選修11第三章第1節(jié)導數(shù)概念

1~11節(jié)導數(shù)的概念（文一、學習目標二、重點、難點三、考點分析一、背景知直線與曲線相切不等同于直線與曲線只有一個公共點如圖：L2與曲線的關系是既 stss(tt0,

ts(t0ts(t0)當t0二、導數(shù)與導函數(shù)的定yf(xxx0稱yfx0xf(x0)yf(x在區(qū)間x

x上的平均變化 x0xx00yxxf(x0)0

f(x0xf(x0若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(ab內的每一點的導數(shù)值都存在，則稱yf(x)在區(qū)間(abf(x)limf(xxf(x)yf(x 三、利用導數(shù)求切線方程與瞬時速P(x0f(x0y＝f（x）x0y＝f（x）P(x0,f(x0處的切線的斜用式子表示為k切f(x0)P(x0,f(x0yy0f'(x0)(xx0y＝f（x）P(x0f(x0處的切線平行于y軸，這時導數(shù)不存在，xx0。P(x0y0

f(x)k切

f(xy0x0lims(t0t)s(t0tss(lims(t0t)s(t0t知識點一：導數(shù)的概例1 現(xiàn)向一個半徑為R的球形容器內勻速注入某種液體下列圖形中能表示在注入過容器的液面高度h隨時間t變化的函數(shù)關系的是（） C。x例 已知函數(shù)f(x) xf(xf(2),f12（1（2（1）

1x1，y 1x1x11x11xlimy 11xx0

2 x（2）f(x)limxx x

lim 1xxx xxx12f(2)12

2,f() 1222 1222

，整理，借助題設求極限可以求出某些簡單函數(shù)在某點處的導數(shù)值，但大多函數(shù)按這個，例 已知

x＝a

limf(a3hf(ah) 思路分析：分子中自變量的增量△x4h2h，根據(jù)導數(shù)的定義，當這兩個增量相同時，分式表示的是yf(a解答過程limf(a3hf(a limf(a3h)f(ah)2limf(a3h)f(a

4h2

2f'(a)解題后的思考：在導數(shù)的定義中，增量△x的形式是多種多樣的，但不論△x選擇哪種際上是從“形”的角度認識導數(shù)，而后者則是從“數(shù)”的角度認識導數(shù)。知識點二：導數(shù)的幾何意義與物理意例4 P（5，f（5）f（5）＋f′（5）＝（）212

B. C. D.f（5；切線的y＝f（x）在該點的導數(shù)值，可求f′（5。y－f（5）＝－（x－5，∴y＝－x＋5＋f（52C。（5的解析式不具體，實際上f（5）的值是由切線方程求出的，“切點是切線與曲線的公共點”例5 ：s，x距離（單位：m，求在20≤t≤20＋△t時間段內動點的平均速度，其中t1；t0.1t0.01t＝20思路分析：平均速度可由vx求得，瞬時速度為平均速度在t0解答過程：當t1時，x1021521210205202所以平均速度為vx215(ms當t0.1x10(200.15(200.1)210205202120.0521.05(m),以平均速度為vx21.05210.5(ms 當t0.01x10(200.01)5(200.01)2102052020.12.0005所以平均速度為vx2.1005210.05(m t＝20x10(20t)5(20t)21020520210t5t(40x(2105t)(m/此時動點運動的瞬時速度為vlim(2105t)210(m/解題后的思考：215210.5210.05210，揭示了瞬時速度例 已知曲線yx21（1（1）

yx lim y

1x21

k切切點坐標為（1，2y22(x1),即y （2）點（1，－2）不在曲線上，設切點坐標為(xy 0yx21x0

x

2x

所以

x2 得：x03或x01，所以切點坐標0y00

x0

x1k切

x1

x1 0為（3，10）或（－1，26或－2y6x8或y2x。0 時刻五角星露出水面部分的圖形面積為StS00函數(shù)yS(t)的圖象大致 到導數(shù)的意義，判斷此時面積的改變?yōu)橥蛔?，產生中斷，選擇A。本講容易出錯的地方是在求切線方程的時候，容易將在點(x0f(x0(x0,f(x0))處的切 例求過點（2，2）Cf(x)x33x相切的直線方程。（2，2）kf(29y9x16，若點（2，2）不是切點，設切點坐標為(x0,y0)，由y x33x0 f(x) 0 3x23得0x0 x0

x0x033x0240,(x02)2x01)0x01x02（舍，此時k切y2y9x16y2y2區(qū)分f(x0與f(x0)]，前者是導函數(shù)f(x)xx0f(x0一、預習新二、預習點探究與

（答題時間：60分鐘 t0t當時間為△t汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、行駛之后停車，若把這一過汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖象可能是（ ss tss t

*3.

f(x02xf(x0)1，則f'(x

)等于 A. 3

C. D.2*4.若函數(shù)f（x）的導數(shù)為f′（x）＝－sinx，則函數(shù)圖象在點（4，f（4）處的切線的傾 A. B. C.銳 D.鈍*5.函數(shù)y＝ax2＋1的圖象與直線y＝x相切，則 8

4

D.2*6.設f（x）在x0處可導，下列式子中與f'(x0)相等的是 （1）

f(x0)f(x02x)f(x02x)f(x0

（2）（4）

f(x0x)f(x0f(x0x)f(x0A.（1（2） B.（1（3）C.（2（3） D.（1（2（3（4）若函數(shù)f（x）在點x0處的導數(shù)存在，則它所對應的曲線在點(x0,f(x0))處的切線方程 在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點（1，2）及附近一點（1＋x，2＋y，則 *9.在曲線y1和yx2交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積 x1*10.yx21

1，

3 11.yx2axb（a、b為常數(shù)）*12.求經過點（2，0）y1x*13.yx2PP3x－y＋1＝0的夾角為41. 2.3. f

)＝

f(x02x)f(x0)

f(x02x)f(x0)3x

f(x02xf(x033

0 解析：設切點坐標為(x0y0yxx2ax00 12axxax21，聯(lián)立解得a1 （1）（2）的增量為2x，分母中的自變量的增量為x（3）中分子分母的自變量的增量都為x（4）中分子的自變量的增量為－3x，分母中的自變量的增量為x，所以yf(x0)f'(x0)(xx08.2＋ y1yx2的交點坐標是（1，1 3＋2y＝2x－1x軸所圍成的三角形的面積是4（2，4）k割k切4f(x)2x由2x＝4P（2，4yxx)2a(xxbx2ax2xx(x)2axy(2xa)x

(2xa) xlimylim(2xa)x2xx0 解：可以驗證點（2，0）P(x0y0

x

x0

x0x