的圓的的面積。【解【解Ⅱ】選取極坐標系（如下圖所示），圓的方程為：取θ為積分變量，考慮小區(qū)間元素為（小扇形）于是則【解Ⅲ】選取極坐標系（如下圖所示），圓的方程為：取ρ

為積分變量，考慮小區(qū)間相應(yīng)的面積元素為（圓環(huán)條）則于是相應(yīng)的面積35【解Ⅱ】選取極坐標系（如下圖所示），圓的方程為：取θ為積分【例2】【分析】再相加有改寫為再相加,求極限.顯然一曲線的折線之和的極限即為曲線之長.【解】所求曲線段之長為即不是所求之弧長.因此,小段弧長之近似應(yīng)看成是弦長36【例2】【分析】再相加有改寫為再相加,求極限.顯然一曲線【例3】【解】由對稱性,有由對稱性,有37【例3】【解】由對稱性,有由對稱性,有16由對稱性,有38由對稱性,有17【例4】設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負連續(xù)函數(shù).(1)試證x0(0,1)，使得在區(qū)間[0,x0]上以f(x0)為高的矩形面積，等于在區(qū)間［x0,1］上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導，且證明(1)中的x0是唯一的.【證】則在[0,1]上連續(xù)、在(0,1)內(nèi)可導據(jù)羅爾定理x0(0,1)，使得即則F(x)在[0,1]上連續(xù)、在(0,1)內(nèi)可導單調(diào)減少，于是可知(1)中的x0是唯一的.故F(x)在[0,1]上39【例4】設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負連【例5】【解】如圖所示建立坐標系.半