概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方差(“方差”文檔)共23張

我們?cè)?jīng)引見(jiàn)了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它表達(dá)了隨機(jī)變量取值的平均程度，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.但是在一些場(chǎng)所，僅僅知道平均值是不夠的.例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各丈量10次，將丈量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：假設(shè)讓他就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，他以為哪臺(tái)儀器好一些呢？

甲儀器丈量結(jié)果乙儀器丈量結(jié)果較好丈量結(jié)果的均值都是a由于乙儀器的丈量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目的射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目的的位置如圖：他以為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮由于乙炮的彈著點(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心下面我們用一例闡明方差性質(zhì)的運(yùn)用.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)E[(X-E(X)]2<∞，那么稱(chēng)故D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.vX以概率1取常數(shù)值.例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各丈量10次，將丈量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：=p-p2=p(1-p)即n取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.即n取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立反復(fù)=P(5200-7300X-73009400-7300)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.=P(5200-7300X-73009400-7300)當(dāng)方差知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.假設(shè)X的取值比較集中，那么方差較??；為此需求引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們要引見(jiàn)的方差一、方差的定義采用平方是為了保證一切差值X-E(X)都起正面的作用由于它與X具有一樣的度量單位，在實(shí)踐問(wèn)題中經(jīng)常運(yùn)用.方差的算術(shù)平方根稱(chēng)為規(guī)范差設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)E[(X-E(X)]2<∞，那么稱(chēng)D(X)=E[X-E(X)]2(1)為X的方差.假設(shè)X的取值比較分散，那么方差較大.假設(shè)方差D(X)=0,那么r.vX以概率1取常數(shù)值.方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.假設(shè)X的取值比較集中，那么方差較??；D(X)=E[X-E(X)]2X為離散型，P(X=xk)=pk由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.X為延續(xù)型，X~f(x)二、計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2展開(kāi)證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)請(qǐng)本人用此公式計(jì)算常見(jiàn)分布的方差.例1設(shè)r.vX服從幾何分布，概率函數(shù)為P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n其中0<p<1,求D(X)解：記q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2+E(X)三、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),那么D(C)=0;2.假設(shè)C是常數(shù),那么D(CX)=C2D(X);3.假設(shè)X1與X2獨(dú)立，那么D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);可推行為：假設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,那么X1與X2不一定獨(dú)立時(shí)，D(X1+X2)=？請(qǐng)思索4.D(X)=0P(X=C)=1，這里C=E(X)P(X=x)下面我們用一例闡明方差性質(zhì)的運(yùn)用.例2二項(xiàng)分布的方差設(shè)X~B(n,p),那么X表示n重貝努里實(shí)驗(yàn)中的“勝利〞次數(shù).假設(shè)設(shè)i=1,2，…，n故D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2E(Xi)=P(Xi=1)=p,E(Xi2)=p,那么是n次實(shí)驗(yàn)中“勝利〞的次數(shù)=p-p2=p(1-p)于是i=1,2，…，nD(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=p-p2=p(1-p)由于X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立=np(1-p)四、切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差，那么對(duì)于任給>0,或由切比雪夫不等式可以看出，假設(shè)越小，那么事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的能夠性越大.由此可領(lǐng)會(huì)方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.如下圖當(dāng)方差知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.vX與它的期望的偏向不小于的概率的估計(jì)式.如取可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只需期望和方差存在，那么r.vX取值偏離E(X)超越3的概率小于0.111.例3知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為P(5200X9400)P(5200X9400)=P(5200-7300X-73009400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式P{|X-E(X)|2100}即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.例4在每次實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：n需求多大時(shí)，才干使得在n次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設(shè)X為n次實(shí)驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.那么X~B(n,0.75)所求為滿(mǎn)足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=P{|X-E(X)|<0.01n}P(0.74n<X<0.76n)可改寫(xiě)為在切比雪夫不等式中取n，那么=P{|X-E(X)|<0.01n}P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各丈量10次，將丈量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：=P(5200-7300X-73009400-7300)P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)X為n次實(shí)驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，假設(shè)X的取值比較集中，那么方差較小；P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，nD(X1+X2)=D(X1)+D(X2);設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)E[(X-E(X)]2<∞，那么稱(chēng)解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X下面我們將引見(jiàn)刻劃兩r.設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差